《k52006年高考第一轮复习数学：5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 知识梳理 1.设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则AB=（ x2 x1， y2y1）. |AB|= 2 12 2 12 ）（）（yyxx. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意： （1）点 P 是不同 于 P1，P2的直线 P1P2上的点； （2）实数 是 P 分有向线段 21P P所成的比，即P1P，PP2 的顺序，不能搞错； （3）定比分点的坐标公式 1 1 21 21 yy y xx x， （ 1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与
2、平移向量坐标三者之间的关系， .kyy hxx， 特别提示 1.定比分点的定义：点P 为 21 PP所成的比为 ，用数学符号表达即为PP1= 2 PP. 当 0 时， P 为内分点； 0 时， P 为外分点 . 2.定比分点的向量表达式： P 点分 21P P成的比为 ，则OP= 1 1 1 OP+ 1 2 OP（O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. 点击双基 1.（ 2004 年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐 标由（ 1，0）变为（ 2，2） ，则平移后的图象的解析式为 A.y=f（x+1） 2 B.y=f（x1）
3、2 C.y=f（x1）+2 D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2） ，则平移后的图象的解析式为y=f（x1）+2. 答案： C 2.（ 2004 年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2 =4x 沿向量 a 平移得到抛物线y 24y=4x， 则向量 a 为 A.（ 1，2）B.（1， 2） C.（ 4，2）D.（4， 2） 解析：设a=（h， k） ，由平移公式得 知识就是力量 ， ， kyy hxx kyy hxx 代入 y 2=4x 得 （yk） 2=4（ xh） ， y 22k y=4x 4hk 2， 即 y 22ky=4x4hk2， k=2，h=1. a=（ 1，2）.
4、 答案： A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2 4y=4x，配方得 （y2） 2 =4（x+1） ， h=1，k=2.（知道为什么吗?） 3.设 A、B、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则 A 点分BC所得的比为 A. 8 3 B. 3 8 C. 8 3 D. 3 8 解析：设A 点分BC所得的比为 ，则由 2= 105 ，得 = 8 3 . 答案： C 4.若点 P 分AB所成的比是 （0） ，则点 A 分BP所成的比是 _. 解析：AP=PB，AP=（AP+AB）.（ 1+）AP=AB. AB= 1 AP.BA= 1 AP. 答案： 1 5.（理）
5、若 ABC 的三边的中点坐标为（2，1） 、 （ 3，4） 、 （ 1， 1） ，则 ABC 的 重心坐标为 _. 解析：设A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， C（x3，y3） ， 知识就是力量 则 .1 2 1 2 4 2 3 2 1 2 2 2 32 32 31 31 21 21 yy xx yy xx yy xx ， ， ， ， ， 4 2 321 321 yyy xxx 重心坐标为（ 3 2 ， 3 4 ） . 答案： （ 3 2 ， 3 4 ） （文）已知点M1（6，2）和 M2（1，7） ，直线 y=mx7 与线段 M1M2的交点 M 分有向 线段 21M M的比为 32，则
6、 m 的值为 _. 解析：设 M（ x，y） ，则 x= 2 3 1 2 3 6 = 5 15 =3，y= 2 3 1 2 3 72 = 5 214 =5，即 M（3，5） ，代入 y=mx7 得 5=3m7， m=4. 答案： 4 典例剖析 【例 1】已知点 A（ 1，6）和 B（3，0） ，在直线AB 上求一点P，使 |AP|= 3 1 |AB|. 剖析： |AP|= 3 1 |AB|，则AP= 3 1 AB或AP= 3 1 BA.设出 P（x，y） ，向量转化为坐标运算 即可 . 解：设 P 的坐标为（ x，y） ，若AP= 3 1 AB，则由（ x+1，y6） = 3 1 （4， 6）
7、 ，得 .26 3 4 1 y x， 解得 .4 3 1 y x， 此时 P 点坐标为（ 3 1 ，4）. 若AP= 3 1 AB，则由（ x+1，y6）= 3 1 （4， 6）得 .26 3 4 1 y x， 解得 .8 3 7 y x， 知识就是力量 P（ 3 7 ，8）.综上所述， P（ 3 1 ，4）或（ 3 7 ， 8）. 深化拓展 本题亦可转化为定比分点处理.由AP= 3 1 AB，得AP= 2 1 PB，则 P 为AB 的定比分点， = 2 1 ，代入公式即可；若AP= 3 1 AB ，则 AP = 4 1 PB ，则P 为 AB的定比分 点， = 4 1 . APBPAB 由两
8、种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例 2】已知 ABC 的三个顶点坐标分别是A（4，1） ，B（3，4） ，C（ 1，2） ，BD 是 ABC 的平分线，求点D 的坐标及 BD 的长. 剖析： A、C 两点坐标为已知，要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC所成的 比即可 . 解： |BC|=25，|AB|=10， D 分AC所成的比 = 2 2 BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 .2 2 2 1 21 259 2 2 1 1 2 2 4 D D y x， ）（ D 点坐标为（ 952，2）. |BD |= 22 423259）（）（=2
9、68104. 评述： 本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解 出 D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化. 深化拓展 本题也可用如下解法：设D（ x，y） ， BD 是 ABC 的平分线， BA，BD=BC，BD. |BDBC BDBC BDBA BDBA ， 即 | BA BDBA = | BC BDBC . 又BA=（1， 3） ，BD=（x3，y4） ，BC=（ 4， 2） ， 知识就是力量 10 1233yx = 20 82124yx . （ 4+2）x+（232）y+9220=0. 又 A、D、C 三点共线，AD，AC共线 . 又AD
10、=（ x4，y 1） ，AC=（x+1， y2） ， （ x4） （y2）=（x+1） （y1）. 由可解得 .2 259 y x， D 点坐标为（ 952，2） ，|BD|=268104. 思考讨论 若 BD 是 AC 边上的高， 或 BD 把 ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读 者思考 . 【例 3】 已知在ABCD 中，点 A（ 1，1） ，B（2，3） ， CD 的中点为E（4，1） ，将 ABCD 按向量 a 平移，使 C 点移到原点O. （1）求向量a； （2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解： （1）由ABCD 可得AB=DC， 设 C（x3，y3） ，
11、D（ x4，y4） ， 则 ， .2 1 43 43 yy xx 又 CD 的中点为E（4， 1） ， 则 ， .1 2 4 2 43 43 yy xx 由得 ， ， 2 2 9 3 3 y x ， ， 0 2 7 4 4 y x 即 C（ 2 9 ，2） ，D（ 2 7 ，0）. a=（ 2 9 ， 2） . （2）由平移公式得A（ 2 7 ，1） ，B（ 2 5 ，1） ，C（0，0） ，D（ 1，2）. 闯关训练 夯实基础 知识就是力量 1.（2004 年福州质量检查题）将函数y=sinx 按向量a=（ 4 ，3）平移后的函数解析 式为 A.y=sin（x 4 ）+3 B.y=sin（
12、x 4 ） 3 C.y=sin（x+ 4 ）+3 D.y=sin（x+ 4 ） 3 解析：由 ， ， kyy hxx 得 .3 4 yy xx， y3=sin（x+ 4 ）. y=sin（ x + 4 ）+3， 即 y=sin（x+ 4 ）+3. 答案： C 2. （2003 年河南调研题） 将函数 y=2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数 y=2sin （2x+ 3 ） +1 的图象，则a 等于 A.（ 3 ，1）B.（ 6 ，1） C.（ 3 ， 1）D.（ 6 ，1） 解析：由y=2sin（2x+ 3 ）+1 得 y=2sin2（x+ 6 ）+1， a=（ 6 ，1）. 答案：
13、B 3.（2004 年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y=2x 2 +1 上的动点，定点A（ 0， 1） ， 若点M分PA所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_ ，它的焦点坐标是 _. 解析：设P（x0，y0） ，M（x，y）. 3 2 3 0 0 y y x x ， ， 23 3 0 0 yy xx 代 入y0=2x0 2+1 得3y+2=18x 2+1 ， 即 18x 2=3y+1 ， x 2= 6 1 y+ 18 1 = 6 1 （y+ 3 1 ） ， p= 12 1 ，焦点坐标为（0， 24 7 ）. 答案： x 2= 6 1 （y+ 3 1 ）（0， 24 7 ） 4.把函数 y=2x
14、 24x+5 的图象按向量 a平移后， 得到 y=2x 2的图象，且 ab，c=（1，1） ， bc=4，则 b=_. 解析：a=（0，0）（1， 3）= （ 1，3）.设 b=（x，y） ，由题意得 ， ， 4 03 yx yx ， ， 1 3 y x 知识就是力量 则 b=（3， 1）. 答案： （3， 1） 5.已知向量OA= （3， 1） ，OB= （ 1， 2） ，OCOB，BCOA.试求满足OD+OA=OC 的OD的坐标 . 解：设OD=（x， y） ，则OC=（x，y）+（3， 1）=（x+3，y+1） ， BC=OCOB=（x+3，y+1）（ 1，2）=（ x+4， y1） ，
15、 则 .0134 0123 ）（）（ ，）（）（ yx yx 所以 ， ， 6 11 y x OD=（11，6） . 6.已知 A（2，3） ，B（ 1，5） ，且满足AC= 3 1 AB，AD=3AB，AE= 4 1 AB，求 C、 D、E 的坐标 . 解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1， 3 11 ） ，D（ 7，9） ， E（ 4 11 ， 2 5 ）. 培养能力 7.（ 2004 年福建， 17）设函数 f（x）=ab，其中 a=（2cosx，1） ，b=（cosx，3sin2x） ， xR. （1）若 f（x）=1 3，且 x 3 ， 3 ，求 x； （2）
16、若 y=2sin2x 的图象按向量c=（ m，n） （|m| 2 ）平移后得到函数y=f（x）的图象， 求实数 m、n 的值 . 解： （1）依题设 f（x）=2cos 2x+ 3sin2x=1+2sin（ 2x+ 6 ） ， 由 1+2sin（2x+ 6 ） =13，得 sin（2x+ 6 ）= 2 3 . |x| 3 ， 2 2x+ 6 6 5 . 2x+ 6 = 3 ，即 x= 4 . （2）函数 y=2sin2x 的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n 的图 知识就是力量 象，即 y=f（x）的图象 .由（ 1）得 f（x）=2sin2（x+ 12 ）+1.
17、又 |m| 2 ， m= 12 ，n=1. 8.有点难度哟！ （2004 年广州综合测试）已知曲线x 2+2y2+4x+4y+4=0 按向量 a=（ 2，1）平移后得到曲 线 C. （1）求曲线C 的方程； （2）过点 D（0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M、N，且 M 在 D、N 之间， 设DM=MN，求实数 的取值范围 . 解： （1）原曲线即为（x+2） 2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线 C 为 x 2+2y2=2， 即 2 2 x +y 2=1. （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 . 1 2 1 2 1 2 1 y y x x， 由于点 M、N 在椭圆
18、 x 2+2y2 =2 上，则 ， ， 22 22 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 即 .22 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2222 yx yx ，）（）（ 消去 x2 2 得， 2 2+8 y 2+8=2 2+4+2， 即 y2= 4 32 . 1y21， 1 4 32 1. 又 0，故解得 2 1 . 故的取值范围为 2 1 ，+） . 思考讨论 本题若设出直线l 的方程 y=kx+2，然后与x 2+2y2=2 联立，利用韦达定理能求解吗 ?（不 要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下. 探究创新 9.甲船由 A 岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为 15
19、2n mile/h，在甲 船从 A 岛出发的同时， 乙船从 A 岛正南 40 n mile 处的 B 岛出发， 朝北偏东 （ =arctan 2 1 ） 的方向作匀速直线航行，速度为10 5 n mile/h.（如下图所示） 知识就是力量 A B 东 北 （1）求出发后3 h 两船相距多少海里? （2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以 A 为原点， BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系. A P Q B 东 北 x y 设在 t 时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 .15 1545cos215 11 1 txy ttx， 由=ar
20、ctan 2 1 ，可得 cos= 5 52 ，sin= 5 5 ， x2=105tsin=10t， y2=105tcos40=20t40. （1）令 t=3， P、 Q 两点的坐标分别为（45，45） ， （30，20）. |PQ|= 22 20453045）（）（ =850=534， 即两船出发后3 h 时，两船相距534n mile. （2）由（ 1）的解法过程易知 |PQ|= 2 12 2 12 ）（）（yyxx = 22 1540201510）（）（tttt = 160040050 2 tt = 800450 2 ）（ t 202. 当且仅当t=4 时， |PQ|的最小值为202，
21、即两船出发4 h 时，相距202n mile 为两船最近距离. 思悟小结 1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： 知识就是力量 （1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比； （2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地 把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义PP1= 2 PP获解 . 2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定 的值是公式应用的关键. 3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、 逆使用， 并特别注意分清 新旧函数解析式. 4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. 教师下载中心 教学点睛
22、1.线段的定比分点公式PP1= 2 PP，该式中已知P1、 P2及可求分点P 的坐标，并且 还要注意公式的变式在P1、P2、 P、 中知三可求第四个量. 2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体 现了向量（形）与数之间的转化具有一般性. 3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 【例 1】 （2004 年豫南三市联考）已知 f（A，B）=sin 2 2A+cos 22B 3sin2Acos2B+2. （1）设 ABC 的三内角为A、B、C，求 f（A，B）取得最小值时，C 的值； （2）当 A+B= 2 且
23、 A、BR 时，y=f（A，B）的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p. 解： （1）f（A，B）=（sin2A 2 3 ） 2+（cos2B 2 1 ） 2+1， 由题意 ， ， 2 1 2cos 2 3 2sin B A 得 . 6 3 6 B AA，或 C= 3 2 或 C= 2 . （2） A+B= 2 ， 2B=2A，cos2B=cos2A. f（A，B）=cos2A 3 sin2A+3=2cos（2A+ 3 ） +3=2cos2（A+ 6 ）+3. 从而 p=（ 6 ， 3） （只要写出一个符合条件的向量p 即可） . 【例 2】 设曲线
24、 C 的方程是y=x 3x， 将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平移 t、s单位长度后， 得到曲线C1. （1）写出曲线C1的方程； （2）证明：曲线C 与 C1关于点 A（ 2 t ， 2 s ）对称 . （1）解： C1：ys=（st） 3（ xt）. 知识就是力量 （2）分析：要证明曲线C1与 C 关于点 A（ 2 t ， 2 s ）对称，只需证明曲线C1上任意一 个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都 在曲线 C1上即可 . 证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（ 2 t ， 2 s ）的对称点为 P（tx1，s y1） ，把 P 点坐标代入曲线C 的方程，左 =sy1，右 =（tx1） 3（ t x 1）. 由于 P1在曲线 C1上， y1s=（x1t） 3（ x 1t）. sy1=（t x1） 3（ tx 1） ，即点 P（tx1，sy1）在曲线 C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C1上. 从而证得曲线C 与 C1关于点 A（ 2 t ， 2 s ）对称 .