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1、2015届高三年级上海市八校联合调研考试（理科）数学试卷 2015.3考生注意： 1、每位考生应同时收到试卷与答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3、本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。1、函数的最小正周期是 ；2、已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数的值为 ；3、若直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值等于 ；4、若函数的定义域与值域
2、都是，那么实数的值为 ；5、已知点在焦点为的椭圆上，若，则的值等于 ；6、某县共有个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 ；7、已知点，是抛物线的焦点，若点在抛物线上运动，当取最小值时，点的坐标为 ；8、 ；9、某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为千万元，第四年的年利润为千万元，则该企业这四年的平均年利润为 千万元。10、已知直线的斜率为，经过点， 与的距离为，若数列是
3、无穷等差数列，则的取值范围是 ；11、从名运动员中选出名运动员组成接力队，参加米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）；12、如图：边长为的正方形的中心为，以为圆心，为半径作圆。点是圆上任意一点，点是边上的任意一点（包括端点），则的取值范围为 ；13、一质点从正四面体的顶点出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动。第1次运动经过棱由到，第2次运动经过棱由到，第3次运动经过棱由到，第4次经过棱由到。对于，第次运动回到点，第次运动经过的棱与次运动经过的棱异面，第次运动经过的棱与第次运动经过的棱异面。按此运动规律，质点经过次运动到达的点为 ；14、对于函数定义域内
4、的值，若对于任意的，恒有（或）成立，则称是函数的极值点。若函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围为 。二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、“且”是“”的 （ ）A、充分非必要条件； B、必要非充分条件；C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件。16、已知底面边长为，高为的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A、； B、； C、； D、。17、已知是虚数单位），的展开式中系数为实数的项有（ ）A、671项； B、672项； C、673项； D、674项
5、。18、定义在上的函数满足，且当时，。则 （ ）A、； B、； C、； D、。三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。19、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）如图：将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为的矩形。（1）求此圆柱的体积；（2）由点拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。20、（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）已知是虚数单位）。（1）当且时，求的值；（2）设，求的最大值与最小值及相应的值。21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在数列中，。（1）若数列满足
6、，求证：数列是等比数列；（2）设，记 ，求使的最小正整数的值。22、（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分） 已知射线，直线过点交于点，交于点。（1）当时，求中点的轨迹的方程；（2）当且 是坐标原点）面积最小时，求直线的方程；（3）设的最小值为，求的值域。23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）设函数。（1）当时，对于一切，函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；（2）若在区间上是单调函数，求的取值范围；（3）当时，函数在区间内的零点为，判断数列的增减性，并说明理由。数学(理科)参考答案与评分建议一、填空题：1、； 2、； 3、； 4、； 5、；
7、 6、； 7、；8、； 9、； 10、； 11、； 12、；13、； 14、。二、选择题：15、； 16、； 17、； 18、。三、解答题：19、（1）设圆柱的底面半径为，高为，则，即-2分 -5分（2）设中点为，侧面展开图矩形为，中点为。则绳长的最小值即为侧面展开图中的。 -7分。 -10分 所以绳长的最小值为。 -12分20、（1）由，得 -2分 即 -3分 因为，则，所以 -4分 得：或。 -5分（2） -7分 -9分 -10分当，即时， -11分当，即时，。 -12分21、（1）因为，所以，代入得 -2分化简得： -4分又 -5分所以是以为首项，为公比的等比数列。 -6分（2）由（1）
8、得，所以 -8分由，得 -9分 -10分所以 。 -12分若，则，即，得所以满足条件的最小正整数等于。 -14分22、解法一：（1）当时，设，因为是中点，所以 -2分因为三点共线，所以，由，则有，即 -4分代入得点轨迹方程为。 -6分（2）当时， -8分由共线得 -9分，当时等号成立， -10分此时，直线方程为。 -12分（3）由三点共线得：，即 -14分 -16分因为，且，所以上式所以，所以值域为。 -18分解法二：（1）由题知直线的斜率存在，且。当时，设直线 由，同理得 -3分设，则消去得轨迹方程为。 -6分（2）当时，设直线由，同理得 -8分 -9分设，则，所以，当，即时，最小值为，此时，所以直线。 -12分（3）设由，则理得 -14分设，因为，所以， -16分所以，所以值域为。 -18分23、（1）当时，在区间内有唯一零点，因为函数在区间上是增函数，所以且 -2分即且，由对于恒成立，得所以的取值范围为。 -4分（2）在区间上是单调函数，设， -7分由题知或对于恒成立 -9分因为，所以或。 -12分（3）时， 在区间上的零点是，所以 -14分由知，所以，设在区间上的零点为，所以，即 -16分又函数在区间上是增函数，所以即数列是递增数列。 -18分15