《k52006年高考第一轮复习数学：3.5数列的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：3.5数列的应用.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 3.5 数列的应用 知识梳理 1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常 常通过数列知识加以解决. 2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同. 3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一 项还是求某些项的和的问题. 点击双基 1.已知 an 是递增的数列，且对于任意nN *，都有 an=n2+n 成立，则实数 的取值 范围是 A.0 B.0 C.=0 D. 3 解析：由题意知anan+1恒成立，即2n+1+0 恒成立，得 3. 答案： D 2.
2、设 a1，a2，, ， a50是从 1，0，1 这三个整数中取值的数列，若a1+a2+, +a50=9，且 （a1+1） 2+（a 2+1） 2+, +（a 50+1） 2=107，则 a 1，a2，, ， a50中有 0 的个数为 A.10 B.11 C.12 D.13 解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+, +a50 2=39，故此 50 个数中有11 个数为 0. 答案： B 3.如下图，它满足： （1）第 n 行首尾两数均为n； （2）表中的递推关系类似杨辉三角， 则第 n 行（ n2）第 2 个数是 _. 1 22 343 4774 51114115 61625251
3、66 解析：设第 n 行的第 2 个数为 an，不难得出规律， 则 an+1=an+n， 累加得 an=a1+1+2+3+ , +（n1） = 2 2 2 nn . 答案： 2 2 2 nn 4.已知 an=logn+1（n+2） （nN *） ，观察下列运算 a1a2=log23log34= 2lg 3lg 3lg 4lg =2， a1a2a3a4a5a6=log23log34 , log67log78= 2lg 3lg 3lg 4lg , 6lg 7lg 7lg 8lg =3. , 定义使 a1 a2 a3 , ak为整数的k （kN *） 叫做企盼数 .试确定当 a1 a2 a3 , a
4、k=2008 时，企盼数k=_. 知识就是力量 解析：由 a1a2, ak= 2lg 3lg 3lg 4lg 4lg 5lg , )1lg( )2lg( k k = 2lg )2lg(k =log2（ k+2）=2008， 解之得 k=220082. 答案： 220082 典例剖析 【例 1】 （ 2005 年春季上海， 20）某市 2004 年底有住房面积1200 万平方米，计划从 2005 年起，每年拆除20 万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积 的 5%. （1）分别求2005 年底和 2006 年底的住房面积； （2）求 2024 年底的住房面积.（计算结果以万
5、平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解:（1）2005 年底的住房面积为 1200（1+5%） 20=1240（万平方米）， 2006 年底的住房面积为 1200（1+5%） 220（1+5%） 20=1282（万平方米）， 2005 年底的住房面积为1240 万平方米， 2006 年底的住房面积为1282 万平方米 . （2）2024 年底的住房面积为 1200（1+5%） 2020（1+5%）1920（1+5%）18, 20（ 1+5%） 20 =1200（1+5%） 2020 05.0 105.1 20 2522.64（万平方米） ， 2024 年
6、底的住房面积约为2522.64 万平方米 . 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 【例 2】 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100 万难民，联合国难民署 计划从 4 月 1 日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比 前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15 天， 总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n 天达到运送食品的最大量. 则前 n 天每天运送的食品量是首项为1
7、000，公差为 100 的等差数列 . an=1000+（n1） 100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为 100 的等差数列 . 依题意，得 1000n+ 2 )1(nn 100+（ 100n+800） （ 15 n） + 2 )14)(15(nn （ 100） =21300 （1n15）. 整理化简得n 231n+198=0. 解得 n=9 或 22（不合题意，舍去）. 答：在第 9 天达到运送食品的最大量. 评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题. 【例 3】 2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从 2003 年开始，计划每
8、年 将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化 . 知识就是力量 （1） 设该县的总面积为1， 2002 年底绿化面积为a1= 10 4 ， 经过 n 年后绿化的面积为an+1， 试用 an表示 an+1； （2）求数列 an的第 n+1 项 an+1； （3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010 ，lg3=0.4771 ） 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 解： （1）设现有非绿化面积为b1，经过 n 年后非绿化面积为bn+1. 于是 a1+b1=1，an+bn=1. 依题意， an+1是由两部分组成
9、，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分 100 2 an 后剩余的面积 100 98 an，另一部分是新绿化的面积 100 8 bn，于是 an+1= 100 98 an+ 100 8 bn= 100 98 an+ 100 8 （1an） = 10 9 an+ 25 2 . （2）an+1= 10 9 an+ 25 2 ，an+1 5 4 = 10 9 （an 5 4 ）. 数列 an 5 4 是公比为 10 9 ，首项 a1 5 4 = 10 4 5 4 = 5 2 的等比数列 . an+1= 5 4 +（ 5 2 ） （ 10 9 ） n. （3） an+160%， 5 4 + （
10、5 2 ）（ 10 9 ） n 5 3 ，（ 10 9 ） n 2 1 ， n （lg9 1） lg2， n 3lg21 2lg 6.5720. 至少需要 7 年，绿化率才能超过60%. 思考讨论 你知道他是怎么想出an 5 4 中的 5 4 来的吗？ 闯关训练 夯实基础 1.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年 25%的增长率生长， 而每年末要砍伐固 定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则 x 的值是 A. 32 S B. 34 S C. 36 S D. 38 S 解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%） x； 二次砍伐后木材存量为S（1+25%）
11、x （1+25%） x. 由题意知（ 4 5 ） 2S 4 5 xx=S（ 1+50%） ， 解得 x= 36 S . 答案： C 2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个， 以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆， 知识就是力量 若第 n 层与第 n+1 层花盆总数分别为f（n）和 f（n+1） ，则 f（n）与 f（n+1）的关系为 A.f（n+1） f（n）=n+1 B.f（n+1） f（ n）=n C.f（n+1）=f（n）+2n D.f（n+1） f（n）=1 答案： A 3.从 2002 年 1 月 2 日起， 每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且 保持不变
12、，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008 年 1 月 1 日将所有 存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元 . 解析：存款从后向前考虑 （1+p）+（1+p）2+, +（1+p） 5 = p pp 1)1)(1( 6 = p 1 （1+p） 7（ 1+p） . 注： 2008 年不再存款 . 答案： p 1 （1+p） 7（ 1+p） 4.某工厂去年产值为a，计划在今后5 年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为_. 解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a 为首项，公比为1.1 的等比数列， S5= 1.11 )1. 11(1
13、.1 5 a =11（ 1.1 51）a. 答案： 11（ 1.1 51）a 5.从盛满 a L（ a1）纯酒精容器里倒出1 L，然后再用水填满，再倒出 1 L 混合溶液后， 再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精. 解：每次用水填满后酒精浓度依次为 a a1 ， （ a a1 ） 2， （ a a1 ） 3，, ， 故每次倒出的纯酒精为1， a a1 ， （ a a1 ） 2，, ， （ a a1 ） n1，, . 第九、十两次共倒出的纯酒精为 （ a a1 ） 8（ a a1 ） 9（ a a1 ） 8（ 1 a a1 ） 9 8 ) 1)(12( a aa . 培养能
14、力 6.已知直线l 上有一列点P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，, ， Pn（xn，yn） ，, ，其中 nN *， x1=1，x2=2，点 Pn+2分有向线段 1nnP P所成的比为 （ 1）. （1）写出 xn+2与 xn+1，xn之间的关系式； （2）设 an=xn+1xn，求数列 an 的通项公式 . 知识就是力量 解： （1）由定比分点坐标公式得xn+2= 1 1nnxx . （2）a1=x2x1=1， an+1=xn+2xn+1= 1 1nn xx xn+1 = 1 1 （xn+1xn）= 1 1 an， n n a a 1 = 1 1 ，即 an是以 a1=1 为首项，
15、 1 1 为公比的等比数列. an=（ 1 1 ） n1. 7.（ 2002 年春季北京，21）已知点的序列An（xn，0） ， n * ，其中xl 0，x2a（a 0） ，A3是线段 AlA2的中点， A4是线段 A2A3的中点， , ，An是线段 An2An1的中点，,. （1）写出 xn与 xn1、 xn2之间的关系式（n） ； （2）设 anxn1xn，计算 al， a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明. 解： （1）当 n3 时， xn= 2 21nn xx . （2）a1=x2x1=a，a2=x3x2= 2 12 xx x2= 2 1 （x2x1）= 2 1 a， a
16、3=x4x3= 2 23xx x3= 2 1 （x3x2）= 2 1 （ 2 1 a） = 4 1 a， 由此推测： an=（ 2 1 ） n1a（ nN* ）. 证明如下：因为a1=a0，且 an=xn+1xn= 2 1nn xx xn= 2 1nn xx = 2 1 （xnxn1）= 2 1 an1（n2） ，所以 an=（ 2 1 ） n1a. 探究创新 8.（ 2004 年春季北京，20）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （）（）（）,a1j, 7 12 （）（）（）,a2j, （）（）（）（）（）,a3j , （）（）（）（）（）,a4j , , ai1ai2ai3ai4ai5,a
17、ij, , 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i 行第 j 列的数 . （1）写出 a45的值； （2）写出 aij的计算公式； （3）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1 可以分解成两个不是1 的正 整数之积 . （1）解： a45=49. （2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为 3 的等差数列：a1j=4+3（j1） ， 知识就是力量 第二行是首项为7，公差为5 的等差数列：a2j=7+5（j1） ， , 第 i 行是首项为4+3（ i1） ，公差为2i+1 的等差数列， 因此 aij=4+3（i1）+（2i+1） （ j1）=2ij +i+j=i（2j+1
18、）+j. （3）证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i、j 使得 N=i（2j+1）+j， 从而 2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1） （2j+1） ， 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积 . 充分性：若2N+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积，由于2N+1 是奇数，则它必为 两个不是1 的奇数之积，即存在正整数k、l，使得 2N+1=（2k+1） （2l+1） ， 从而 N=k（2l+1）+l=akl， 可见 N 在该等差数阵中. 综上所述， 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1 可以分解成两个不是1 的正整 数之积 . 思悟小结
19、1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、 增长率等问题也常归结为数列建模问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （1）分清是等差数列还是等比数列； （2）分清是求an还是求 Sn，特别要准确地确定项数n. 3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透. 教师下载中心 教学点睛 1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识. 2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样. 3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便. 4.强化转化思想、方程思想的应用. 拓展题例 【例 1】 杭
20、州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98 万元引进世界先进 设备奔腾6 号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12 万元，从第二年开始，所需费 用会比上一年增加4 万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50 万元 . 请你根据以上数据，解决下列问题： （1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2）引进该设备若干年后，有两种处理方案： 第一种：年平均盈利达到最大值时，以26 万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时，以8 万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算？并说明理由. 解： （1）设引进设备n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y=50n（ 12n+ 2 )1(nn 4）
21、 98=2n2+40n98，由 y0，得 10 51n 10+51. nN * ， 3n17， 即 3 年后开始盈利 . （2）方案一：年平均盈利为 n y ， n y = 2n n 98 +40 2 n n 98 2+40=12， 知识就是力量 当且仅当 2n= n 98 ，即 n=7 时，年平均利润最大，共盈利127+26=110 万元 . 方案二：盈利总额y=2（n10） 2+102，n=10 时， y 取最大值 102， 即经过 10 年盈利总额最大， 共计盈利 102+8=110 万元 . 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算. 【例 2】 据某城市2002 年末
22、所作的统计资料显示，到2002 年末，该城市堆积的垃圾 已达 50 万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003 年起该城市还将以每年3 万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市 城市建设中的重要问题. （1）假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为10 万吨，从1993 年到 2002 年这十年中，该 城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993 年该城市产生的新垃圾约有 多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.08102.159） （2）如果从 2003 年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有 b1表示 2003 年底该
23、 市堆积的垃圾数量，b2表示 2004 年底该市堆积的垃圾数量,bn表示 2002+n 年底该城市 堆积的垃圾数量，求b1；试归纳出bn的表达式（不用证明） ；计算 n limbn，并说明其 实际意义 . 解： （1）设 1993 年该城市产生的新垃圾为x 万吨 .依题意，得 10+x+1.08x+1.08 2x+, +1.08 9x=50， 08.11 08.11 10 x=40. x= 108.1 08.0 10 40 2.76 万吨 . 1993 年该城市产生的新垃圾约为2.76 万吨 . （2） b1=50 80%+3=43（万吨） . b1=5080%+3=50 5 4 +3， b2= 5 4 b1+3=50（ 5 4 ） 2+3 5 4 +3， b3= 5 4 b2+3=50（ 5 4 ） 3+3（ 5 4 ） 2+3 5 4 +3， 可归纳出bn=50（ 5 4 ）n+3（ 5 4 ） n1+3（ 5 4 ） n2+, +3 5 4 +3 =50（ 5 4 ） n+3 5 4 1 ) 5 4 (1 n =50（ 5 4 ）n+151（ 5 4 ） n=35（ 5 4 ） n+15. n limbn= n lim35（ 5 4 ）n+15=15. 这说明， 按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15 万吨 .