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1、 东北林业大学 20062007 学年第二学期考试试题 考试科目：高等数学 A 考试时间：120 分钟 试卷总分：80 分 一、一、 填空题（本大题共填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，总计分，总计 1010 分）分） 1、 微分方程4 “ 4 0yyy的通解是 11 22 11 xx ycec xe ； 2、 空间曲线 2 3 xt yt zt 在1t 处的切线方程为 111 123 xyz ； 3、 曲线 2 yx上，曲率最大的点的坐标是(0,0)； 4、 S 为球面 2222 xyzR，则曲面积分 22222 ()4() s f xyz dsR f R ； 5
2、、 ( )f x以2为周期，且 2 10 ( ) 0 x f x xx 其傅里叶级数的和函数为( )S x， 则(2 )S 1 2 。 二、二、 选择题（本大题共选择题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，总计分，总计 1010） 1、 曲线(0,0) b raeab ，从0到(0) 的一段弧长为（A） 2 0 )1 b A Saeb d 2 0 )1 () b B Sabed 2 0 )1 () b C Saed 2 0 )1 () bb D Sabeabed 2、 方程 22 ()(2)0pxyy dxqxyx dy是全微分方程充要条件是（A） )4,2A pq )4,
3、2B pq )4,2C pq )4,2D pq 3 、( , )zf x y具 有 二 阶 连 偏 导 数 ， 0,0 ()x y为 驻 点 ， 0,0 ()0 xy fx y， 0000 (,)0,(,)0, xxyy fx yfx y则 0,0 ()f x y （C） )A不是极值；)B是极值；)C是极值；)D是否取极值无定论。 4、设有级数 1 ( 1) , n p n n 则 （B） )1A p 时，级数 1 ( 1)n p n n 条件收敛； )1B p 时，级数 1 ( 1)n p n n 绝对收敛； ) 01Cp时，级数 1 ( 1)n p n n 绝对收敛；)01Dp时，级数
4、1 ( 1)n p n n 发散。 5、D 是xoy平面上以(1,1),( 1,1),( 1, 1) 为顶点的三角形区域， 1 D为D在第一象限 的部分，则(cos sin ) D xyxy dxdy （C） 1 ) 4(c o ss i n) D Ax yxy d x d y 1 )2 D Bxydxdy 1 ) 2c o ss i n D Cxy d x d y )0D 三、三、 求微分方程的特解（本题求微分方程的特解（本题 8 8 分）分） 0 tansin2 2 x yyxx y 解： ( )( ) tantan ln cos ln cos 2 ( ) ( sin(2 ) ( sin(
5、2 ) sin(2 ) cos() cos 2sin cos cos () cos cos (2 sin) cos ( 2cos) 2coscos p x dxp x dx xdxxdx x x yeQ x edxc ex edxc ex edxc x xdxc x xx xdxc x xxdxc xxc xcx 当0x 时2y 224ycc 则 2 2cos4cosyxx 四、（本题四、（本题 8 8 分）分）=+( ),F uz xy xF u已知（ ）为可导函数，u= y x 。 证明：+=z+xy zz xy xy 证明： (u)(u) 2 (u)(u) (u) (u) (u)(u)(
6、u)(u) (u) =y+F +(-) = +F - 1 = + = + +=+ F -y+=+ F + =+ F +=z+xy zy xF xx y yF x z x xF yx x F zz xyxy xFxy yFxy xxy xy z xy x zz xy xy 又 证毕 五、 （本题五、 （本题 8 8 分）分）求内接于半径为 R 的球内的长方体中体积最大的一个。 解：以球心为原点建立直角坐标系，则有 2222 +y +z =Rx 取第一卦限顶点 (x,y,z) P，则=222Vxyz，且 x,y,z 满足 2222 +y +z =Rx 2222 (x,y,z) (x) (y) (z
7、) 2 22 =8+y +z -R =8+2=0(1) = =8+2=0(2) =8+2=0(3) 23= = = 1 3= = = 33 1 = = = 3 Fxyz yzx xy x y yx xzy xyz R xRx y zR x y zR 令（x） 则有： F F F 同理由（ ）（ ）可得y z x y z 又 当时，球内接长方体体积最大。 2 2222 2 2 222 3 00 2 2 2 3 0 x +yVx +y =2z = 02 0r2 2 2 I= = =2(2-) 2 16 = 3 V V r dV r z rrdrd dz dr drdz r rdr 计算 （） 。其
8、中 是由曲面 及平面z 2围成的区域。 解：用柱坐标： 六六、（本本题题8 8分分） 11 1 222 1 + 3 3 +,z=-x -y z=0 =(-) xdydz+ =3 - + =3 =31 2 =3 3 =2 V V V xdydz ydzdx zdxdyR ydzdx zdxdy dxdydzxdydz ydzdx zdxdy dxdydz dxdydz R R 计算其中是半球面的上侧。 解：补充一有向曲面：，法向量向下。则有： 七七、（本本题题8 8分分） 2 2 =0=0 =0 1 f (x) =x - -2 1 - 1111111 1 2 f (x) =-=- - -2x+1
9、x-23 x-2 x+1331+ 1- 2 1 11 111 =-=-() -(-1)(-1,1) 631+623 1- 2 11 =-(-(-1) )(-1,1) 26 3 nnn nn nn n n x x x x xx x xx x x xx 将函数展开为 的幂级数，并且指出收敛域。 解： （） （ ） （）（） 。 。 收敛域的确 八八、（本本题题8 8分分） 12 23 1xxx =1+|0) CC -x +=0 + -+-x11 =+=-ydx+= + C C C ydx xdyy xyab y ydxdy xyxy ydx xdyydxdy xdy xyxyxy 计算其中 是逆时针方向的椭圆。 解：采用抠除原点的方法，补充圆周 ：适当小 采取逆时针方向 则曲线 与为边界的复连通区域上应用格林公式得： 因此 九九、（本本题题6 6分分） 2 22 1 1 (1+1)dxdy= D C D 其中是圆所围成的区域。