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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 4.5 三角函数的图象与性质（一） 知识梳理 1.五点法作 y=Asin （ x+）的简图： 五点取法是设x=x+，由 x 取 0、 2 、 2 3 、 2来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图. 2.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是 “角变化”多少. 3.给出图象确定解析式y=Asin （ x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点 （， 0）作为突破口，要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置 . 点击双基 1
2、.（2002 年全国）函数y=xcosx 的部分图象是 D y x O C y x O y x O BA y x O 解析： y=xcosx 为奇函数，且当x 0+时，图象在 x 轴下方 . 答案： D 2.（2002 年全国）在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 的取值范围是 A.（ 4 ， 2 ）（ ， 4 5 ）B.（ 4 ，） C.（ 4 ， 4 5 ）D.（ 4 ，）（ 4 5 ， 2 3 ） 解析：利用三角函数线. 答案： C 3.（2005 年春季北京，4）如果函数f（x）=sin（x+） （02）的最小正周期 是 T，且当 x=2 时取得最大值，那么 A.T=2，=
3、 2 B.T=1， = C.T=2，=D.T=1，= 2 知识就是力量 解析： T= 2 =2，又当 x=2 时， sin（2+ ）=sin（2 +） =sin，要使上式取得 最大值，可取 = 2 . 答案： A 4.设函数 f （x） =A+Bsinx， 若 B0 时， f （x） 的最大值是 2 3 ， 最小值是 2 1 ， 则 A=_， B=_. 解析：根据题意，由 2 1 2 3 BA BA， 可得结论 . 答案： 2 1 1 5.（2004 年全国， 5）已知函数y=tan（2x+）的图象过点（ 12 ，0） ，则可以是 A. 6 B. 6 C. 12 D. 12 解析： 将（ 12
4、 ，0）代入原函数可得， tan（ 6 +）=0，再将 A、B、C、D 代入检验即可 . 答案： A 典例剖析 【例 1】 把函数 y=cos （x+ 3 4 ）的图象向左平移4 个单位， 所得的函数为偶函数，则 的最小值是 A. 3 4 B. 3 2 C. 3 D. 3 5 剖析：先写出向左平移4 个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解. 向左平移个单位后的解析式为y=cos（x+ 3 4 +） ， 则 cos（ x+ 3 4 +）=cos（x+ 3 4 +） ， cosxcos（ 3 4 +）+sinxsin（ 3 4 +） =cosxcos（ 3 4 +） sinxsin（ 3 4 +
5、）. sinxsin（ 3 4 +）=0，xR. 3 4 +=k.=k 3 4 0. k 3 4 .k=2.= 3 2 . 答案： B 知识就是力量 【例 2】试述如何由y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象得到y=sinx 的图象 . 解： y= 3 1 sin（ 2x+ 3 ） ）（ 纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3 sin 3 12 xy xysin 3 1 3 纵坐标不变 个单位图象向右平移 xysin 3 横坐标不变 倍纵坐标扩大到原来的 深化拓展 还有其他变换吗?不妨试一试 . 答案： （1）先将 y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象向右平移 6 个单位，得y= 3
6、1 sin2x 的图象； （2）再将 y= 3 1 sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不变） ，得 y= 3 1 sinx 的 图象； （3）再将y= 3 1 sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3 倍（横坐标不变） ，即可得到 y=sinx 的图象 . 【例 3】（2004 年重庆， 17）求函数y=sin 4x+2 3sinxcosxcos 4x 的最小正周期和最 小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间. 解： y=sin 4x+2 3sinxcosxcos 4x =（sin 2x+cos2x） （sin2xcos2 x）+3sin2x =3sin2xcos2x =
7、2sin（2x 6 ）. 故该函数的最小正周期是；最小值是2；单调递增区间是0， 3 ， 6 5 ， . 评述：把三角函数式化简为y=Asin（x+） +k（0）是解决周期、最值、单调区 间问题的常用方法. 闯关训练 夯实基础 1.（2004 年辽宁， 7）已知函数f（x）=sin（ x 2 ） 1，则下列命题正确的是 A.f（x）是周期为1 的奇函数 B.f（x）是周期为2 的偶函数 C.f（x）是周期为1 的非奇非偶函数 D.f（x）是周期为2 的非奇非偶函数 知识就是力量 解析： T= 2 =2，且 f（ x）=sin（x 2 ） 1=cos2x1， f（x）为偶函数 . 答案： B 2
8、.（ 2004 年全国， 9）为了得到函数y=sin（2x 6 ）的图象，可以将函数y=cos2x 的 图象 A.向右平移 6 个单位长度B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 6 个单位长度D.向左平移 3 个单位长度 解析： y=sin（2x 6 ）=cos 2 （ 2x 6 ） =cos（ 3 2 2x）=cos（2x 3 2 ）= cos2（x 3 ） ， 将函数y=cos2x 的图象向右平移 3 个单位长度 . 答案： B 3.方程 2sin2x=x3 的解的个数为_. 解析：画图象. 答案： 3 4.函数 y=Asin（x+）与 y=Acos（x+）在（ x0，x0+）上交点的
9、个数为_. 解析：画图象. 答案： 1 5. （2004 年上海，14） 已知 y=f（x）是周期为 2 的函数，当 x 0，2 ） 时，f（x）=sin 2 x ， 则 f（x）= 2 1 的解集为 A. x|x=2k+ 3 ， kZ B.x|x=2k+ 3 5 ，kZ C. x|x=2k 3 ，kZ D. x|x=2k+（ 1） k 3 ，kZ 解析： f（x）=sin 2 x = 2 1 ， x 0，2） ， 2 x 0，）. 2 x = 6 或 6 5 . x= 3 或 3 5 . f（x）是周期为2 的周期函数， f（x）= 2 1 的解集为 x|x=2k 3 ， kZ. 答案： C
10、 6.画出函数 y=|sinx|，y=sin|x|的图象 . 解： y=sin|x|= .0sin 0sin xx xx， 知识就是力量 x y -23 y= si nx O x y - - 2 2 O y=s i n x 培养能力 7.作出函数 y=sinx+cosx， x 0， 的图象，并写出函数的值域. 解：原式 = . 2 4 sin2 2 0 4 sin2 ，）（ ，）（ xx xx 如下图： x y 1 2 2 O 函数的值域为1，2. 8. （2004 年福建， 17） 设函数 f （x） =a b， 其中向量a= （2cosx， 1） ，b= （cosx，3sin2x） ， x
11、R. （1）若 f（x）=13且 x 3 ， 3 ，求 x； （2）若函数 y=2sin2x 的图象按向量c=（m，n） （|m| 2 ）平移后得到函数y=f（x）的 图象，求实数m、 n 的值 . 分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本 技能，考查运算能力. 解： （1）依题设， f（x）=2cos 2x+ 3sin2x=1+2sin（2x+ 6 ）.由 1+2sin（2x+ 6 ）=13， 得 sin（2x+ 6 ）= 2 3 . 3 x 3 ， 2 2x+ 6 6 5 . 2x+ 6 = 3 ，即 x= 4 . （2）函数 y=2sin2x 的图象按
12、向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n 的图 象，即函数y=f（x）的图象 . 由（ 1）得 f（ x）=2sin2（x+ 12 ）+1. |m| 2 ， m= 12 ，n=1. 知识就是力量 探究创新 9.（ 2004 年北京西城区一模题）f（x）是定义在 2，2上的偶函数， 当 x 0， 时， y=f（ x）=cosx，当 x（ ，2时， f（x）的图象是斜率为 2 ，在 y 轴上截距 为 2 的直线在相应区间上的部分. （1）求 f（ 2） ，f（ 3 ） ； （2）求 f（x） ，并作出图象，写出其单调区间. 解： （1）当 x（ ，2时， y=f（ x）= 2 x
13、2， 又 f（ x）是偶函数，f（ 2 ）=f（2） =2. 又 x 0，时， y=f（x） =cosx， f（ 3 ）=f（ 3 ）= 2 1 . （2）y=f（x）= .22 2 cos 22 2 ， ， ， xx xx xx x y - -22 - 1 1 2 - 2 O 单调区间为2， ） ， 0，） ， ，0 ， ，2 . 思悟小结 1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象， 很多函数的性质都是通过观察图象而得到的. 2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域. 3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根 据周期
14、性作出整个函数的图象. 4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化. 教师下载中心 教学点睛 解析式的求解中应引导学生用好图象，紧扣五点中的第一个零点，要注意图象的升降情 况，注意数形结合的思想. 拓展题例 【例题】已知函数f（x）=Asinx+Bcosx（ A、B、是实常数， 0）的最小正周 期为 2，并当 x= 3 1 时， f（x）max=2. （1）求 f（x）. （2）在闭区间 4 21 ， 4 23 上是否存在f（x）的对称轴 ?如果存在， 求出其对称轴方程； 如果不存在，请说明理由. 知识就是力量 解： （1）f（x）=3sinx+cosx=2sin（ x+ 6 ）. （2）令 x+ 6 =k + 2 ，kZ. x=k+ 3 1 ， 4 21 k+ 3 1 4 23 . 12 59 k 12 65 .k=5. 故在 4 21 ， 4 23 上只有 f（x）的一条对称轴x= 3 16 .