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1、第二篇 静态（或均衡）分析,第4章 线性模型与矩阵代数 矩阵与向量 矩阵运算 对向量运算的注释 交换律、结合律、分配律 矩阵代数的特征 矩阵的转置与逆 有限马尔科夫链,第5章线性模型与矩阵代数(续) 矩阵非奇异性的条件 用行列式检验非奇异性 行列式的基本性质 求逆矩阵 克莱姆法则 克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用 里昂惕夫投入-产出模型 静态分析的局限性,第4章 线性模型与矩阵代数,模型的扩充需要表达形式的进一步简化 矩阵代数提供了描写方程组的简洁方法 矩阵代数引出一种通过估计行列式来检验解的存在的方法 矩阵代数提供求解方程组的方法 线性假设的合理性与不足 矩阵代数仅能用于线性方程组
2、，容易得到明确的结果但缺乏现实的真实性 对于非线性的函数可采用分段线性近似处理,矩阵与向量,一般的含有n个变量的m个方程组成的方程组可以写成如下形式： 方程组中的成分：系数，变量和常数项,矩阵运算,相等 加法 减法 标量乘法,矩阵乘法,国民收入模型 原模型： 排成标准形式： 写成矩阵： 由乘法法则： 于是由Ax=d得到：,对向量运算的注释,向量乘法,线性相关 当且仅当一组向量中的任意一个向量可以表示成其他向量的线性组合时，称这组向量为线性相关的，否则是线性无关的 向量空间 两个线性无关的向量u和v的各种线性组合生成的所有2-向量的全体称为2维向量空间 线性无关的向量u和v构成了向量空间的某个基
3、,交换律、结合律、分配律,矩阵加法 交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C=A+(B+C) 矩阵乘法 结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 标量积的交换律：kA=Ak 分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA,矩阵代数的特征,不服从交换律 矩阵乘法的例子 约分的例子（标量代数中cd=ce则d=e）,矩阵的转置与逆,转置及其性质 当矩阵的行列互换得到原矩阵的转置 (A)=A;(A+B)=A+B;(AB)=BA 逆及其性质 当A为方阵时满足如下条件的矩阵A-1称为矩阵的逆:A A-1= A-1A=I 若方阵有逆矩阵则A称为非奇异的，否则为奇异的 如果逆矩阵存在，那么它是
4、唯一的 (A-1)-1=A;(AB)-1= B-1A-1; (A)-1=(A-1),逆矩阵与方程的解 由于Ax=d,则x= A-1d,所以求方程组的解可先求逆矩阵A-1，然后以常向量d右乘A-1,即可得出解值 如简单的国民收入模型：,有限马尔科夫链,马尔科夫过程 用来测量或估计随着时间的推移而发生的移动 这种移动涉及马尔科夫转移矩阵，其中的每个值都是从一个状态向另一个状态移动的可能性 这种移动还涉及包含在不同状态下的初始分布的向量，通过反复用转移矩阵乘以这个向量，可以估计不同时间上的状态的变化 公司内部雇员流动的问题实例 一个公司有两个部门，阿博伏特(A)和博纳比(B) 采用雇员留在A的概率乘
5、以现在在A的总雇员数目，得到现在在A且明天还留在A的员工数目 而明天可能从B流向A的员工数目，通过现在在B的员工总数乘以从B流向A的概率而得到 上述两部分数目即构成A明天的雇员数目;类似得到B明天的雇员数目 此过程涉及4个概率,放在一个矩阵中即构成马尔科夫矩阵,寻求在若干时间段后的跨区域员工分布 At 和Bt分别代表A和B在时间t上的员工数 转移概率定义为： PAA=目前在A者还留在A的概率； PAB=目前在A者转移到B的概率； PBB=目前在B者还留在B的概率； PBA=目前在B者转移到A的概率. 其矩阵形式为： 在时间t上员工转移的分布写成向量： 那么在时间t+1上的跨区域员工分布为： 一
6、般地，n个时间段后的雇员分布为：,上述过程中n是外生的，概率矩阵M就是转移矩阵，此过程就称为马尔科夫链 当马尔科夫转移矩阵的幂越来越高时，形成的新的转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵，称为稳定状态 假设在时间t=0上这两个地点的员工分布相同： 转移概率设为： 在下一个时间段上的分布为 在10个时间段后的分布为：,吸收马尔科夫链 扩展模型：员工可以离开公司并且公司不再聘请离职员工 PAE=目前在A者离开的概率,PBE=目前在B者离开的概率 假设PEA=0, PEB=0, PEE=1 在时间0上，马尔科夫链变成了如下形式；随着n趋向于无穷，An,Bn趋向于0，En趋向于在时间零点的总员工数,练
7、习,考虑到大众失业的情形（即工厂关闭）,1200人失业,开始寻找新的工作.在此例中有两个状态:雇佣(E)和失业(U),初始向量是 假设在给定时间上失业者找到工作的概率是0.7,因此继续失业的概率是0.3. 在一定时期内找到工作的人在下个时期可能失去工作的概率是0.1(继续留任的概率是0.9) 问题如下： 对于上述条件构造一个马尔科夫转移矩阵 在第2期、3期、5期、10期后失业人数为多少？ 失业的稳定状态水平,第5章线性模型与矩阵代数(续),解决逆矩阵存在性的检验和求解问题 矩阵非奇异性的条件：当方阵条件（必要条件）已经满足时，矩阵非奇异性的充分条件是行线性无关（同样的，列线性无关） 当系数矩阵
8、为非奇异方阵时，方程组有唯一解可求 矩阵的秩与初等行变换 在一个矩阵中，若线性无关的最大行数为r则称该矩阵的秩为r. 计算矩阵的秩的方法是使用初等行变换将其化为“阶梯矩阵”,初等行变换不改变矩阵的秩 任意两行互换 用非零常量来乘以或除某行 把任意一行的k倍加到另外一行上,用行列式检验非奇异性,行列式与非奇异性 方阵A的行列式用|A|表示,它是唯一定义的与该矩阵相联系的标量(数) 将A主对角线上的元素相乘，减去反对角线上的元素的乘积，即得到二阶方阵A对应行列式的值(数) 行列式的值可以作为检验矩阵行线性无关（因而为非奇异矩阵）的一个标准,计算三阶行列式,用拉普拉斯展开计算n阶行列式 子式: |M
9、ij|表示删除给定行列式的第I行和第j列而得到的子行列式 余子式:规定了代数符号的子式|Cij|=(-1)i+j|Mij| N阶行列式|A|的值可以通过任意行或任意列的拉普拉斯展开来计算,行与列互换不影响行列式的值|A|=|A| 任意两行或任意两列互换将改变行列式的符号 以标量k乘以行列式任意一行或任意一列，行列式将发生k倍变化 注意行列式提公约数和矩阵提公约数的区别 行列式某一行加上或减去另一行的倍数其值不变 若行列式的一行或一列为另一行或另一列的倍数，则行列式的值为0,行列式的基本性质,非奇异性行列式的判别标准 给定线性方程组Ax=d,其中A为n行n列系数矩阵，则|A|0等价于： 矩阵A中
10、行（列）线性无关 A为非奇异矩阵 A-1存在 一个唯一解x*=A-1d存在 即使解存在，有时解并不满足适当的经济条件,求逆矩阵,按异行余子式展开行列式 按异行余子式展开的行列式其值恒为0 矩阵求逆 求|A| 求A所有元素的余子式,将其排成余子式矩阵C=|Cij| 求C的转置即得到adjA(A的伴随矩阵) 以行列式|A|除以adjA即为A-1,克莱姆法则,克莱姆法则的表述 用列向量d置换|A|的第n列记为|An| 则第j个变量的解值,对齐次方程组的阐释 克莱姆法则不能应用！ 齐次方程组有唯一解的条件是具有奇异矩阵A 线性方程组解的结果,克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用,市场模型 两种商
11、品市场模型可以写成方程组: 所需3个行列式的值如下: 均衡价格为:,国民收入模型 模型包括下列两个联立方程 重排为 利用克莱姆法则解得:,IS-LM:封闭经济 IS-LM模型中的I是指投资,S是指储蓄,L是货币需求,M是货币供给 模型解释 在商品市场上,要决定收入,必须先决定利率,否则投资水平无法确定,而利率是由货币市场决定的; 在货币市场上,如果不确定一个特定的收入水平,就无法确定货币需求,利率也就无法确定. 这就出现了一个循环推论:利率依赖于收入,收入又依赖于利率!为解决这一循环推论的矛盾,凯恩斯的后继者们把商品市场和货币市场结合起来,建立了商品市场和货币市场的一般模型：IS-LM模型,经
12、济由两个部门构成：实际商品部门和货币部门,写成如下方程组 Y-C-I=G0 b(1-t)Y-C=-a I+ei=d kY-li=M0 用克莱姆法则得到均衡收入Y*为,货币供给乘数,政府支出乘数,练 习,用克莱姆法则求国民收入模型的解： Y=C+I0+G; C=a+b(Y-T0); (a0,0b1) G=gY (0g1) 用矩阵形式写出如下的IS-LM系统,并求解Y和i IS方程为: 1-b是边际消费倾向,g是投资对利率的敏感性,A是外生变量 LM方程为： K和l是货币需求对收入和利息的敏感性,M0是真实货币余额 假设:b=0.7,g=100,A=252,k=0.25,l=200, M0=176
13、,里昂惕夫投入-产出模型,投入-产出分析的“静态”分析研究以下问题: n部门产业（经济）中的每个部门维持何种产出水平才能充分满足对这n种产品的总需求? 投入-产出分析并不是均衡问题，“正确的”产出水平也不是为了满足均衡条件，而是为了满足技术上的投入-产出关系 解决投入-产出分析所提出的问题可以归结为解联立方程组 投入-产出模型假设 每个产业仅生产一种同质的产品 每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品 每个产业的生产服从常数规模报酬，所有投入增加k倍则产出也恰好增加k倍 投入系数设为aij,表示生产一个单位价值的第j种商品需要投入第i种商品的价值量，且aii=0,投入系数矩阵,表中的n个部
14、门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被 用于满足同样n个部门的投入需求(用于后续生产)而并非满 足最终需求(如消费者需求，不用于后续生产) 经济中所用的所有投入将是中间投入(由n个部门供给的投入) 而并非基本投入(如劳动，它不是任何部门的产出),开放模型 为了允许基本投入和最终需求的存在必须在n个部门的框架之外，在模型中引如开放部门，它将包括居民消费者、政府部门甚至国外的活动. 由于开放部门的存在投入矩阵的每一列元素之和必定小于1 每列元素的和表示生产价值为1美元的某种商品所需的部分投入成本（不包括基本投入成本） 如果该和大于或等于1则该生产在经济上是不合算的 不足1的量即是对开放部门的基
15、本投入的支付 若产业I要生产恰好足以满足n个产业的投入需求以及开放部门最终需求的产品，其产出水平x1必定满足以下方程: x1=a11x1+a12x2+a1nxn+d1 d1表示对其产出的最终需求， a1jxj代表第j产业的投入需求 类似地，其他产业的产出水平应满足类似方程,包含n个线性方程的方程组表示n个产业“正确”的产出水平 将所有含的项移动到等号左边 表示成矩阵的形式 简化矩阵形式的写法为: (I-A)x=d 上述矩阵(I-A)称为里昂惕夫矩阵,只要为非奇异矩阵,则可以求其逆,并由下列方程求得该方程组的唯一解: x*=(I-A)-1 d,数字例子 假定一个经济中只有三个产业,一种基本投入,
16、其投入系数矩阵如下: 用a0j表示生产1美元的j产品所需的基本投入的美元的数量,用1减上式中每一列的和,有 运用矩阵A表示开放的投入-产出系统为:,可以求出解为 如果最终需求向量(比如某一开发项目的最终产出目标)为d=(10 5 6),单位为10亿美元,则最终数值解为:,提出有关问题:产出组合的生产必定需要一定数量的基本投入,那么,一个经济所需要的基本投入数量与其能够提供的数量是否一致呢? 基本投入计算为: 当且仅当可供给的基本投入数量不少于210亿美元时具体的最终需求向量d=(10 5 6)才是可行的;如果可供给的基本投入数量下降,则特定的产出目标当然不得不相应地向下调整! 上述分析的特征
17、只要投入系数保持不变,逆矩阵(I-A)-1就保持不变,所以哪怕需要考察成百上千个不同的最终需求向量,也只需要计算一个逆矩阵! 与消去法相比节约大量计算;而克莱姆法则也每次必须重新计算分子中的行列式,更费时间!,非负解的存在 上述例子中的里昂惕夫矩阵是非奇异的,解也都是非负的,满足经济学含义的要求. 这样好的结果并不一定总是出现,只有在里昂惕夫矩阵拥有一定特征时才能有,这些特征就是霍金斯-西蒙条件. 引入主子式的概念:给定方阵,删去其第i行和第j列得到其子式,若当i=j时,则称其为主子式 一类特殊的主子式是顺序主子式:由行列式前m个主对角线元素和对应的非对角线元素得到,重要定理: 给定nn矩阵B
18、,其中bij0(ij)(所有的非对角元素都非正);并且一个n1向量d0(所有元素都非负),则存在一个n1向量x*0使得Bx*=d,当且仅当|Bm|0(m=1,2,n) Bx*=d等价于x*=(I-A)-1d,存在x*0确保非负产出水平的存在. 其充分必要条件(霍金斯-西蒙条件):里昂惕夫矩阵的所有顺序主子式均为正! 霍金斯-西蒙条件的经济意义(两产业例子说明) 里昂惕夫矩阵 要求|B1|0即a110即(1-a11)(1-a22)- a12a210,即a11+ a12a211,其经济意义是作为生产1美元的第一种商品的直接投入与间接投入的第一种商品的自身价值必须小于1美元 上述条件对生产过程施加了
19、特定的可行性约束条件,当且仅当生产过程是经济上可行的,才能得出有意义的非负产出水平的解,封闭模型 若投入产出模型中的外生部门被纳入该系统,并成为其中的一个产业部门,则开放系统变成封闭系统. 在封闭模型中,不再有最终需求和基本投入,其位置由新构建的产业部门的投入需求和产出所填补 所有物品均具有中间产品的性质,仅是为了满足(n+1)个产业的投入和产出需求而生产 表面上看来开放部门转化成额外的产业部门似乎不对分析产生影响,但因为新的产业被假定与其他产业一样具有固定的投入比例,过去用做基本投入的供给现在必须与过去称作的最终需求保持固定比例 比如,居民户将按照与其供给的劳动这样的固定比例消费每一个商品,
20、这无疑使分析框架发生了变化!,数学上看,最终需求的消失意味着我们将有一个齐次方程组.(假设经济中仅有4个产业,包括新的产业) 因为该方程组是齐次的,当且仅当里昂惕夫矩阵具有0行列式时才会有非零解 如前表所示的那样,方程组有无穷多组解,即意味着在以齐次方程组表示的封闭模型中,不存在唯一正确的产出组合,可以确定产出水平之间的比例,但不能固定产出水平的绝对水平,除非我们对模型加以限制.,静态分析的局限性,静态分析主要关心的问题 求模型中内生变量的均衡值,关心在何处到达均衡状态 忽视在何时达到均衡以及到达均衡状态过程中出现的问题 静态均衡分析忽视的问题 均衡状态的移动问题:因为达到均衡所需要的调整时间过长,外生变量在此期间会发生改变 均衡的可实现问题:调整过程驱使变量偏离而非趋向均衡(“非稳态均衡”出现),最终使得设想的均衡状态难以达到 上述两问题分别由比较静态分析和动态分析来解决,练 习,在两部门经济中,产业I生产1美圆的第I种商品需10美分的自身产品作投入,60美分的第II产业的商品作为投入,产业II生产1美元的II商品不需自身产业的产品作投入,仅需投入50美分的I商品.开放部门需要10000亿美元的商品I和20000亿美元的商品II 写出投入矩阵,里昂惕夫矩阵,该经济的投入-产出矩阵方程 验证本题的数据是否满足霍金斯西蒙条件 用克莱姆法则求产出水平解,