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1、四川遂宁市高中2015届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）（2015遂宁模拟）已知集合A=，B=x|（x+3）（2x1）0，则AB=（） A B C ，A=，AB=，故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2015遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（） A 2，5 B 5，5 C 5，7 D 8，7【考点】： 茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据茎叶图与题意，求出x
2、、y的值，即可【解析】： 解：根据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；它的众数为l5，x=5；同理，根据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，它的中位数为17，y=7故x、y的值分别为：5，7【点评】： 本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题3（5分）（2015遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（） A 2i B 2i C 2 D 2【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：
3、由zi=2+i，得，z的虚部是2故选：D【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题4（5分）（2015遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（） A 向右平移个单位长 B 向右平移个单位长 C 向左平移个单位长 D 向左平移个单位长【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可【解析】： 解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y
4、=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象故选：A【点评】： 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查5（5分）（2015遂宁模拟）设a、b是实数，则“ab0”是“a2b2”的（） A 充分必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分而不必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若ab0，则a2b2成立，若a=2，b=1，满足a2b2，但ab0不成立，故“ab0”是“a2b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：
5、 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键6（5分）（2015遂宁模拟）已知向量，若，则实数=（） A 1 B 1 C 2 D 2【考点】： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由于，可得于是=0，解得即可【解析】： 解：，=（+2）+1=0，解得=1故选：B【点评】： 本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题7（5分）（2015遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则MN2的概率为（） A B C D 【考点】： 几何概型；程序框图【专题
6、】： 计算题；概率与统计；算法和程序框图【分析】： 计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可【解析】： 解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x24x+3=00，满足判断框条件，x=2，n=1，x24x+3=10，满足判断框条件，x=3，n=2，x24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x24x+3=30，不满足判断框条件，输出n：N=3在区间上随机选取一个数M，长度为5，M1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】： 本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定N的值是关键
7、8（5分）（2015遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A 4+2 B 2+ C 2+2 D 4+【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD底面ABC，故SABC=SASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故SAB和SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故
8、SSAB=SSBC=，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）（2015遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（） A 14 B 16 C 18 D 20【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论【解析】： 解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M（x0
9、，y0），则MN的垂直平分线为yy0=（xx0）令y=0，则xH=x0+p|HF|=x0+|MN|=x1+x2+p=2x0+p|HF|=|MN|=20，故选：D【点评】： 本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础10（5分）（2015遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”若f（x）=logc（cx+t）（c0，且c1）为“取半函数”，则t的取值范围是（） A （，） B （0，） C （0，） D （，1）【考点】： 对数函数的图像与性质【专
10、题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论【解析】： 解：若c1，则函数y=cx+t为增函数，y=logcx，为增函数，函数f（x）=logc（cx+t）为增函数，若0c1，则函数y=cx+t为减函数，y=logcx，为减函数，函数f（x）=logc（cx+t）为增函数，综上：函数f（x）=logc（cx+t）为增函数，若函数f（x）=logc（cx+t）（c0，c1）是函数f（x）为“取半函数”，所以a，b是方程logc（cx+t）=，两个不等实根，即a，b是方程cx+t=c两个不等
11、实根，化简得出：cx+t=0，可以转化为：m2m+t=0有2个不等正数根所以求解得出：0故选：B【点评】： 本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11（5分）（2015遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2x相切的圆的方程为x2+y2=2【考点】： 圆的切线方程【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程【解析】： 解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2故答案为：x2+y2=2【点评】： 本题考
12、查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题12（5分）（2015遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+12sin2x=，xR则：sinx，当sinx=时，函数f（x）的最大值为【点评】： 本题考查的知识要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题属于基础题型17（12分）（2015遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出2名老师做某项实验，方法
13、是先从小组里选出1名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做实验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： （1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师事件事件数，两者比值即为所求概率【解析】： 解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=
14、设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本事件有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本事件有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P=【点评】： 本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估计的方法，属基础题18（12分）（2015遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD平面ABCD，ABCD，BAD
15、=ADC=90，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（）求证：平面PBC平面PDE；（）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由【考点】： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）连结BD，由已知得BCDE，BCPD，从而BC平面PDE，由此能证明平面PBC平面PDE（）连结AC，BD交于O点，ABCD，从而AOBCOD，AB=DC，进而CPA中，AO=AC，由PF=，得OFPA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA平面BDF【解析】： （本小题满分12分
16、）（）证明：连结BD，BAD=ADC=90，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BCDE，（3分）又因为PD平面ABCD，所以BCPD，因为DEPD=D，（4分），所以BC平面PDE，（5分）因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PDE（6分）（）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA平面BDF，（7分）连结AC，BD交于O点，ABCD，所以AOBCOD，AB=DC，所以CPA中，AO=AC，（10分）而PF=，所以OFPA，（11分）而OF平面BDF，PA平面BDF，所以PA平面BDF（12分）【点评】： 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定
17、与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题19（12分）（2015遂宁模拟）已知数列an为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=，Tn为数列bn的前n项和，当不等式Tnn+8（nN*）恒成立时，求实数的取值范围【考点】： 数列的求和；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an；（2）由（1）化简bn=，利用裂项相消法求出Tn，代入不等式Tnn+8分离出，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于nN*恒成立求出实数的取值范围【解析】
18、： 解：（1）设等差数列an的公差为d，a1=1，a7=13，a1+6d=13，解得d=2，所以an=a1+（n1）d=2n1（5分）（2）由（1）得，bn=（），Tn=（1）=（8分）要使不等式Tnn+8（nN*）恒成立，只需不等式=+17恒成立即可（10分），当且仅当时，即n=2取等号，25（12分）【点评】： 本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题20（13分）（2015遂宁模拟）已知定点A（2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l
19、分别相交于M、N两点（1）求C的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N利用根与系数的关系只要证明=0即可【解析】： 解：（1）设P（x，y）为E上任意一点，依题意有=，化为（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6
20、ty9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=由A（2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N=99=0以线段MN为直径的圆恒过定点F【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）（2015遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxex（k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），g（x）为g（x）的导函数，且g（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x0，证明：f（x）
21、g（x）；（3）若对所有的x0，都有f（x）ax成立，求实数a的取值范围【考点】： 导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 导数的综合应用【分析】： （1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），根据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）ax，求导，再分类讨论，即可求出a的取值范围【解析】： 解：（1）g（x）=k（x+1）ex所以g（0）=k=1（3分）（2）证明：令G（x）=exx1，G（x）=ex1，当x（0，+），G（x）0，所以当x（0，+）时G（x）单调递增，从而有G（x）G（0）=0，x0；所以exx+10xln（x+1）0，xex（x+1）ln（x+1），所以当x（0，+），f（x）g（x）；（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）ax，则h（x）=1a+ln（x+1），令h（x）=0，解得x=ea11，（i）当a1时，所以x=ea110，从而对所有x0，h（x）0；h（x）在（14分）【点评】： 本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题- 20 -