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1、成都七中2014届高三4月第一次周练数学（理）试题 一、选择题(共50分,每题5分) 1.数列满足:,则其前10项的和A.100 B.101 C.110 D.111 2.命题甲:或;命题乙:,则甲是乙的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既不充分条件也不必要条件3.程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是A.5 B.6 C.7 D.84.已知直线被双曲线的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.35.设且.若对恒成立,则的取值范围是A. B.C. D.6.在用土计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微
2、生物跑步参加化学反应,其物理速度与时间的关系是,则 A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值7.定义集合与的运算“*”为:或,但,按此定义,A. B. C. D.8.已知三棱柱的侧棱在下底面的射影与平行,若与底面所成角为,且,则的余弦值为 A. B. C. D.9.已知且,则存在,使得的概率为A. B. C. D.10.将一个棋盘中的8个小方格染黑,使每行每列都恰有两个黑格,则不同的染法种数是 A.60 B.78 C.84 D.90二、填空题(共25分,每题5分)11.已知的展开式中的系数是,则实数_.12.若,其中为虚数单位,则_.13.若对恒成立,则实数的取值范围是_.14.
3、已知,则与的夹角的取值范围是_.15.设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:平分;与椭圆相切;平分;使得的点不存在.其中正确结论的序号是_.三、解答题(共75分)16.(12分)有驱虫药1618和1573各3杯,从中随机取出3杯称为一次试验(假定每杯被取到的概率相等),将1618全部取出称为试验成功.(1)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).(2)若试验成功的期望值是2,需要进行多少次相互独立重复试验?17.(12分)已知的定义域为.(1)求的最小值.(2)中,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积.18.(12分
4、)如图,正方体中,已知为棱上的动点.(1)求证:.(2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)设,用表示当时的函数值中整数值的个数.(1)求的表达式.(2)设,求.(3)设,若,求的最小值.20.(13分)设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.(1)当时,求椭圆的方程.(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.21.(14分)设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.理科参考解答
5、一、CBACD,BACDD 9.解.可行域是一个三角形,面积为2;又直线系与圆相切,故该三角形不被该直线系扫到的部分是一个半径为圆心角为的扇形,面积为,从而被直线系扫到部分的面积为,故所求概率为.15.解.由上次中根出的题知成立;写出椭圆在点处的切线知成立;于是平分,故不成立;若,则为的斜边中线,这样的有4个,故不成立. 三、16.解.(1)从6杯中任选3杯,不同选法共有种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而一次试验成功的概率为. 故前两次试验都没成功,第3次才成功的概率为. (2)假设连续试验次,则试验成功次数,从而其期望为,再由可解出. 17.解.(1)先化简的解析式:由,得,所
6、以函数的最小值,此时.(2)由(1)知函数的最大值,即.中,故(正弦定理),再由知,故,于是,从而的面积. 18.解一.连设,连.(1)由面,知, 又, 故面. 再由面便得.(2)在正中,而, 又面,平面,且,故面,于是,为二面角的平面角.正方体ABCD中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.再由知面,故是直线与平面所成角.又,故直线与平面所成角的正弦是. 解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为. (1)易得. 设,则,从而,于是(2)由题设,则,. 设是平面的一个法向量,则,即 于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是. 19.
7、解.对,函数在单增,值域为, 故.(2),故 . (3)由得,且两式相减,得 于是故若且,则的最小值是7. 20.解.(1)由条件,是椭圆的两焦点,故半焦距为,再由离心率为知半长轴长为,从而的方程为,其右准线方程为.故当时,的方程为,其右准线方程为.(2)由(1)可知的周长.又,的方程是而.若垂直于轴,易得,矛盾,故不垂直于轴,可设其方程为,与方程联立可得,从而,令可解出,故的方程为或. (3)由于,由在椭圆上知,由在抛物线上知,且,从而若的边长是连续正整数,则必为正整数且,.令得.但由的方程消去应得,而为这个方程的一个根,故,解得或. 显然不合题意而适合,故存在使得的边长是连续正整数. 21.解.(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根. 又,故切线方程为. 综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,显然有,且的导函数为 若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立. 若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立. 综上所述,所求的最大值是.13