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1、 高中数学课堂中教师创设有效问题的案例研究新课程的指导思想之一：强调问题性、启发性，引导教学方式的变革。并指出遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识、学生认知的过程性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识，引导教、学方式的改进。为此新教材通过“观察”“思考”“探究”，实习作业，小结等栏目，提出恰当的，对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生思考和探索 ，经历观察 、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。 一、创设有效问题的必要性和标准： 当前许多数学课堂上的现状是：表面热闹，学生参与度很高，学生回答问题的频率也很大，
2、但仔细一听，大多是“Yes”或“No”或“填空”式的问题，这些问题根本不可能有效地激发学生的思维，因此大多算不上有效问题。那么，作为教师该怎样创设数学有效问题呢？众所周知，数学教学就是让学生学习数学知识，同时让学生不断地体会和领悟其中的数学思想方法，从而潜移默化地提高自身的数学素养。这当中教师只能起到一个主要引导者的作用，那么如何有效地实施这种引导呢？长期的教学实践告诉我们，教师不断创设数学问题，让学生自主地思考并回答教师所提出的问题是有效实施这种引导的最重要的途径。是不是任何数学问题都能起到好的引导作用呢？答案是否定的。事实上，由于教师的备课不充分，不注意知识和问题之间的逻辑联系，不考虑提问
3、的艺术和方式方法，致使学生根本不知道从何思考或怎样回答，严重阻碍了师生互动的开展，这样的问题，不但起不了好的效果，有时反而误导学生，甚至严重打击学生学习的积极性，因此，数学教学中必须创设有效的数学问题。数学问题可以指数学课堂教学的提问，也可以指数学教学全过程中所提出的数学问题，比如课后留给学生思考和研究的问题、课后的实习作业中所提出的问题，每章章节后的问题、数学研究性学习的问题等等。一个好问题的标准应是“跳一跳能够摘到的果子”；能反映当前教学内容的本质；学生经过适度努力能够解决。“有效问题”可以简单地概括为“三有”：（1）有效果：指对教学活动结果与预期目标的吻合程度的评价；（2）有效率：教学效
4、果和教学效率的比值；（3）有效益：指教学活动的收益、教学活动价值的实现，从操作层面来说，有没有效益是指教学目标与特定的社会和个人的教学需求是否吻合及吻合程度的评价。什么样的“数学问题”才算“有效”？按照前面的论述，一个好的“问题”除了依照问题设计规律及教育教学目的、数学学科特点，具有数学因素与必要的形式外，本人认为至少应满足以下几个特征：（1）可及性：跳一跳，够得到，问题的设计要符合学生一般认知规律、身心发展规律，包括学生的知识经验、能力水平、学习习惯、生活经历及环境，个性、爱好及基本心理情况等；（2）启发性：问题应对所研究的课题具有提示作用，符合数学学科特点，使学生借助于这种启发，领悟数学实
5、质，提炼数学思想方法，灵活运用数学；（3）开放性：问题富有层次感，入手较易，开放性强，解决方案多，学生思维与创造的空间较大；（4）挑战性：“问题”能引起学生的认知冲突和学习心向，能激发兴趣，促进学生积极参与，接受问题的挑战；（5）体验性：能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作、探究的机会或替代性经验，学生能够感受、体验数学，并有助于学生发现问题、提出问题。（6）激励性：以学生为主体、教师为主导的教学，应能充分调动学生的学习积极性，必然要求教师所创设的问题要很好起到这种引导激励作用，所以教师在提问时不仅要注意问题的知识性，同时还应注意问题的艺术性，尽可能多一点幽默感和趣味性。 二、数学课堂教
6、学中有效问题的提问技巧数学教师都应当明确的是，课堂教学要的不是热闹的场面，而是对问题的实质性的深入研究和思考。本人认为首先教师要设计好问题，并围绕问题引导学生展开讨论、辩论；其次要对学生的问题进行梳理，抓住和提取有价值的问题进行交流互动。问题的价值和讨论的深度是最重要的，其他都是形式和技巧的问题，随着实践的深入和经验的积累，老师会掌握调控和处理课堂“活”与“乱”的技巧和策略。美国哈佛儿童教育学家普斯塔经过长期研究，提出了一种行之有效的办法善问“十字诀”办法，这“十字诀”是：假、例、比、替、除、可、想、组、六、类。具体地说：假：以“假如”的方式和学生问答学习；例：即多举例；比：比较知识与知识间的
7、异同； 替：让学生多想有什么是可以替代的；除：用这样的公式启发：“除了还有什么？” 可：可能会怎么样；想：让学生想各种各样的情况； 组：把不同的知识组合在一起会如何；六：就是“六何”检讨策略，即为何、何人、何时、何时、何事、何处、如何；类：多和学生类推各种可能。 三、有效数学问题的教学实践案例新课程强调高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。对于课堂提问，尝试着用上述方法来设计问题；对于学生课外的学习，尝试着能创设以揭示数学知识本原的问题来促进学生的学习。以下是本人分别从数学概念课、数学定理公式课、数学习题课以及实习作业、课后作业的教学设计实施的几个有效问题的案例
8、。（1）数学概念课有效问题案例分析授课前教师应做充分的准备，深层次挖掘教材，发挥教材的“源”功能，并充分考虑到学生的已有知识水平，以及这节课的重难点在哪里。教师只有把这些搞得一清二楚，才能从根本上去创设问题，并做到心中有数，曾曾推进，逐步增加难度，让学生既能通过自己独立思考适度地回答教师所提出的问题，学到一些数学知识，同时又能适度地暴露出学生学习过程中存在的问题，然后教师又通过新的问题来吸引或提醒学生去主动思考和解决这些问题。这样不断反复，最终达到让学生理解数学概念，并在这种不断反复中，让学生自觉地去体验其中蕴涵的数学思想方法。案例1：人教版新课程A版2.2函数的表示法第一节课函数是高中数学中
9、最重要的概念之一，其中函数的表示法是既重要又抽象，也是是教与学的一个难点。对高一学生来说，要正确而又深刻理解这一概念还是有非常大的困难。在教学中我设计了这样几个问题： 教学片段一：挖掘新课程的练习题创设问题，正确理解概念情境1：如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩 形木料,如果矩形的一边长为x,面积为y,问题1：根据你对圆内接矩形已有的知识和函数的概 念，请把y表示为x的函数. 情境2：矩形的面积为10cm,如图矩形的长为x, 宽 为y,对角线为d,周长为l,问题2：你能获得关于这些量的哪些函数?（要求独立思考写出函数式后，然后小组合作讨论交流，最后全班交流）。上述问题一提出，出乎我的意
10、料，每位同学都在他们的小纸条上写了至少3个表达式，以下是几个小组的一些式子：小组1：小组2： 小组3： 然后全班同学交流讨论哪些是函数式，课堂非常活跃，几乎每位同学都能参与了。教学反思：新课程强调课堂教学应以学生为主体，教师起引导作用。该问题入口浅，思想深，直击函数概念和函数表示法的本质，可以发展学生深层次的概念理解。课堂上学生反映热烈，兴趣盎然，人人都能参与到小组活动讨论中，从而对函数的表示法的概念理解入目三分，从问题的解决中领悟数学的本质。但在实际教学中，由于课时原因，对这个问题结束的比较匆忙。 教学片段二：问题逐层深入，注重操作体验，加深概念的理解问题3：你能利用几何画板或其它数学软件，
11、根据你所写出的函数式，画出相应的函数图象吗？问题4：你能举例出其它一些函数表达式吗？根据你前面画出的函数图象，你能否总结出函数图象的特点？如何检验一个图形是否是一个函数的图象？教学反思：数学概念的形成是一个有层次的递进过程。这些问题分层次驱动学生的数学概念学习，使学生的思维经历由具体到抽象、再抽象的过程，从而使学生运用概念时不但“知其然”，也“知其所以然”。但在实际教学中没有留给学生充分思考的时间，避开了学生的错误，使得部分学生还不是很理解。事实上，每位学生都有自己的活动经验和知识积累，都有自己对客观事物的独特的解决方式，也许这种理解在教师看来是不全面、不合理的，有时甚至是错误的，但是对学生来
12、说却是有意义的。 教学片段三：课后作业，设计探究问题，巩固和延伸概念 问题探究1：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为1，4，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。问题探究2：画出定义域为x|3x8，且x5，值域为y|y0的一个函数的图象.（1）如果平面直角坐标中点P(x,y)的坐标满足：3x8,y2,那么其中哪些点不能在图象上?(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别?教学反思：在教学过程中，虽然在问题2这个环节上学生的思维很活跃，能比较正确地表示出一些函数式，但从学生的课后探究问题1的作业反应来看，能做全对的同学只占五分之一，说明学生对函数表示法的理解还不够，还不能把表象的知
13、识与数学概念本质结合起来；探究问题2的作业反应来看，能画对图象的学生只占十分之一，不能真正把要求条件与函数图象结合起来。说明我的前面教学中在加强概念形成过程还没教学到位，学生脑海中虽有丰富的函数例证，但却不知如何去联系，学生深层次的思维层面还不够。 教学片段四：实习作业，注重实际应用，在合作中感受数学的价值。1 通过小组合作，你们能否通过信息技术，阅读书籍等方式搜集有关函数的话题：函数产生的社会背景，函数概念发展的历史过程，函数符号的故事，数学家与函数？（网上搜集引擎：http：/, http：/）2你能否利用数学画图软件如几何画板，高中数学问题处理系统mpps，mathematics等作出一
14、些你感兴趣的函数图象，然后谈谈你对函数有些什么认识？（2）数学定理、公式课有效问题案例分析 案例2：人教版新课程A版模块5第二章等比数列前n项求和公式 教学片段：创设趣味性问题，激发学习兴趣，促进学生学习 问题情境：引入印度奖励国际象棋发明者故事入手，提出如何计算总共要多少吨粮食，并告诉学生粮食总数是全世界20年的粮食总数，学生顿时为之震惊，兴趣大增。问题1：你能计算每个格子上麦粒数的总和吗？问题2：结合你所计算的方法，如果将问题一般化，你还有什么方法来推导等比数列的求和公式？小组1： ，猜想 ： ，这小组从联想到立方差公式，实现突破。小组2：，即 。此小组利用初中和比性质，促进了学生的知识迁
15、移。小组3：=，充分利用数学解题技巧，提高学生解决问题的能力。小组4：，学会抓住式子的结构，促进提高学生分析类比能力。小组5：（1），（2）（1）（2）得，错位相减法，观察结构，抓住特征，促进优化。 创设意图：以直观生动的事例入手，能激发学生学习兴趣，能引起学生的认知冲突，激起学生解决问题的欲望。（3）数学习题课型有效问题案例分析对于数学习题课，教师不仅要能够熟练地解答每一道例题，而且要悟透蕴涵其中的数学思想方法，因为不同的数学题可能蕴涵着相同的数学思想方法。从这些数学方法着手，对不同的数学题适度归类，并由此去设计一些问题，引导学生不断展开联想与类比，尝试着自己独立地解决问题。这样，不仅能让学
16、生自觉地去领悟其中的数学思想方法，从而在不知不觉中提高学生的数学学习兴趣。 案例3：新课程选修圆锥曲线中抛物线的一道例题（抛物线焦半径问题） 教学片段：以变式题组呈现，注重开放性和发散性，创设阶梯式的“问题”问题情境：过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的坐标分别为，其中为常数，你能否求出：的值？在解出 时，围绕中心，改变题目条件，继续创设问题：变式1：若抛物线的弦两端点，满足过抛物线的焦点吗？变式2：原题条件不变求弦的长 弦中点轨迹方程 。变式3：将命题的特殊条件变为一般条件：若过定点作直线交抛物线于两点，则会为定值吗？创设意图：据学生的心理分析，他们喜欢在熟悉的问题上有所发现
17、、有所结论。而不是讲了一道题，再讲另一道题，进行重复的训练。学生的这种问题探究是巩固和扩大知识，同时是吸收、内化知识为能力的过程，是激发学生创造思维的有利时机。在此阶段教师要鼓励每一位学生深入思考、注重挖掘、积极探究，收获成果，哪怕是“一丁点”，也是他们自己的劳动果实。变式4： 过抛物线对称轴上任意一点的直线与抛物线交于两点得到一条弦，试问弦端点的横（纵）坐标之积是常数吗？变式5：自抛物线顶点引互相垂直的两条直线交抛物线于P、Q，试问直线PQ经过对称轴上的定点吗？变式6：过抛物线焦点的直线交抛物线于P1 、P2，分别作x轴的垂线,垂足为,则三条线段有什么关系？学生发现原来就是等式的延伸。此阶段
18、教师应不失时机地把学生探究引向深入，使问题探究变成求知的一大乐趣，学生的情绪高涨时。这时教师充分相信学生，把探究学习延伸到课外。问题探讨7：除了上面这些结论，你还能从找出与焦点弦相关的其他性质吗？其他圆锥曲线焦点弦有这样的性质吗？请同学们课后探讨，并在下节课把自己的探讨成果在全班作介绍。问题评析：一个问题的创设是否有效，与学生的知识经验、能力水平有关，与教师在课堂教学中的引导和调控有直接关系。该问题多且有层次性，入手相对容易，坡度适中、排列有序、形成有层次结构的开放系统。学生思维与创造的空间较大，不仅可以使学生产生“有梯可上、步步提高”的成功感，特别是推广到圆锥曲线更使知识上升到一个新的层次，
19、而且在层层问题的设计中体现了一些重要的数学思想方法。 四、数学教学中实施有效问题时应特别关注的几个问题（1）教师创设的任何问题是否有效都应经过教学实践的检验。教师教学设计中的任何一问题都是一种“预问”，这种“预问”很明显具有个性化的特点，教师的主观臆断占主导地位，不可避免地在实际教学过程中会引发冲突（与学生认知特点相冲突，与实际情况相冲突）。所以应用动态发展的眼光看待自己创设的问题，同时作好教学反思这个环节。（2）教师创设问题，学生思考回答，学生总处于一种比较被动的学习过程中，还是不能完全体现新课程强调的学生主体地位。所以教师创设一定的问题之后，要试着让学生自己设计问题，提出问题，则可加深学生
20、的体验，加深对概念的理解和巩固。（3）学生参与问题解决应是自主而协作的。教师应关注学生是否主动提出研究和建议，学生是否全身心融入了小组的问题思考活动中，能否与他人良好合作、合理采纳他人的意见，对学生审题、搜集信息、寻找解题的突破口、理顺条件和结论间的连接点等思维过程的鼓励性评价。新课程强调自主，但也不能放弃协作，只有在自主与协作方面合理调配才会在进入社会后为社会创造更大的财富。问题解决活动是一个相互取长补短、相互完善的过程，也正在这样的过程中，学生的独立思考的火花才会燃起，学生之间的协作才会被增强。（4）问题探讨活动是一个再创造过程，这个过程可以是前人走过的，也可以是前人未发现的方法结论，对学
21、生本人来说都是发现过程，都是创造。对于学生的创造性的结论和方法应积极加以推广，有时即便有一定的错误、或者不够成熟、不够完善都应加以肯定。对于有问题的地方进行进一步的探究，交流，加以完善。在教学中，教师应引导学生自己得出结论，保护他们思维的创造性。对于学生的独创的方法不要全盘否定，要善于能发现其中有价值的闪光点，对学生的学习的积极性是一个鼓励，有利于学生探索科学知识的信心提高，对培养学生的学习数学的兴趣是很大的鼓舞。主要参考文献：1汪莹主编著 素质教育实践与研究 华东师范大学出版社。 2盛群力 、李志强编著 现代教学设计论浙江教育出版社。 3许 浩 从数学理解角度谈课堂设问的层次性 2007年第12期 中学数学研究。4杨玉东等例谈用本原性问题驱动数学概念教学 2006年第12期 中学数学教学参考。9