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1、1.6 完全平方公式,问题,一块边长为 a 米的正方形试验田，,用不同的形式表示试验田的总面积，并进行比较你发现了什么？,因需要将其边长增加 b 米，,形成四块试验田，以种植不同的新品种,由面积相等可得 : (ab)2 = a22ab b2,(a + b) (a + b) = a2+ab+ab+b2,(ab)2 =,a22ab b2,-根据幂的定义,-合并同类项,能不能从运算的角度得到： (a+b)2 = a2+2ab+b2,(a+b)2 = (a+b)(a+b) - 幂的意义 = a(a+b)+b(a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 -多项式乘法法则 所以 ： (a
2、+b)2 = a2+2.a.b+b2,平方,平方,可得：,根据：,所以 ： (ab)2 = a22.a.bb2,变形：,平方,(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (ab)2 = a22ab+b2 .,a2,ab,b2,结构特征:,左边是,的平方;,二项式,右边是,a2 +b2,a2 +b2,(两数和 ),(差),(a+b)2=,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,ab,ab,b(ab),(ab)2,a2+2ab+b2,a+b,ab,两数的平方和,+,加上,(减去),2ab,2ab,这两数乘积的两倍.,(ab)2 = a22ab+b2,语言表述:,两数和 的平方,等于这两
3、数的平方和,加上 这两数乘积的两倍.,2,2,(ab)2 = a22ab+b2,(差),(减去),(ab)2=a22abb2 (ab)2=a22abb2,完全平方公式的结构特征：,公式的左边是两数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍。,记忆口诀： 首平方，尾平方，首尾乘积2倍在中央。,注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式,(ab)2=a22abb2,例题解析,例题,例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mna)2,使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,
4、明确个是 a , 哪个是 b.,第一数,2x,4x2,2x,的平方,( )2,减去,2x,第一数,与第二数,2x,3,乘积,的2倍,2,加上,+,第二数,3,的平方.,2,=,12x,+,9 ;,3,例1 运用完全平方公式计算：,解： (x+2y)2=,=x2,(1)(x+2y)2,(a +b)2= a2 + 2 ab + b2,x2,+2x 2y,+(2y)2,+4xy,+4y2,例1 运用完全平方公式计算：,(2x-3y)2=,=4x2,(2)(2x-3y)2,(a - b)2= a2 - 2 a b + b2,（2x）2,-22x 3y,+(3y)2,-12xy,+9y2,= x2 2x
5、y2+4y4,(3) ( x 2y2)2,+(2y2)2,解：( x 2y2)2 =,(a - b)2 = a2 - 2ab + b2,( x)2, 2 ( x) (2y2),例题,例1 利用完全平方公式计算： .(2x3)2 (2). (4x5y)2 (3).(x3y)2,解：（1）,（2）,（3）,例2 x+y=3 , xy= 12, 求x+y 的值,方法1：从条件出发,解: (x+y)=x+y+2xy,3= x+y+2(12) 9= x+y 24,33= x+y 即x+y =33,方法2：从结论出发,解： x+y =(x+y) 2xy,=3 2(12),=9+24 =33,例1 运用完全
6、平方公式计算：,(1)(x+2y)2; (2)(2a-5)2; (3) (-2s+t)2; (4) (-3x-4y)2.,思考：,1,利用乘法公式计算:,解:,(2) (a - b)2 与 (b - a)2 （3）(-b +a)2 与(-a +b)2,(1) (-a -b)2 与(a+b)2,1、比较下列各式之间的关系：,相等,相等,例：已知(a+b)2=324, (a-b)2=16,求（1）a2+b2 (2)ab,5. 解答下列问题 1.已知a+b=7,ab=-2,求 a +b 2.已知a+b=-6,ab=4,求(a-b),小结：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2
7、- 2ab+b2,1、完全平方公式：,2、注意：项数、符号、字母及其指数；,3、公式的逆向使用；,4、解题时常用结论：,(-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2,a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2 - 2ab+b2= (a-b)2,提高篇：,二.计算： 1. (xyz）2 2.如果 x2mx4是一个完全平方式，求m的值. 3.若(ab)2=7,(ab)2=3,分别求a2b2和 ab的值 4.已知：a+b=5,ab=6,求a2+b2 值,(1) ( x 2y)2 ； (2) (2xy+ x )2 ;,1、计算：,(3) (n +1)2 n2.,1、计算：,指出下列各
8、式中的错误，并加以改正： (1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1； (3) (a1)2a22a1.,解: (1),第一数被平方时, 未添括号;,第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;,应改为: (2a1)2 (2a)222a1+1;,(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);,应改为: (2a+1)2 (2a)2+22a1 +1;,(3) 第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;,第二数的平方 这一项错了符号;,应改为: (a1)2(a)22(a )1+12;,下列等式是否成立? 说明理由 (1) (4a+1)2=(14a)2；
9、(2) (4a1)2=(4a+1)2； (3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2； (4) (4a1)(14a)(4a1)(4a+1).,(1) 由加法交换律 4a+ll4a。,成立,理由:,(2) 4a1(4a+1)，,成立,(4a1)2(4a+1)2(4a+1)2.,(3) (14a)(1+4a),不成立,即 (14a)(4a1),(4a1)，, (4a1)(14a)(4a1)(4a1),(4a1)(4a1)(4a1)2。,不成立,(4) 右边应为:,(4a1)(4a+1)。,小结,本节课你学到了什么?,注意完全平方公式和平方差公式不同：,形式不同,结果不同：,完全平方
10、公式的结果 是三项， 即 (a b)2a2 2ab+b2;,平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(ab)a2b2.,有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算。,在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)个数被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键。,练一练,一.计算：,纠 错 练 习,指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1； (3) (a1)2a22a1.,解: (1)
11、,第一个数平方时, 未添括号;,第一个数与第二个数乘积的2倍 少乘了一个2 ;,应改为: (2a1)2 (2a)222a1+1;,(2) 少了第一个数与第二个数乘积的2倍 (丢了一项);,应改为: (2a+1)2 (2a)2+22a1 +1;,(3) 第一个数平方未添括号,第一个数与第二个数乘积的2倍 错了符号;,第二个数的平方 这一项错了符号;,应改为: (a1)2(a)22(a )1+12;,拓 展 练 习,下列等式是否成立? 说明理由 (1) (4a+1)2=(14a)2； (2) (4a1)2=(4a+1)2； (3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2； (4) (4a1)(14a)(4a1)(4a+1).,(1) 由加法交换律 4a+ll4a。,成立,理由:,(2) 4a1(4a+1)，,成立,(4a1)2(4a+1)2(4a+1)2.,(3) (14a)(1+4a),不成立,即 (14a)(4a1),(4a1)，, (4a1)(14a)(4a1)(4a1),(4a1)(4a1)(4a1)2。,不成立,(4) 右边应为:,(4a1)(4a+1)。,