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1、2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.C； 2.D； 3.A； 4.B；5.C； 6.D； 7.B； 8.C7【解析】中，.8【解析】令，则得或.则有或. （1）当时，若，则，或，或，解得或（舍）；若，则，或，解得或，或，均满足.所以，当时，零点有3个；同理讨论可得，时，零点有3个.所以，无论为何值，均有3个零点.二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）96， 10一个三棱锥，半个圆锥，1 113， 1272，6413 14 1514.【解析】又，所以，当且仅当，时，等号成立15.【解析】
2、点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体的部分易得其体积为 三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分14分）已知函数（I）求函数的最小正周期；（）当 ，求函数的值域16.【解析】（I）5分所以，的最小正周期.7分（）由（I）可知.9分，11分，.所以，的值域为.14分17（本题满分15分）在四棱锥中， 平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（第17题）（I）求证：平面； （）求二面角的余弦值17【解析】（）在正三角形中， 在中，因为为中点，所以，所以，所以 4分在等腰直角三角形中，所以，所以. 又平面，平面，所以平
3、面.7分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以zyxMADBCPN由（）可知，为平面的法向量10分， 设平面的一个法向量为,则，即，令,则平面的一个法向量为 13分设二面角的大小为， 则,所以二面角余弦值为.15分18（本题满分15分）已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为C（）若，且，求实数的值；（）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程18【解析】设（），5分（），7分由，代入上式得：，9分，12分当且仅当时取等号，此时又，因此所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为15分19（本题满分15分）设二次函数满足条件：当时，的最大值为0，且成立；二次函数的图
4、象与直线交于、两点，且（）求的解析式；（）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立19.【解析】（）由可知函数的对称轴为，2分由的最大值为0，可假设.令，则易知，.所以，.6分（）由可得，即，解得.8分又在时恒成立，可得，由（2）得.10分令，易知单调递减，所以，由于只需存在实数，故，则能取到的最小实数为.此时，存在实数，只要当时，就有成立15分20（本题满分15分）在数列中，（）求，判断数列的单调性并证明；（）求证：；（III）是否存在常数，对任意，有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20.【解析】（）由易知，.2分由易知.由得，（1），则有（2），由（2）-（1）得，所以与同号.由易知，即，可知数列单调递减. 5分（）由可得，所以，.7分由易知，与同号，由于可知，即，所以，得证. 10分（III），即，则.13分由可知，所以，因为，所以.当时，故不存在常数，对任意，有成立. 15分命题人刘 舸、吴旻玲、沈勤龙、黄海平吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2015年2月