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1、学大教育东塘校区学案 敬老师 137238718410抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ,求.解：设,则2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系数法：先确定
2、函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3 已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当 0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0,为奇函数，当0时例5一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+= 中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例 6.已知，求的表达式解：用代替得到 （1） 又 （2） 2（1）-（2）得到，于是二、求值问题例7. 已知定
3、义域为的函数，同时满足下列条件：；，求的值。解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、定义域问题例8. 已知函数的定义域是1，2，求的定义域。解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是1，4评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。例9. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是。评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是，求函数的定义
4、域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域，据此求的取值范围。例2和例1形式上正相反。四、值域问题例10. 设函数定义于实数集上，对于任意实数，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。五、判断函数的奇偶性：例11已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0, 则已知等
5、式变为在中令=0则2=2 0=1为偶函数。六、单调性问题例12. 设定义于实数集上，当时，且对于任意实数有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，为函数，又在（-1，1）内递减，八、对称性问题（1）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关
6、于点成中心对称图形。（2）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于点成中心对称图形。（3）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于轴对称。例14：如果=对任意的有,比较的大小解：对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，为增函数(3)(4),(2)(1)(4)九、周期问题命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函
7、数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=
8、f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对
9、称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: 已知A、B C （2001年全国高考第22题第二问） f(x)是R上的偶函数f(-x)=f(x) 又f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 已知A、CB 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于x=a对称 已知C、BA f(x)关于x=a对称f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一个周期f(x)=f
10、(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函数 由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f()=0基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一个周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是
11、奇函数 f(-x)=f(x+4) f(x)关于x=2对称 又f(x)是奇函数 8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式解：当时f(x)=2x+1f(x)是偶函数f(x)=f(x) f(x)=2x+1当时f(4+x)=2(4
12、+x)+1=2x7又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x) 当时求f(x)=2x73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)关于x=999对称，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R
13、上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数解：设则 f(x)在-2，0上是减函数 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故当时f(x)为增函数十.四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例15、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值
14、域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。例16、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。，
15、 即，解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数例17、设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。例18、是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存
16、在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例19、设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：
17、8x9。例20、设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。分析: 由题设条件可猜测yf（x）是对数函数的抽象函数，又yf（x）的反函数是yg（x），yg（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正确。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例21、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（
18、xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。 巩固练习练习一1给出四个函数，分别满足；，又给出四个函数图象丁正确的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲 （B）乙丙甲丁（C）丙甲乙丁 （D）丁甲乙丙2定
19、义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当x0，则函数f (x)在a,b上 ( )A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ()3设函数的定义域为，且对恒有若（ ）4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A BC D5定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当 时，（1）试举出一个满足条件的函数；（2）试求的值；（3）判断的单调性并证明你的结论；（4）若解不等式1-4 D C C D5（1）如，（2）在中，令得：因为，所以，（3）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件
20、可化为：由于，所以为比较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减，（4）若则，则不等式，由函数在R上单调递减，则，则不等式的解集为。练习二1.若奇函数，满足，则等于（）A0B1CD2.设对任意实数、，函数满足。 （1）求证：；（2）求证：为偶函数。3.已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有，且（1）求的值；（2）解不等式4.已知函数对于任意的正实数、，都有，若，则下列结论中不正确的是（ ） A B C D5.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：
21、当-33时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。6.若函数f(x)为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f(2)=0，则的解集为（ ）A（-2，0）（0，2） B（-，-2）（0，2）C（-，-2）（2，+） D（-2，0）（2，+）7. 设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。8. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性。9. （09年东城区示范校质检一）（本小题满分14分）设函数的定义域为全体，当时，且对任意的实数，有成立，数列满足，且（）求证：是上的减函数；（）求数列的通项公式；10. （09届华南师大附中综合测试题）设函数满足，且对任意，都有.（）求的解析
22、式；（）若数列满足：且, 求数列的通项；1.解析：对于，令，得即，从而，所以，选D。2.解析：（1）令，得，所以。 令，得，所以。（2）令，得，令，得，从而我们有：，所以，为偶函数。3. 解析：（1） （2）由函数是定义在上的增函数，则即，依题设，有，从而不等式的解集为。4. 解析：满足对一切正实数、都成立的函数模型是对数函数。由，可知，从而可知是减函数，所以，应选B。5. 解析：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为x
23、0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间3，3上单调递减x=3时，f(x)有最大值f(3)=f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6。x=3时，f(x)有最小值为f(3)= 6。6.解析：因为f(x)是定义域上的奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大致图象，由得：x与f(x)异号。由图像可得解集为（-2，0）（0，2），选择（A）。7.解析：在 （1）中以代换其中，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。8.解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数。9.解析：（）令，得，由题意知，所以，故 当时，进而得 设且，则，即，是上的减函数；（）由得，所以因为是上的减函数，所以，即， 进而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列所以， 所以10.解析：（）因. 若令得再令得 （），,又数列是首项为2,公比为3的等比数列, ， 14敬老师 13723871840