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1、 如东县掘港高级中学2014高三第三次调研考试试卷数学试卷()一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)1已知集合,则 .2已知为实数,则“”是“”的 条件3已知都是锐角,则_ _.4为虚数单位,复数的虚部是_ _.5. 已知向量,.若,则实数的值为 6. 已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为(结果保留)_7顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 8. 函数的单调减区间为_9. 设定义在区间()上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数ysin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为_10. 已知
2、直线与圆相交于两点,若点M在圆C上,且有(为坐标原点),则实数= . 11. 已知实数,有且仅有两个不等实根,且较大的实根大于3,则实数的取值范围 . 12在数列中,记是数列的前项和,则= 13在平面直角坐标系中,已知点是半圆()上的一个动点,点在线段的延长线上当时,则点的纵坐标的取值范围是 14. 我们可以利用数列的递推公式()求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数。研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第8个5是该数列的第_项. 二、解答题(本大题共6小题,计90分)15.(本小题满分14分)已知函数,且其图象的相邻对称轴间的距离为.(I)求在区间上的值域;(II)在锐角
3、中,若求的面积.16.(本小题满分14分)ABDA1B1C1D1EC如图,已知四棱柱的底面是菱形,侧棱底面,是侧棱的中点. ()求证:平面;()求证:平面.17.(本小题满分14分)如图,为相距的两个工厂,以的中点为圆心,半径为画圆弧。为圆弧上两点,且 ,在圆弧上一点处建一座学校。学校受工厂 的噪音影响度与 的平方成反比,比例系数为1,学校受工厂的噪音影响度与 的平方成反比,比例系数为。学校受两工厂的噪音影响度之和为 ,且设 。(1)求 ,并求其定义域;(2)当为多少时,总噪音影响度最小? 18、(本题满分16分)已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为
4、. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点(1)求椭圆的标准方程;(2)证明两点的横坐标的平方和为定值;(3)过点的动圆记为圆,已知动圆过定点和(异于点),请求出定点的坐标.19.(本小题满分16分),其中,由中的元素构成两个相应的集合:,其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和若对于任意的,总有,则称集合具有性质(I)对任何具有性质的集合,证明:;(II)判断和的大小关系,并证明你的结论20.(本小题满分16分)已知函数 ,(I)若在上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为,试求和的值。(II)若为奇函数:是否存在实数,使得在为增函数,为减函数,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;如
5、果当时,都有恒成立,试求的取值范围。如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答题纸一填空题:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15题:班级 姓名 学号 姓名学号16题 ABDA1B1C1D1EC17题:18题:19题20题:如东县掘港高级中学高三第三次调研考试试卷数学试卷(理科方向)21.(本小题满分10分)已知函数,设曲线在点处的切线为,若与圆相切,求的值.班级 姓名 学号 22.(本小题满分10分) 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面,.()求证:;()求二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知直线被抛物线截得的弦长为20,为坐标原点(1)求实
6、数的值;(2)问点位于抛物线弧上何处时,面积最大?24.(本小题满分10分)已知等差数列满足:。数列的前n项和(1)求数列和的通项公式;(2)令,试问:是否存在正整数n,使不等式成立?若存在,求出相应n的值;若不存在,请说明理由。如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答案一、填空题:1. ; 2. 充分不必要; 3. ; 4. ;5. ;6. ; 7. ;8. ;9. ;10. 0;11. ; 12,2550 ; 13. ; 14.640 二、解答题:15、解:(I) 3分由条件知,又 , . , , ,的值域是. 7分(II)由,得, 9分由及余弦定理,得, 12分的面积. 14分16
7、、证明:()因为是菱形,所以,因为底面,所以, 所以平面. 6分()设,交于点,取的中点,连接,则,且,又是侧棱的中点,所以,且, 所以四边形为平行四边形, 又平面,平面, 所以平面. 14分 17、解:()连接OP,设则,在AOP中,由余弦定理得,在BOP中,由余弦定理得,4分,则,.6分,则,。8分()令,.10分由,得或t=-10(舍去),当,函数在上单调递减;当,函数在上单调递增;当时,即时,函数有最小值,也即当AP为(km)时,“总噪音影响度”最小14分18. 解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分(2)证明:设点将带入椭圆,化简得:,6分
8、, P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分(3)设圆的一般方程为:,则圆心为(),PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心()满足,所以,9分圆过定点(2,0),所以,10分圆过, 则 两式相加得: ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以,由解得: 13分代入圆的方程为:,整理得:,14分所以:15分 解得:或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分19.解:(I)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个因为,所以;又因为当时,时,所以当时,从而,集合中元素的个数最多为,即 6分(II)解:,证明如下:(1)对于,根据定义,且,从而如果与是的不
9、同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,11分(2)对于,根据定义,且,从而如果与是的不同元素,那么与中至少有一个不成立,从而与中也不至少有一个不成立,故与也是的不同元素可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,由(1)(2)可知,16分20、()在上存在最大值和最小值,(否则值域为R), ,又,由题意有,; 4分()若为奇函数, (1)若,使在(0,)上递增,在(,)上递减,则,这时,当时,递增。当时,递减。 9分 (2)若,即,则对恒成立,这时在上递减,。 12分若,则当时,不可能恒小于等于0。若,则不合题意。
10、若,则,使,当时,这时递增,不合题意。综上。 16分如东县掘港高级中学高三第三次调研考试数学试卷答案21解:依题意有:, 4分的方程为与圆相切,的值为.10分22、证明:()以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则, , ,所以 .4分xzy()易证为面的法向量,设面的法向量,所以所以面的法向量 ,因为面和面所成的角为锐角,所以二面角的余弦值为.10分23.解:(1)将代入得,-2分 由可知, 另一方面,弦长AB,解得;-5分(2)当时,直线为,要使得内接ABC面积最大,则只须使得,-即,即位于(4,4)点处 -10分24解:(1)设数列的公差为, 由,得,得2分由数列的前和为可知,当时,当时, 当时,得,故数列的通项公式为,的通项公式为5分(2)假设存在正整数使不等式成立,即要满足,由,所以数列单调减,数列单调增,6分当正整数时,所以不成立;7分当正整数时,所以成立;8分当正整数时, 所以不成立. 综上所述,存在正整数时,使不等式成立.10分