《k52006年高考第一轮复习数学：4.7三角函数的图象与性质(三).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：4.7三角函数的图象与性质(三).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 4.7 三角函数的图象与性质（三） 知识梳理 1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式. 2.能综合利用性质，并能解有关问题. 点击双基 1.（2003 年春季上海）关于函数f（x）=sin 2x（ 3 2 ） |x|+ 2 1 ，有下面四个结论，其中正 确结论的个数为 f（x）是奇函数当 x2003 时，f（x） 2 1 恒成立f（x）的最大值是 2 3 f（x） 的最小值是 2 1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：显然f（x）为偶函数，结论错. 对于结论，当x=1000时， x2003，sin 21000=0，f（10
2、00）= 2 1 （ 3 2 ） 1000 2 1 ，因此结论错. 又 f（ x）= 2 2cos1x （ 3 2 ） |x|+ 2 1 =1 2 1 cos2x（ 3 2 ） |x|， 1 cos2x1， 2 1 1 2 1 cos2x 2 3 . 故 1 2 1 cos2x（ 3 2 ） |x| 2 3 ，即结论错 . 而 cos2x， （ 3 2 ） |x|在 x=0 时同时取得最大值，所以 f（ x）=1 2 1 cos2x（ 3 2 ） |x|在 x=0 时可取得最小值 2 1 ，即结论是正确的. 答案： A 2.（2004 年天津， 12）定义在R 上的函数 f（x）既是偶函数又是
3、周期函数.若 f（x）的 最小正周期是 ，且当 x 0， 2 时， f（x） =sinx，则 f（ 3 5 ）的值为 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 解析： f（ 3 5 ）=f（ 3 5 2） =f（ 3 ）=f（ 3 ）=sin 3 = 2 3 . 答案： D 3.（2004 年全国， 10）函数 y=xcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数 A.（ 2 ， 2 3 ）B.（，2） 知识就是力量 C.（ 2 3 ， 2 5 ）D.（2 ，3） 解析：用排除法，可知B 正确 . 答案： B 4.（2004 年全国， 11）函数 y=sin 4x+cos2x 的最小
4、正周期为 A. 4 B. 2 C.D.2 解析： y=sin 4 x+cos 2x =（ 2 2cos1x ） 2+ 2 2cos1x = 4 32cos 2 x = 4 2 4cos1x + 4 3 = 8 1 cos4x+ 8 7 . 故最小正周期T= 4 2 = 2 . 答案： B 5.y=5sin（2x+）的图象关于y 轴对称，则 =_. 解析： y=f（x）为偶函数 . 答案： =k + 2 （ kZ） 典例剖析 【例 1】判断下面函数的奇偶性： f（x）=lg（sinx+ x 2 sin1 ）. 剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与 f（ x）的关系
5、. 解：定义域为R，又 f（x）+f（ x）=lg1=0 ， 即 f（ x）=f（ x） ， f（ x）为奇函数 . 评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件. 【例 2】求下列函数的单调区间： （1）y= 2 1 sin（ 4 3 2 x ） ； （2）y= sin（ x+ 4 ） . 剖析： （1）要将原函数化为y= 2 1 sin（ 3 2 x 4 ）再求之 .（2）可画出 y=|sin（x+ 4 ）| 的图象 . 解： （1）y= 2 1 sin（ 4 3 2 x ）= 2 1 sin（ 3 2 x 4 ）. 故由 2k 2 3 2 x 4 2k+ 2 3k 8
6、3 x3k+ 8 9 （kZ） ，为单调减区 间；由 2k+ 2 3 2x 4 2k+ 2 3 3k+ 8 9 x3k+ 8 21 （kZ） ，为单调增区间 . 递减区间为3k 8 3 ，3k+ 8 9 ， 知识就是力量 递增区间为3k+ 8 9 ，3k+ 8 21 （kZ）. （2）y=|sin（x+ 4 ）|的图象的增区间为k 4 ，k+ 4 ，减区间为 k+ 4 ， k+ 4 3 . 444 - x y 5 O 深化拓展 （2）不用图象能求解吗? 提示： y=）（ 4 sin 2 x= 2 2 2cos1）（x = 2 2sin1x . 【例 3】（2003 年春季北京）已知函数f（x）
7、= x xx 2cos 1cos5cos6 24 ，求 f（x）的定 义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化 简整理 . 解：由 cos2x0 得 2xk+ 2 ，解得 x 2 k + 4 （kZ）. 所以 f（x）的定义域为 x|xR 且 x 2 k + 4 ，kZ. 因为 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（ x）= ）（ ）（）（ x xx 2cos 1cos5cos6 24 = x xx 2cos 1cos5cos6 24 =f（x） ， 所以 f（x）是偶函数 . 又当 x 2 k + 4 （kZ）时， f（x）
8、= x xx 2cos 1cos5cos6 24 = x xx 2cos 1cos31cos2 22 ）（ =3cos 2 x1， 所以 f（x）的值域为 y|1y 2 1 或 2 1 y2. 评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 闯关训练 夯实基础 1.（2005 年北京海淀区高三期末练习）函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数 A.（ 2 ， 2 3 ）B.（，2） C.（ 2 3 ， 2 5 ）D.（2 ，3） 解析：仿前面第3 小题依次排除A、B、D. 知识就是力量 答案： C 2.为了使 y=sinx（ 0）在区间 0，1上至
9、少出现50 次最大值，则 的最小值是 A.98B. 2 197 C. 2 199 D.100 解析： 49 4 1 T1，即 4 197 2 1， 2 197 . 答案： B 思考：若条件改为在x0，x0+1上至少出现50 次最大值呢？ 3.（2004 年福建， 11）定义在R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x+2） ，当 x 3，5 时， f（x）=2|x4|，则 A.f（sin 6 ） f（cos 6 ） B.f（sin1） f（cos1） C.f（cos 3 2 ） f（sin 3 2 ） D.f（cos2） f（sin2） 解析：由 f（x）=f（x+2）知 T=2， 又 x
10、3，5时， f（x） =2|x4|， 可知当 3x4 时，f（x）=2+x. 当 4x5 时， f（x）=6x.其图如下，故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是 减函数 . x y O1 1 2 2 3 4 5 又由 |cos2|sin2|， f（cos2） f（sin2）. 答案： D 4.若 f（x）具有性质： f（x）为偶函数，对任意xR，都有 f（ 4 x）=f（ 4 +x） ，则 f（x）的解析式可 以是 _.（只写一个即可） 答案： f（ x）=a 或 f（x）=cos4x 或 f（x）=|sin2x|等. 5.给出下列命题： 正切函数的图象的对称中心是唯一的； y=|sinx
11、|、y=|tanx|的周期分别为 、 2 ； 若 x1x2，则 sinx1sinx2； 若 f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则 f（ 2 T ） =0. 其中正确命题的序号是_. 答案： 6.当（ 0，）时，求y=2sin12sin1. 知识就是力量 解： y= 2 cossin）（ 2 cossin）（ =sincos sin+cos. （1）当 （ 0， 4 时，有sin cos，sin+cos0， y=cossinsincos= 2sin . （2）当 （ 4 ， 4 3 ）时， sincos，sin+cos0， y=sincossincos= 2cos. （3）当 （
12、4 3 ， ）时，有sincos，sin+cos 0， y=sincos+sin +cos=2sin. 培养能力 7.设 x 0， 2 ，f（x） =sin（ cosx） ，g（x）=cos（sinx） ，求 f（x） 、 g（x）的最大值 . 解：在 x 0， 2 上， y=cosx 是单调递减的，且cosx 0，1 ，而 y=sinx 是单调 递增的，且sinx 0，1 ， f（x）=sin（cosx） 0，sin1 ， g（x）=cos（sinx） cos1，1. f（x）的最大值是sin1，g（x）的最大值是1. 8.若 logcossin logsincos（ 为锐角），求 的取值范
13、围 . 解： 为锐角， 0 cos1，0sin1， logcossin0， logsincos0. 原式就是logcossinlogsincos coslog sinlog sin cos 1（logcossin） 21 logcossin 1sin cos0 4 . 探究创新 9.已知 P（1，cosx） ，Q（cosx， 1） ，x 4 ， 4 . （1）求向量OP和OQ的夹角 的余弦用x 表示的函数f（x） ； （2）求 的最值 . 解： （1） OPOQ =2cosx， |OP|OQ|=1+cos 2 x， f（x）=cos= x x 2 cos1 cos2 . （2）cos= x x
14、 2 cos1 cos2 = x x cos 1 cos 2 ， 知识就是力量 x 4 ， 4 ，cosx 2 2 ，1. 2cosx+ xcos 1 2 23 ， 3 22 f（x） 1，即 3 22 cos1. max=arccos 3 22 ，min=0. 思悟小结 1.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大 小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小. 2.当函数的定义域为关于原点对称的区间时，判断函数的奇偶性一般运用奇偶性的定 义，有时亦可应用与定义等价的命题，如f（ x） f（x）=1（f（x） 0） ，则 f（x）为
15、偶 函数，若 f（ x）f（x）=1（f（x） 0） ，则 f（x）为奇函数，或由f（x） f（x）=0 来判断奇偶性 . 3.判断 y=Asin（ x+） （ 0）的单调区间，只需求y=Asin（ x+）的相反区间 即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（ x+） （ 0）单调区间时，则需要先将x 的系数变为正的，再设法求之.（读者考虑为什么） 教师下载中心 教学点睛 本节是图象和性质的综合应用的内容，例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、 分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联. 拓展题例 【例 1】判断 f（ x）= xx xx cossin1 c
16、ossin1 的奇偶性 . 正确解法：取x= 2 ， f（x）有意义，取x= 2 ，f（x）没有意义，故定义域关于原点 不对称 . f（x）是非奇非偶函数. 常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导 致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析 f（x）与 f（ x）的关系 . 【例 2】在ABC 中， a、b、c 成等比数列，求函数y=sinB+cosB 的值域 . 分析： b 2=ac 可转化为 B 的取值范围 . 解： b 2=ac，cosB= ac bca 2 222 = ac acca 2 22 = ac ca 2 22 2 1 ac ac 2 2 2 1 = 2 1 ， B（ 0， 3 .y=2sin（B+ 4 ）（ 1，2. 拓展：如果a、b、c 成等差数列呢?