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1、雅礼中学2014届高三月考试卷（四）数 学（理科）高三数学备课组组稿一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则满足的集合个数是（ ） 2.是直线与直线平行的（ ） 3.若向量满足/，且，则（ ） 4.已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( ) 5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面必平行于 B.平面必与相交C.平面必不垂直于 D.存在的一条中位线平行于或在内6已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（ ） 3 4 7.平面上动点满足，,则一定有（ ）8. 在等差数列中，记数列的前项
2、和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（ ） 5 4 3 2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）OABCDEF9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 . 10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， 的平分线分别交、于点、.则的度数= . 11若存在实数使成立，求常数的取值范围 。（二）必做题（12-16题）22（正视图）22（俯视图）2（侧视图）12. 计算：= 。 13已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 。 14.桌面
3、上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。（用数字作答） 15.定义：，其中是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，则 16.已知函数 其中,。 （1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ； （2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数，.求:（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合；（2）函数的单调增区间.18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平
4、面侧面，,，且满足.（1）求证：；（2）求点的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值。19.（本小题满分12分）长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。 （1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率； （2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。 20. （本小题满分13分）2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2
5、亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中=200万。 （1）证明：； （2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。21定义：对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。（1）写出的渐近线方程（不用证明）；（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以
6、证明。（3）求值：。 22（本题满分13分）设函数，若时，有极小值，（1） 求实数的取值；（2） 若数列中，求证：数列的前项和；（3） 设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论。数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则满足的集合个数是（ C ） 2.是直线与直线平行的（ A ） 3.若向量满足/，且，则（ D ） 4.已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( B ) 5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( D )A.平面必平行于 B.平面必与相交C.平面
7、必不垂直于 D.存在的一条中位线平行于或在内6已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（ C ） 3 4 7.平面上动点满足，,则一定有（ B ） 8. 在等差数列中，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（ A ） 5 4 3 2解：由题设得，可化为，令，则，当时，取得最大值，由解得，正整数的最小值为5。二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）OABCDEF9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 . （）10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，
8、的平分线分别交、于点、.则的度数= . 11若存在实数使成立，求常数的取值范围 。（二）必做题（12-16题）22（正视图）22（俯视图）2（侧视图）12. 计算：= 。 13已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 。 14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。（用数字作答） 1680种15.定义：，其中是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，则 答案 16.已知函数 其中,。 （1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ； （2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点
9、，则的最大值为 。 解：由（1）得 ， 所以 故在上递增，在上递减。 所以在上的最小值为，而 ，故在上没有零点。 所以的零点一定在递增区间上，从而有且。 又，当时均有，所以的最大值为-2. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数，.求:（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合；（2）函数的单调增区间. （1）解: 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.6分 （2） 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为12分18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，
10、且满足.（1）求证：；（2）求点的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值。（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC. 4分（2）由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，
11、0) , 有由，满足，所以E(1，2，0), F(0，1，1) 所以,所以点的距离。 8分（3） 。 12分19.（本小题满分12分）长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。 （1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率； （2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。 解：（）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学
12、生社长有9人，其中初二学生社长6人。 事件为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。sj.fjjy.org 6分（）的可能取值为0，1，2，3 , sj.fjjy.org ， ，sj.fjjy.org 所以的分布列为0123 所以， 12分 20. （本小题满分13分）2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量
13、记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中=200万。 （1）证明：； （2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。解：（1）依题 2分 只需证明，即证。 上式显然成立，所以。 5分 （2），所以 按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即。6分 证明如下： 当时，显然成立。 假设时，成立。则当时 ，是关于的一个二次函数，令，其对称轴，所以 ，即综上所述，成立。 13分21定义：对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。（1）写出的渐近线方程（不用证明）；（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭
14、双曲线？请加以证明。（3）求值：。 解：（1）的渐近线方程都是：和。 -3分 （2）双曲线是共轭双曲线。 -4分 证明如下： 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所的直线， 所以的实轴所在直线为，虚轴所在直线为， -6分 实轴和的交点到原点的距离的平方。又，所以 从而得；-8分同理对于，实轴所在直线为，虚轴所在直线为，实轴和的交点到原点的距离的平方 ，所以，从而得。综上所述，双曲线是共轭双曲线。 -10分 （3） 由（2）易得， 所以=1 。 -13分22（本题满分13分）设函数，若时，有极小值，（4） 求实数的取值；（5） 若数列中，求证：数列的前项和；（6） 设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论。【解答】（1） 1分 3分 4分（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增， 5分 7分（3），由有极值且的定义域为可知：异号，极小值点为， 8分 9分令，构造函数，由条件和第（1）问可知：时，有极小值 而 11分所以可能大于0或可能等于0或可能小于0，即的极值与不具有明确的大小关系。 13分14