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1、株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1 1 页，共页，共 6 6 页页 绝密绝密启用前启用前 株洲市株洲市 20142014 届高三年级教学质量统一检测届高三年级教学质量统一检测 （一）（一） 数学试题（理工医农类）数学试题（理工医农类） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分卷（非选择题）两部分满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、一、选择题选择题 ( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，
2、共分，共 4040 分，在每小题分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案要写在答题卷上给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案要写在答题卷上) ) 1 1设设i为虚数单位，若复数为虚数单位，若复数 1 a i- 的实部为的实部为 1 1，则实数，则实数a等于等于 （ ） A.-5A.-5 B.5B.5 C.-1C.-1 D.2D.2 2.2.下列有关命题正确的是下列有关命题正确的是（ ） A A “x=-1”“x=-1”是是“ 2 x-5x-6=0-5x-6=0 的必要不充分条件的必要不充分条件” B B命题命题“,Rx使得使得 2 x+x+1+x+10”的否定是：的否定是：
3、“Rx均有均有 2 x+x+1+x+1 0” C C命题命题“若若 x=y,x=y,则则 sinx=siny”sinx=siny”的逆否的逆否命命 题为真命题题为真命题 D D已知已知p p：00，则，则p ：00 1 1 x x1 1 1 1 x x1 1 3.3.阅读右面的程序框图，则输出的阅读右面的程序框图，则输出的k的值为的值为（ 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 2 2 页，共页，共 6 6 页页 ） A A4 4B B5 5 C C6 6D D7 7 4 4设函数设函数)(xf为定义在为定义在 R R 上的奇
4、函数，当上的奇函数，当0x时，时， bxxf x 2 2 1 )(（b为常数）为常数） ，则，则) 1 (f （ ） A A1 1 B B3 3C C3D D1 5.5.已知点已知点 P P（3,33,3） ，Q Q（3,-33,-3） ，O O为坐标原点，动点为坐标原点，动点 M M（x,x, y y）满足）满足 | 12 | 12 OP OM OQ OM ，则点，则点 M M 所构成的平面区域的面积是所构成的平面区域的面积是 ( ( ) ) A.A. 1212B.B. 1616 C.C. 3232D.D. 6464 6.6. 在同一坐标系中，离心率为在同一坐标系中，离心率为 1 e的椭圆与
5、离心率为的椭圆与离心率为 2 e的双曲线有相同的双曲线有相同 的焦点的焦点 12 FF 、，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点 12 FF 、的连线互的连线互 相垂直，则相垂直，则 22 12 11 ee ( ( ) ) (A)(A)2 2 （B B）3 3 （C C） 5 3 （D D） 5 2 7 7已知函数已知函数( )sin()(0) 3 f xx ，若，若()() 63 ff 且且( )f x在区间在区间 (,) 6 3 上有最小值，无最大值。则上有最小值，无最大值。则的值为（的值为（ ） A A 2 3 B B 5 3 C C14 3 D D 38 3
6、株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 3 3 页，共页，共 6 6 页页 8.8.若实数若实数a、b、c、d满足满足 2 2ln41 1, 33 aa cd b 。则。则 22 )()(dbca的的 最小值最小值 为为 ( ( ) ) A.A. 1 10 B.B. 2 ln2 5 C.C. 2 2 (1 ln2) 5 D.D. 2 (92ln3) 10 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题二、填空题 ( (本大题共本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分分).). 9.9.过点过
7、点)3 , 2(A且垂直于直线且垂直于直线052 yx的直线方程为的直线方程为 1010已知已知M M是是ABCABC内的一点，且内的一点，且AB AC 2 2，BACBAC3030，若，若 3 3 MBCMBC，MCAMCA和和MABMAB的面积分别为的面积分别为 ，x x，y y，则，则 的最小值是的最小值是 1 1 2 2 1 1 x x 4 4 y y 1111一几何体的三视图如下图所示，则它的一几何体的三视图如下图所示，则它的 体积为体积为 1212由曲线由曲线xy ，直线，直线2 xy及及y y轴所围成轴所围成 的图形的面积为的图形的面积为 1313若关于若关于x的方程的方程 2
8、4 kx x x 有四个不同的有四个不同的 实数根，则实数根，则k的取值范围是的取值范围是 1414已知函数已知函数)0()( 23 adcxbxaxxf图像的对称中心为图像的对称中心为)(,( 00 xfxM， 记函数记函数)(xf的导函数为的导函数为)(x f ，)(x f 的导函数为的导函数为)(x f ，则，则 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 4 4 页，共页，共 6 6 页页 有有0)( 0 x f若函数若函数 23 3)(xxxf，则，则 ) 2013 4025 () 2013 4024 () 2013 2
9、 () 2013 1 (ffff 1515对于实数对于实数x，将满足，将满足“01y且且xy为整数为整数”的实数的实数y称为实数称为实数 x的小数部分，用符号的小数部分，用符号x 表示表示. .已知无穷数列已知无穷数列 n a满足如下条件满足如下条件: : 来源来源:Zxxk.Com:Zxxk.Com 1 aa ; 1 1 (0) 0(0) n n n n a aa a . . ()()若若2a 时时, ,数列数列 n a通项公式为通项公式为 ()()当当 1 3 a 时时, ,对任意对任意 * nN都有都有 n aa, ,则则a的值为的值为 . . 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6
10、6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明，证明分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。过程或演算步骤。 1616 （本题满分（本题满分 1212 分）分） 在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为cba,，已知函数，已知函数 AAxxxfcos 2 1 )cos(cos)( x(R R） （1 1）求函数）求函数( )f x的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值； （2 2）若函数）若函数)(xf在在 3 x处取得最大值，求处取得最大值，求 (coscos) ()sin aBC bcA 的值的值 株洲市株洲市 2014 届教学质量统
11、一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 5 5 页，共页，共 6 6 页页 17.(17.(本小本小题满分题满分 1212 分分) ) 如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面） 111 ABCABC的侧面的侧面 11 A ACC与底面与底面ABCABC垂直，垂直，2,2 3,2 2BCACAB， 11 6AAAC. . (1)(1) 设设 ACAC 的中点为的中点为 D D，证明，证明 1 AD 底面底面ABC； (2)(2) 求侧面求侧面 11 A ABB与底面与底面ABCABC所成二面角的余弦值；所成二面角的余弦值； 株洲
12、市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 6 6 页，共页，共 6 6 页页 18.18.( (本小本小题满分题满分 1212 分分) ) 已知数列已知数列 n a前前 n n 项和为项和为 1 1 , 2 nnn Saa S首项为且，成等差数列成等差数列. . （I I）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （IIII）数列满足）数列满足 2123 22 (log)(log) nn aa n b ，求证：，求证： 123 11111 2 n bbbb 19.19.( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 株洲市株
13、洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 7 7 页，共页，共 6 6 页页 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的 需求函数分别是需求函数分别是 11 218qp, , 22 12qp, ,其中其中 1 p和和 2 p分别表示该产品在分别表示该产品在 两个市场上的价格（单位：万元两个市场上的价格（单位：万元/ /吨）吨） ， 1 q和和 2 q分别表示该产品在两个分别表示该产品在两个 市场上的销售量（即需求量，单位：吨）市场上的销售量（即需求量，单位：吨） ，并
14、且该企业生产这种产品的，并且该企业生产这种产品的 总成本函数是总成本函数是52 qc，其中，其中q表示该产品在两个市场的销售总量，即表示该产品在两个市场的销售总量，即 21 qqq （1 1）试用）试用 1 q和和 2 q表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格， 使该使该企业获得最大利润企业获得最大利润； （2 2）在两地价格差别满足）在两地价格差别满足 12 1 2 pp的条件下，推算该企业可能获得的条件下，推算该企业可能获得 的最大利润（取一位小数）的最大利润（取一位小数） 2020( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 已
15、知椭圆已知椭圆 2 2 :1 4 x My的左右焦点分别为的左右焦点分别为 F F1 1，F F2 2，O O 为坐标原点，过点为坐标原点，过点 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 8 8 页，共页，共 6 6 页页 P P（4 4，0 0）且不垂直于）且不垂直于 y y 轴的动直线轴的动直线l与椭圆与椭圆 M M 相交于相交于 A A、B B 两点，过两点，过 点点 A A、O O 的直线与椭圆交于另一点的直线与椭圆交于另一点 C C， （1 1）若）若15CPAP ，求，求 ACAC 的直线的方的直线的方 程；程； （
16、2 2）求）求ABC面积的最大值。面积的最大值。 2121. .( (本小本小题满分题满分 1313 分分) ) 设函数设函数 2 ( )(2)lnf xxaxax. . （1 1）求函数）求函数( )f x的单调区间的单调区间 （2 2）若函数）若函数( )f x有两个零点有两个零点 1 x， 2 x，且，且 12 xx，求证：，求证： 12 ()0 2 xx f 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 9 9 页，共页，共 6 6 页页 株洲市株洲市 20142014 届高三年级教学质量统一检测（一）届高三年级教学质量统一
17、检测（一） 数学（理科）答案数学（理科）答案 命题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟命题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟 民（九方中学）民（九方中学） 审题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟审题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟 民（九方中学）民（九方中学） 一、一、选择题选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给分在每小题给 出的四个选项中，只有一项符合题目的要求出的四个选项中，只有一项符合题目的要求) ) 题号题号 1 12 23 34
18、 45 56 67 78 8 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1010 页，共页，共 6 6 页页 答案答案 D DC CA AB BC CA AC CC C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共7 7小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共3535分）分） 9 9、042yx ; ; 1010、 1818 ; ; 1111、 3 35 ； 1212、 3 10 ; ; 1313、), 4 1 (； 1414、-8050-8050； 1515、(1)(1)12 ；(2)(2) 21或或 51 2 三解答题：本大题
19、共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明，证明分。解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。过程或演算步骤。 1616、解：（、解：（1 1）依题意，）依题意，AAxxAxxfcos 2 1 sinsincoscoscos)( 2 1 (cos2cossin2sin) 2 xAxA)2cos( 2 1 Ax 所以函数所以函数( )f x的最小正周期是的最小正周期是, ,( )f x有最大值有最大值 1 2 .6.6 分分 （2 2）由（）由（I I）知：由）知：由ZkkA,2 3 2 ，得，得), 0(2 3 2 kA， 所以所以 3 2 A (cosc
20、os) ()sin aBC bcA CC CC CB CB sin) 3 sin( cos) 3 cos( sinsin coscos 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 CC CC 1212 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1111 页，共页，共 6 6 页页 分分 1717、 (1)(1)证明：证明： 2 3,AC ， 11 6AAAC， 222 11 ACAAAC 三角形三角形 1 AAC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又又 D D 是斜边是斜边 ACAC 的中点，的中点，
21、1 ADAC 平面平面 11 A ACC平面平面ABC，A A1 1DD底面底面ABC 66 分分 (2)(2)2,2 3,2 2BCACAB， 222 ACABBC 三角形三角形ABC是直角三角形，过是直角三角形，过 B B 作作 ACAC 的垂线的垂线 BEBE，垂足为，垂足为 E E， 则则 2 2 22 6 32 3 AB BC BE AC ， 22 82 3 4 33 ECBCBE 2 33 3 33 DECDEC 88 分分 以以 D D 为原点，为原点， 1 AD所在的直线为所在的直线为z轴，轴，DCDC 所在的直线为所在的直线为y轴，平行于轴，平行于 BEBE 的直线为的直线为
22、x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 1 2 63 (0,3,0),(0,0, 3),0 33 AAB 11 2 63 (0,3,3),3 33 A AAB 设平面设平面 11 A ABB的法向量为的法向量为( , , )nx y z ， 则则 1 1 0 0 n A A n AB A A ，即，即 330 2 63 30 33 yz xyz 化简化简 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1212 页，共页，共 6 6 页页 得得 2 230 zy xyz 令令2x ，得，得1,1yz
23、 ，所以，所以( 2, 1,1)p 是平面是平面 11 A ABB的一个法向量的一个法向量. . 由（由（I I）得）得A A1 1DD面面ABCABC，所以设平面，所以设平面 ABCABC 的一个法向量为的一个法向量为(0,0,1)q 设向量设向量p 和和q 所成角为所成角为，则，则 2 11 cos 2 21 1 1 p q p q A 即侧面即侧面A A1 1 ABBABB1 1 与底面与底面ABCABC所成二面角的余弦值为所成二面角的余弦值为 1 2 . . 1212 分分 1818、(1)(1) 1 , 2 nn a S ，成等差数列成等差数列, 1 2 2 nn aS11 分分 1
24、11 11 12, 22 naaa当时，22 分分 当当 11 11 22;2 22 nnnn nsasa 时，, , 两式相减得：两式相减得： 11 1 22,2 n nnnnn n a assaa a 44 分分 所以数列所以数列 n a是首项为是首项为 1 2 ，公比为，公比为 2 2 的等比数列，的等比数列， 12 1 22 nn n aa 66 分分 （2 2） 21 223 2 2123 22 2222 loglogloglog(21)(21) nn nn aa n bnn 88 分分 111111 () 21212 2121 n bnnnn 123 1111111 111 1+-
25、+) 233 52121 n bbbbnn （）（）（ 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1313 页，共页，共 6 6 页页 = = 111 (1) 2212n 1212 分分 1919、解（、解（1 1）设总利润为）设总利润为 M M 那么利润函数那么利润函数 M=M=Q Q1 1P P1 1+Q+Q2 2P P2 2-C=-C= Q Q1 1P P1 1+Q+Q2 2P P2 2-2(Q-2(Q1 1+Q+Q2 2)+5)+5 =-2Q=-2Q1 12 2-Q-Q2 22 2+16Q+16Q1 1+10Q+10Q2
26、 2-5-5.4.4 分分 将利润函数变形为将利润函数变形为 M=-2(QM=-2(Q1 1-4)-4)2 2-(-(Q Q2 2-5)-5)2 2+52+52 .5.5 分分 当当 Q Q1 1=4=4，Q Q2 2=5=5 时即时即错误！链接无效。错误！链接无效。=10=10（万元）（万元） ，错误！链接无错误！链接无 效。效。=7=7 错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。5252 错误！链接无效。错误！链接无效。 66 分分 （2 2）由）由错误！链接无效。错误！链接无效。 令令 1 2(4)Qx，错误！链接无效。错误！链接无效。，得，得错误！链接无效。错误！
27、链接无效。 由实际意义知由实际意义知错误！链接无效。错误！链接无效。、错误！链接无效。错误！链接无效。、错误！错误！ 链接无效。链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。错误！链接无效。都为正数得都为正数得错误！错误！ 链接无效。链接无效。 又又 12 1 2 PP得得错误！链接无效。错误！链接无效。即即 1 23 2 yx 化简得：化简得：错误！链接无效。错误！链接无效。 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1414 页，共页，共 6 6 页页 88 分分 圆圆错误！链接无效。错误！链接无效。的圆心（的圆
28、心（0,00,0）到）到 5 2 2 yx 的距离的距离 d=d= 错误！链接无效。错误！链接无效。 所以所以错误！链接无效。错误！链接无效。，即，即错误！链接无效。错误！链接无效。 实际上实际上错误！链接无效。错误！链接无效。取一位小数取一位小数错误！链接无效。错误！链接无效。 49.9(49.9(万元万元) ) 1313 分分 ( (利用直线与椭圆相切同样可得分利用直线与椭圆相切同样可得分) ) 2020、解：（、解：（1 1）设）设 C(x,y),C(x,y),则则(4,),(4, )CPxyAPx y 2 15(4)(4)AP CPxxy A33 分分 又又 C C 点在椭圆上，有：点
29、在椭圆上，有： 22 44xy 联立联立解得解得0,1-xyy或1 所以所以 ACAC 的直线的方程为的直线的方程为0x 66 分分 （2 2）设直线的方程为：，）设直线的方程为：，4xty， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 联立直线与椭圆方程得：联立直线与椭圆方程得： 22 (4)8 +120tyty 22 =6448+40tt满足t（）88 分分 弦长弦长 2 22 12 2 12 = 1+-=4 1+ 4 t ABtyyt t ， 又点又点 O O 到直线到直线l的距离为的距离为 2 4 +1t 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一
30、检测（一）数学试题（理） 第第 1515 页，共页，共 6 6 页页 所以所以 2 2 22 1216 =2= AB=16,12=m,= 4+16 ABCOABABC tm SSdtS tm 令 = = 2 1616 =2 16 +16 + m m m m .13.13 分分 2121、 （1 1）( )2(2) a fxxa x 2 2(2)xaxa x (2)(1)xa x x (0)x 22 分分 当当0a 时，时，( )0fx ，函数，函数( )f x在在(0,)上单调递增，上单调递增， 所以函数所以函数( )f x的单调递增区间为的单调递增区间为(0,) 44 分分 当当0a 时，由
31、时，由( )0fx ，得，得 2 a x ；由；由( )0fx ，得，得0 2 a x 所以函数的单调增区间为所以函数的单调增区间为(,) 2 a ，单调减区间为，单调减区间为(0,) 2 a 66 分分 （2 2）因为）因为 12 ,x x是函数是函数( )f x的两个零点，有的两个零点，有 12 0,0xx a 则则 2 111 (2)ln0xaxax， 2 222 (2)ln0xaxax 两式相减得两式相减得 22 111222 (2)ln(2)ln0xaxaxxaxax 即即 22 11221122 22lnlnxxxxaxaxaxax 1122 (lnln)a xxxx 所以所以 2
32、2 1122 1122 22 lnln xxxx a xxxx 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1616 页，共页，共 6 6 页页 88 分分 又因为又因为( )0 2 a f，当，当(0,) 2 a x时，时，( )0fx ；当；当(,) 2 a x时，时，( )0fx 故只要证故只要证 12 22 xxa 即可，即证明即可，即证明 22 1122 12 1122 22 lnln xxxx xx xxxx 1010 分分 即证明即证明 2222 1212121122 ()(lnln)22xxxxxxxxxx， 即证
33、明即证明 112 212 22 ln xxx xxx ， 1212 分分 设设 1 2 x t x (01)t . .令令 22 ( )ln 1 t g tt t ， 则则 2 14 ( ) (1) g t tt 2 2 (1) (1) t t t ，因为，因为0t ，所以，所以( )0g t ，当且仅当，当且仅当1t 时，时， ( )0g t 所以所以( )g t在在(0,)是增函数；又因为是增函数；又因为(1)0g，所以当，所以当(0,1)t时，时， ( )0g t 总成立总成立. . 所以原题得证所以原题得证. . 1313 分分 株洲市株洲市 2014 届教学质量统一检测（一）数学试题（理）届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第第 1717 页，共页，共 6 6 页页