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1、复变函数与积分变换作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1) ； (3) ；(5) ，求，； (7) 。解：(1) ；(3) ；(5) ，(7) 因为，所以，即时，；时，；时，；时，；时，；时，习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数(2) ； (4) (6) 。解：(2) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，但柯西-黎曼方程仅在上成立，所以只在直线上可导，此时，但复平面上处处不解析(4) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以在复平面内解析，并且 (6) 所以，在除外处处解析，且4、指出下列函数的奇点(1) ； (2) 解：(1)
2、所以，的奇点为0，(2) 所以，的奇点为，10、如果在区域内解析，并且满足下列条件之一，试证在内是一常数(2) 在内解析；证明：由在区域内解析，知、在区域内可微，且，同理，由在内解析，知，从而我们得到，所以、皆为常数，故在内是一常数15、求解下列方程：(2) 解：，于是18、求，的值及主值解：，所以其主值为；，所以其主值为19、求，的值解：；20、求，的值解：；22、解方程：(1) ；解：，习题3：1、沿下列路径计算积分：(1) 从原点至的直线段；(2) 从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至；(3) 从原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至解：(1) 从原点至的直线段的复参数方程为，参数，所以(2)
3、 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为，参数，由2铅直向上至的直线段的复参数方程为，参数，所以(3) 从原点沿虚轴至的直线段的复参数方程为，参数，由沿水平方向向右至的复参数方程为，参数，所以2、分别沿与算出积分的值解：的复参数方程为，参数所以；的复参数方程为，参数所以5、计算积分的值，其中为正向圆周：(1) 解：设是内以被积函数的奇点为圆心的正向圆周，那么6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向圆周：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 解：(1) ，根据柯西积分定理；(2) ，根据柯西积分定理；(3) ，根据柯西积分定理；(4) ，根据
4、复合闭路定理；(5) ，根据柯西积分定理；(6) ，根据柯西积分定理及复合闭路定理7、沿指定曲线的正向计算下列积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6) ，为包围的闭曲线；(7) ，；(8) ，；(9) ，；(10) ，解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) 21、证明：和都是调和函数，但是不是解析函数证明：因为，所以，且，即和都是调和函数，但是不是解析函数22、由下列各已知调和函数求解析函数，并写出的表达式：(1) ；(2) ，；(3) ，解：(1) 因为是调和函数，所以，于是那么，则，所以，(2)
5、 ，因为是调和函数，所以，从而由知，所以(3) 因为是调和函数，所以，于是那么，则，所以，由知，所以习题4：1、下列数列是否收敛？若收敛，求其极限(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) ，当时，实部，虚部，所以收敛于(2) ，当时，那么，所以收敛于0(3) 当时，实部是发散的，所以发散(4) ，实部和虚部都发散，所以发散2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1) ； (3) 解：(1) 记，则当时，那么不趋近于0，所以级数发散(3) 收敛，即级数绝对收敛，所以收敛7、将下列各函数展成的幂级数，并指出它们的收敛半径(1) ； (3) 解：(1) 因为，所以收敛半径(3) 因为，
6、所以收敛半径8、将下列各函数在指定点处展成泰勒级数，并指出它们的收敛半径(3) ，； (4) ，； (6) ，解：(3) ，则因为，所以收敛半径(4) ，则因为，所以收敛半径(6) 因为，所以收敛半径10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式：(2) ，；(5) ，在以为中心的圆环域内；(7) ，解：(2) 在内，由于，且，所以，从而在内，由于，所以，从而(5) 当时，由于，且，所以，从而当时，由于，所以，且，从而，所以(7) 由于且，所以习题5：1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别，若是极点，指出它们的级(1) ； (3) ； (4) ； (7) ； (11) 解：(1) 易见，是的
7、孤立奇点由于，所以，是极点，一级极点，二级极点(3) ，所以是极点，二级极点(4) 易见是的孤立奇点，且，所以是可去奇点；(7) ，三级极点，一级极点；(11) ，本性奇点5、求下列各函数在有限奇点处的留数(2) ； (3) ； (6) 解：(2) 记，则易见，是的孤立奇点，且他们都是一级极点由规则，(3) 记，则有二级极点由规则，(6) 记，则有本性奇点因为在的去心邻域内的洛朗级数为于是有其中的项的系数，所以6、利用留数定理计算下列积分(1) ，为圆周解：被积函数在圆周的内部有一级极点和二级极点，由留数的计算规则、得，于是由留数定理得积分值(2) 解：被积函数在内有一个二级极点，由留数的计算
8、规则得于是由留数定理得积分值(4) 解：被积函数在内有可去奇点，则，所以由留数定理知(6) 解：被积函数在内有一个二级极点，由留数的计算规则得于是由留数定理得积分值9、(1) 解：令，则，于是被积函数在内有一个一级极点，其留数所以(5) 解：是偶函数，而在上半平面内有一级极点和，且，所以(6) 解：，且在实轴上无孤立奇点，故积分存在，所求积分是它的实部函数在上半平面有两个一级极点和，而且，从而所以习题8：4、试求的傅氏变换解：的傅里叶变化为5、试求矩形脉冲的傅氏变换解：的傅里叶变化为6、求下列函数的傅氏积分：(1) 解：是上的奇函数，则，于是7、求函数的傅氏积分，并计算解：是上的偶函数，则，于
9、是10、求符号函数的傅氏变换（提示：）解：方法一：方法二：11、求函数的傅氏变换解：，则15、利用位移性质计算下列函数的傅氏变换：(1) ；(2) 解：(1) ；(2) 23、求下列函数的傅氏变换：(2) ；(3) ；(4) 解：(2) 记，由卷积定理有(3) 记，由卷积定理有(4) 记，由卷积定理有习题9：2、求下列函数的拉氏变换：(1) (3) .解：(1) (3) 3、求下列周期函数的拉氏变换：(1) 以为周期且在一个周期内的表达式为解：4、求下列函数的拉氏变换：(1) ；(2) ；(3) ；(6) （为实常数）；(9) ；(10) ；(11) 解：(1) (2) (3) ；(6) ，则由位移性质有；(9) ，则；(10) ，则，从而；(11) ，则