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1、2014年江苏高考数学模拟试题（一）数学 必做题部分注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一、填空题：本大题共
2、14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，集合,且，则实数的值为 1答案：，解析：根据子集的定义知的值为2已知复数为纯虚数，则实数的值为 I1While I6Y2I+1II+2End WhilePrint Y2答案：，解析： ，是纯虚数，且 ，3一个算法的流程图如下图所示，则输出s的结果为 3答案：，解析：第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，所以输出4如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是，则 4答案：，解析：由茎叶图知甲的中位数为，乙的中位数为，5一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，
3、6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 5答案：，解析：设“编号不相同”为事件，则“编号相同”为其对立事件，事件包含的基本事件为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以 ，编号不同的概率为6在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则角A的大小为 6答案：，解析：，即， ，7已知质点在半径为的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s，设为起始点，记点在轴上的射影为，则10秒时点的速度是 cm/s7答案：，解析：运动ts后，则的位移，则10秒时点的速度是10cm/s瞬时变化率就是导数是解题的关
4、键8如图，设椭圆长轴为AB，短轴为CD，E是椭圆弧BD上的一点，AE交CD于K，CE交AB于L，则的值为 .8答案：，解析：利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比，将线段之比转化为坐标的绝对值之比，体现坐标法解决问题的思想.如图所示，设点，过点E分别向x、y轴引垂线，垂足分别为N、M，由MKEOKA，故，同理，则，又点在椭圆上，故有，即.9各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则的值为 9答案：，解析： 由等比数列的性质知，又因为各项均为正数，所以因为，所以，所以，又，其通项公式为，将代入得，所以10已知的三边满足，则的面积最大值为 10答案：，解析： ，当时，等号取得，即
5、当时，的面积的最大值为11用表示不超过的最大整数已知的定义域为，则函数的值域为 11答案：，解析：根据的定义分类讨论当时，；当时，；所以函数的值域为12已知点、分别为的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若，则的值为 12答案：，解析：另解：注意到题中的形状不确定，因此可取特殊情形，则点即为点，由此可迅速得到答案13设是正实数，且，则的最小值是 13答案：，解析：设，则所以=因为，等号当且仅当取得，即当且仅当时，的取得最小值14在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 14解析：方法1：利用椭圆的定义一方面点在以为焦点，长轴长为的椭圆上；另一方面，可能在，上，
6、或者在上因为，故点在以为焦点，长轴长为的椭圆外，所以椭圆必与线段相交，同理在，上各有一点满足条件又若点在上，则故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点故满足题设条件的点的个数为方法2：若在上，设，有解得故上有一点（的中点）满足条件同理在，上各有一点满足条件 又若点在上，则故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点故满足题设条件的点的个数为二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）如图2，点在内，记（1）试用表示的长； （2）求四边形的面积的最大值，并求出此时的值15解：（1）与中，由余弦定理得， ， 由得，解得；（2）
7、由（1）得，所以当时，16（本小题满分14分）已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点 （1）求证：；（2）求证：平面16证明：（1）平面，平面，又是菱形， 又平面，平面，又平面， （2）取线段的中点，连结，则，且，又，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面17（ 本小题满分14分） 某商场分别投入万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润、万元，利润曲线分别为，其中都为常数如图所示：（1）分别求函数、的解析式；高 考 资 源 网（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值（可能要用的数）17解（1）由函数过点可得， 可得，由函数过点可得，（2）设该商场经销甲商
8、品投入万元，乙商品投入万元，该商场所获利润为万元则令可得，（11分）在单调递增，当在单调递减，当在单调递增，当时，利润有最小值答：该商场所获利润的最小值18（本小题满分16分）已知圆和圆（1）过圆心作倾斜角为的直线交圆于两点，且为的中点，求；（2）过点引圆的两条割线和，直线和被圆截得的弦的中点分别为.试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；（3）过圆上任一点作圆的两条切线，设两切线分别与轴交于点和，求线段长度的取值范围18解：（1）设直线的方程为，则圆心到直线的距离设的中点为，则则，所以在中，（2）依题意，过点的圆即为以为直径的圆，所以，即整理成关于实数的
9、等式恒成立则，所以或即存在定点. （3）设过的直线与圆切线，则，即，整理成关于的方程， （）判别式，所以直线与轴的交点为，不妨设，则而是（）方程的两根， 则，又，所以令，则，考察关于的函数，函数在区间是单调递减，在区间上单调递增，所以，所以 19（本小题满分16分）数列满足（1）求；（2）设，分别求关于的表达式；（3）设，求使的所有的值，并说明理由 19解：（1），（2）当时，是以为首项，为公差的等差数列，则，当时，是以为首项，为公比的等比数列，则，的通项公式为，（3），于是下面证明：当时，事实上，当时，即，又，当时，故满足的的值为20（本题满分16分）已知函数（）（1）是否存在实数，使得函数
10、在上单调递减，在上单调递增？请说明理由；（2）若，求函数在上的最大值；（3）求证：对任意的实数，存在，恒有，并求出符合该特征的的取值范围20解：（1）当时， 令（），（），无论还是均不符合要求； （2）若，当时，当时，当，此时在上单调减，在上单调增，则在上；当，此时，此时在上单调增，在上单调减，在上单调增，由于，则在上；当，此时，则此时在上单调增，在上单调减，在上单调增，在上单调增，则在上；综合有 当时，；当时，（3） 当时，方程只有0根；当时，方程没有0根和正根，当，时，由方程得，则，得；当时，方程没有0根和负根，当，时，由方程得，则，得；综上可知，对任意的实数，存在，恒有数学附加题PADB
11、CO21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，PA切O于点，D为的中点，过点D引割线交O于、两点求证: A证明：因为与圆相切于， 所以， 因为D为PA中点，所以DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 因为， 所以， 所以 B选修42：矩阵与变换已知, 求矩阵B.B解：设 则， 故 C选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大
12、C解：曲线C的普通方程是 直线l的普通方程是 设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是 因为，所以当，即Z)，即Z)时，d取得最大值 此时综上，点M的极坐标为或点M的直角坐标为时，该点到直线l的距离最大 D选修45：不等式选讲设函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围 D解：（1）由题设知：，如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示）,知定义域为.（2）由题设知，当时，恒有，即 由（1）， .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中.22解：由二项式定理可知，,设，而若有，则， ， 令，则必有 必可表示成的形式，其中 注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数23已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，设以为圆心，为半径的圆交准线于两点（1）若，且的面积为，求的值；（2）若三点共线于直线，设直线与抛物线的另一个交点为，记和两点间的距离为，求关于的表达式23解：（1）由对称性可知，为等腰直角三角形，则斜边，且点到准线的距离，即（2） 由对称性可设，由点，关于点对称，得，所以，解得，即直线的方程为，与抛物线方程联列得，解得，所以这样