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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四面体模型解题法之十 四面体是立体几何体的“原子模型”(任意多面体都可以分割成四面体),也是高考试题的重要载体模型,尤其是有两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,更是受到高考命题者的特别喜爱.母题结构:()在如图所示的四面体ABCD中,侧面ABD是等腰直角三角形,侧面BCD是等腰三角形,且侧面ABD侧面BCD,试把四面体ABCD放置到长方体中;()在如图所示的四面体ABCD中,平面ABC平面ACD,且ABBC,试把四面体ABCD放置到长方体中.母题解
2、析:()作长方体,使左侧面为正方形,把等腰直角ABD放置于左侧面,等腰BCD放置于底面,如图;()把等腰直角ABC放置于底面,ACD放置于对棱面,如图; 1.放置方法 子题类型:(2006年福建高考试题)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.()求证:AO平面BCD;()求异面直线AB与CD所成角的余弦值;()求点E到平面ACD的距离.解析:()在长方体中作出四面体ABCD,如图,由O是BD的中点,BD=2,AB=AD=AOBD,AO=1;又CB=CD=BD=2OC=,又CA=2OA2+OC2=AC2AOOCAO平面BCD;()取AD的
3、中点F,则OFAB,又OECDEOF(或其补角)是异面直线AB与CD所成角;由OE=1,OF=,EF2=()2+12+()2=2EF=cosEOF=-AB与CD所成角的余弦值=;()由OECDOE平面ACD点E到平面ACD的距离=点O到平面ACD的距离h;由SACD=及VO-ACD=VA-OCDh=.点评:对于存在两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,有两种常见类型,对不同类型采用相应的放置方法. 2.解题功能 子题类型:(2012年四川高考理科试题)如图,在三棱锥P-ABC中,APB=900,PAB=600,AB=BC=CA,平面PAB平面ABC.()求直线PC与平面ABC所成角的正切
4、值;()求二面角B-AP-C的正切值.解析:()在长方体中作出三棱锥P-ABC,如图,作PHAB于H,由平面PAB平面ABCPH平面ABCPCH是直线PC与平面ABC所成角;设AB=BC=CA=2,AB的中点为O,则COABCO平面PAB,OP=1,OC=PC=2;由PAB=600AP=1PH=,OH=CH=tanPCH=直线PC与平面ABC所成角的正切值=;()设AP的中点为H,则CHO是二面角B-AP-C的平面角;由OH=tanCHO=2二面角B-AP-C的正切值=2.点评:对存在两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,把它放置于长方体中,充分发挥长方体的衬托功能. 3.求法向量 子题
5、类型:(2007年课标高考试题)如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,BAC=900,O为BC中点.()证明:SO平面ABC;()求二面角A-SC-B的余弦值.解析:不妨设AB=2,由SAB与SAC均为等边三角形SA=SB=SC=AC=AB=2;又由BAC=900BC=2OA=OB=OC=SO=;在长方体中作出四面体ABCD,如图;()由SB=SCSOBC;又由SO2+OA2=SA2SOOASO平面ABC;()以O为坐标原点,OB,OA,OS所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标如图,则A(0,0),C(-,0,0),S(0,0,)=(,0),=(0,-),设
6、平面SAC的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y-z=0,令y=1得:m=(-1,1,1);同理可得:平面SBC的法向量n=(0,1,0)二面角A-SC-B的余弦值=cos=.点评:对存在两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,把它放置于长方体中,并建系后,求平面法向量,要充分利用对称性,由其一同理可得其二. 4.子题系列:1.(2015年北京高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,三角形VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.()求证:VB平面MOC;()求证:平面MOC平面VAB;()求三棱锥V-ABC的体积.2
7、.(2015年重庆高考试题)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.()证明:AB平面PFE;()若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.3.(2011年重庆高考文科试题)如图,在四面体ABCD中,平面ABC平面ACD,ABBC,AC=AD=2,BC=CD=1.()求四面体ABCD的体积;()求二面角C-AB-D的平面角的正切值.4.(2012年四川高考文科试题)如图,在三棱锥P-ABC中,APB=900,PAB=600,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(
8、)求直线PC与平面ABC所成的角的正切值;()求二面角B-AP-C的正切值.5.(2011年重庆高考理科试题)如图,在四面体ABCD中,平面ABC平面ACD,ABBC,AD=CD,CAD=300.()若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积;()若二面角C-AB-D为600,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.6.(2009年浙江高考试题)如图,平面PAC平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,PC的中点,AC=16,PA=PC=10.()设G是OC的中点,证明:FG平面BOE;()证明:在ABO内存在一点M,使FM平面BOE,并求点M到OA,OB
9、的距离. 5.子题详解:1.解:()在长方体中作出三棱锥V-ABC,如图,由O,M分别为AB,VA的中点OMVB,又VB平面MOC,OM平面MOCVB平面MOC;()由三角形VAB为等边三角形ABVO,又平面VAB平面ABCVO平面VABVOOC;由AC=BCOCABOC平面VAB平面MOC平面VAB;()由ACBC且AC=BC=AB=2,SABC=1VO=三棱锥V-ABC的体积V=.2.解:()在长方体中作出三棱锥P-ABC,如图,由ABC=,EFBCABEF;由DE=EC,PD=PCPEDC,又平面PAC平面ABCPE平面ABCPEABAB平面PFE;()由DE=2,PD=4PE=2;又由
10、四边形DFBC的面积=倍的SABC=ABBC四棱锥P-DFBC的体积V=ABBCPE=ABBC=7ABBC=9;又AB2+BC2=AB2=36AB+BC=3+3BC=3,或3.3.解:()在长方体中作出四面体ABCD,如图,作DHAC于H,由平面ABC平面ACDDH平面ABC;在ACD中,AC=AD=2,CD=1AH=,DH=;又SABC=四面体ABCD的体积V=;()作HMAB于M,则AB平面DHMDMH是二面角C-AB-D的平面角;由MHBCMH:AH=BC:ACMH=tanDMH=二面角C-AB-D的平面角的正切值=.4.解:()在长方体中作出三棱锥P-ABC,如图,由PO平面ABCOC
11、P是直线PC与平面ABC所成的角;设AO=1PO=,PA=2AB=4CH=2,OH=1OC=tanOCP=;()取AP的中点D,则AP平面CDHCDH是二面角B-AP-C的平面角;由DH=tanCDH=2二面角B-AP-C的正切值=2.5.解:()在长方体中作出四面体ABCD,如图,取AC的中点O,则DOAC,由平面ABC平面ACDDO平面ABC;由AD=2,CAD=300DO=1,AC=2SABC=四面体ABCD的体积V=;()取AB的中点H,则AB平面ODH二面角C-AB-D的平面角为OHDOHD=600;设CD=1,则OC=,OH=,CD=2BC=,CD=2异面直线AD与BC所成角=CBD;由cosCBD=.6.解:()在长方体中作出三棱锥P-ABC,分别以直线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(8,0,0),B(0,8,0),C(-8,0,0),P(0,0,6)E(4,0,3),F(0,4,3),G(-4,0,0)=(4,4,3),平面BOE的法向量m=(3,0,-4)m=0FG平面BOE;()设M(x,y,0)=(x,y-4,-3);由FM平面BOEmx:(y-4):(-3)=3:0:(-4)x=,y=4点M(,4,0)在ABO内,且点M到OA,OB的距离分别为4,.