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1、2014年海口市高考调研测试数学（理科）试题(二)注意事项：1本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效2本试卷满分150分，考试时间120分钟第卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1设集合，则A B C D2，设为虚数单位，则满足条件的复数的共轭复数是A B C D3设是数列的前项和，命题：是等差数列，命题：（），则命题是命
2、题成立的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D以上都不正确4设随机变量，若，则A B C D5某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有A种 B种 C种 D 种6如右图是一个根据的三条边的边长判断三角形形状的程序框图，则框图中菱形内应该填写的是( )A BC D7等比数列的前项和为，则A B C D（第6题图）8抛物线与直线交于、两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则等于A B C D9空间直角坐标系中，的三视图如右图所示，已知，则点的坐标是（第9题图）A BC D 10在区域上随机取一个点，落在所表示的可行域内的概率值A B
3、C D与的值有关11在ABC中，已知，为线段上的点，且, 则的最大值为A B C D12设球是正方体的内切球，若平面截球所得的截面面积为，则球的半径为A B C D第卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷中的横线上)13计算_14过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为 15设角为第四象限角,并且角的终边与单位圆交于点,若,则_16定义在R上的运算“”： 对实数和， 设函数，。若函数的图像与直线恰有两个公共点，则实数的取值范围是_三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）设函数,（）求函
4、数的最小正周期和在区间上的取值范围；（）中,设角,所对的边分别为,若,求 的取值范围18（本小题满分12分）如图所示，三棱锥，已知平面平面，（）求证：；（）若二面角为，求直线与平面所 成的角的正弦值（第18题图）19（本小题满分12分）2013年，国务院常务会议五项加强房地产调控的政策措施，俗称“国五条”以下是对海口市工薪阶层关于“国五条”态度进行的调查数据，随机抽取了50人，他们月收入的频数分布情况及对“国五条”赞成的人数如下表所示：月收入（单位：百元）频数赞成人数（）由以上统计数据填写下面列联表并回答是否有的把握认为月收入以元为分界点对“国五条”的态度有差异；月收入不低于元的人数月收入低于
5、元的人数合计赞成不赞成合计参考公式：，其中（）若对月收入在，内的被调查人员中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中不赞成“国五条”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望20（本小题满分12分）已知椭圆：，过点作圆的切线交椭圆于、两点（）求椭圆的焦点坐标和离心率；（）将表示成的函数，并求的最大值21（本小题满分12分）已知函数和函数.（）若函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；（）若存在两个实数，且，满足，求证：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）选修41：平面几何选讲如图，过圆的直径的端点作直线、分别交圆于另一点和点，过点作
6、于，已知（）求证：是圆的切线；（）若，求的面积23 (本小题满分10分）选修44:坐标系与参数方程（第22题图）己知曲线曲线的参数方程是，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系的长度单位相同）若曲线的极坐标方程为，射线，与曲线交于极点外的三点（）求证：；（）当时，两点在曲线上，求与的值24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数，（）求证：当时，不等式成立；（）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值2014年海口市高考调研测试数学（理科）试题（二）参考答案一、选择题：123456789101112ADABDACCDCBC1解析：，答案A2解析：，的共轭服饰为，
7、答案D3解析：,但当时，不是等差数列，答案A4解析：由得，答案B5解析：派出的5名老师去三所中学有2种情况，（1）一所学校3名，另外两所学校各一名：（）种；（2）两所学校各一名，另外一所学校一名，（）种，一共150种，答案D6解析：由框图最后可知程序根据余弦定理：的符号判断三角形的形状，因此必须是三个内角中最大的角，所以必须是三条边中最大的边。因此答案为A7解析：设等比数列的公比为，由等比数列前项和的性质：，解得答案C8解析：把的坐标代入抛物线及直线方程得：，联立得：，由抛物线定义的值等于点、到准线的距离之和，答案C 9 解析：由三视图，借助长方体模型作出空间三角形如图，由点、的坐标知点的位置
8、只能在中点处，易知点坐标为答案D10 解析：区域的面积为，可行域如图中阴影部分 所示，则可行域的面积为，由几何概型，答案C11解析：得，由得由得，由得，如图以为原点，方向为轴建立平面直角坐标系，由及向量坐标的定义，知，由为线段上的点可设，即，得：，12 解析：如图，易知过球心，且平面，不妨设垂足为，正方体棱长为，则球半径为，易知，截面圆半径，所以截面圆面积，得，球的半径为 答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13 1 14 15 16 或13解析：14解析：得，若直线斜率不存在，则直线方程为，代入圆方程得，则此时弦长为，符合题意；直线斜率存在时，
9、可设直线方程为，即，圆心到直线的距离，无解综上，直线方程为15由三角函数定义，则，两边平方得，注意到为第四象限角，16 解析：，解得或，作出图象如图，易知或三、 解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 解：（）， 3分，即在区间上的取值范围是 6分（），由，得，得： 由余弦定理：， 8分，又，即， 11分由三角形两边之和大于第三边，已知的范围是： 12分18解：（）证明：中，应用余弦定理：，解得， 3分平面平面，平面平面，平面又平面 6分（）由（），平面，平面，又，平面平面，是平面与平面所成的二面角的平面角，即 8分，平面是与平面所成的角 10分中，中
10、， 12分法二：利用空间向量：如图建立空间直角坐标系，平面法向量，设平面的法向量，由，易知，从而，解得，易知，则，设直线与平面所成的角为，则，即求直线与平面所成的角的正弦值为19解：（）列联表：月收入不低于元的人数月收入低于元的人数合计赞成不赞成2分合计 5分没有的把握认为月收入以元为分界点对“国五条”的态度有差异 6分（）的所有可能取值为， 7分， 10分所以，的分布列是所以 12分20解：（）椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距， 2分焦点坐标是，离心率是； 5分（）易知，当时，切线方程为或，此时； 6分当时，易知切线方程斜率不为0，可设切线的方程为：，即，则，得： 联立：，得：，整理： 8分
11、其中则 代入：， 10分而，等号成立当且仅当，即时 12分21解：（）方法一：构造函数：，在区间上， 2分若，则，是区间上的增函数，函数在区间上有唯一零点 4分若，有唯一零点 5分若，令得： 在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的极大值为由得故所求实数的取值范围是 6分方法二：通过证明在上无实数解（）同问题（1），原问题等价于若由两个相异零点、，求证：设，要证，只需证，即， 8分其中，从而只需证，即只需证，（i）注意到，不妨设，则，故函数在上是增函数，即成立，从而（i）式成立，故原不等式成立 12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
12、分（第22题图）22解：（）连结，则，所以因为，所以因为，即所以是圆的切线 5分（）因为是圆的切线，所以，即，所以 因为/，所以到的距离等于到的距离，即为，又因为为的中点，到的距离等于 故的面积SABBC54 10分23解：（）依题意，则| 5分（）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为， 是经过点，倾斜角为的直线，又经过点，的直线方程为9分所以， 10分24解：（）证明：， 2分设函数的最小值为3，从而，所以成立 5分（）由绝对值的性质得，所以的最小值为，从而，解得，因此的最大值是 10分2014年海口市高考调研测试数学（理科）试题（二）参考答案一、选择题：123456789101112A
13、DABDACCDCBC1解析：，答案A2解析：，的共轭服饰为，答案D3解析：,但当时，不是等差数列，答案A4解析：由得，答案B5解析：派出的5名老师去三所中学有2种情况，（1）一所学校3名，另外两所学校各一名：（）种；（2）两所学校各一名，另外一所学校一名，（）种，一共150种，答案D6解析：由框图最后可知程序根据余弦定理：的符号判断三角形的形状，因此必须是三个内角中最大的角，所以必须是三条边中最大的边。因此答案为A7解析：设等比数列的公比为，由等比数列前项和的性质：，解得答案C8解析：把的坐标代入抛物线及直线方程得：，联立得：，由抛物线定义的值等于点、到准线的距离之和，答案C 9 解析：由三
14、视图，借助长方体模型作出空间三角形如图，由点、的坐标知点的位置只能在中点处，易知点坐标为答案D10 解析：区域的面积为，可行域如图中阴影部分 所示，则可行域的面积为，由几何概型，答案C11解析：得，由得由得，由得，如图以为原点，方向为轴建立平面直角坐标系，由及向量坐标的定义，知，由为线段上的点可设，即，得：，12 解析：如图，易知过球心，且平面，不妨设垂足为，正方体棱长为，则球半径为，易知，截面圆半径，所以截面圆面积，得，球的半径为 答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13 1 14 15 16 或13解析：14解析：得，若直线斜率不存在，则直线
15、方程为，代入圆方程得，则此时弦长为，符合题意；直线斜率存在时，可设直线方程为，即，圆心到直线的距离，无解综上，直线方程为15由三角函数定义，则，两边平方得，注意到为第四象限角，16 解析：，解得或，作出图象如图，易知或三、 解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 解：（）， 3分，即在区间上的取值范围是 6分（），由，得，得： 由余弦定理：， 8分，又，即， 11分由三角形两边之和大于第三边，已知的范围是： 12分18解：（）证明：中，应用余弦定理：，解得， 3分平面平面，平面平面，平面又平面 6分（）由（），平面，平面，又，平面平面，是平面与平面所成
16、的二面角的平面角，即 8分，平面是与平面所成的角 10分中，中， 12分法二：利用空间向量：如图建立空间直角坐标系，平面法向量，设平面的法向量，由，易知，从而，解得，易知，则，设直线与平面所成的角为，则，即求直线与平面所成的角的正弦值为19解：（）列联表：月收入不低于元的人数月收入低于元的人数合计赞成不赞成2分合计 5分没有的把握认为月收入以元为分界点对“国五条”的态度有差异 6分（）的所有可能取值为， 7分， 10分所以，的分布列是所以 12分20解：（）椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距， 2分焦点坐标是，离心率是； 5分（）易知，当时，切线方程为或，此时； 6分当时，易知切线方程斜率不为0
17、，可设切线的方程为：，即，则，得： 联立：，得：，整理： 8分其中则 代入：， 10分而，等号成立当且仅当，即时 12分21解：（）方法一：构造函数：，在区间上， 2分若，则，是区间上的增函数，函数在区间上有唯一零点 4分若，有唯一零点 5分若，令得： 在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的极大值为由得故所求实数的取值范围是 6分方法二：通过证明在上无实数解（）同问题（1），原问题等价于若由两个相异零点、，求证：设，要证，只需证，即， 8分其中，从而只需证，即只需证，（i）注意到，不妨设，则，故函数在上是增函数，即成立，从而（i）式成立，故原不等式成立 12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（第22题图）22解：（）连结，则，所以因为，所以因为，即所以是圆的切线 5分（）因为是圆的切线，所以，即，所以 因为/，所以到的距离等于到的距离，即为，又因为为的中点，到的距离等于 故的面积SABBC54 10分23解：（）依题意，则| 5分（）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为， 是经过点，倾斜角为的直线，又经过点，的直线方程为9分所以， 10分24解：（）证明：， 2分设函数的最小值为3，从而，所以成立 5分（）由绝对值的性质得，所以的最小值为，从而，解得，因此的最大值是 10分