《k52006年高考第一轮复习数学：6.4不等式的解法(一).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：6.4不等式的解法(一).pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 6.4 不等式的解法（一） 知识梳理 1.一元一次不等式的解法. 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb（a0）的形式 . 当 a0 时，解集为 x|x a b ；当 a0 时，解集为 x|x a b . 2.一元二次不等式的解法. 任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2 +bx+c 0（或 0） （其中 a0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集. 3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”. 思考讨论 用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理?
2、 点击双基 1.（2004 年全国， 5）不等式 3 2 x xx）（ 0 的解集为 A. x|x 2 或 0x 3 B. x|2x0 或 x3 C. x|x 2 或 x0 D. x|x0 或 x3 解析：在数轴上标出各根. - 203 答案： A 2.（2003 年北京）若不等式|ax+2|6 的解集为（1，2） ，则实数 a 等于 A.8 B.2 C.4 D.8 解析：由 |ax+2|6 得 6ax+26， 即 8ax4.不等式 |ax+2|6 的解集为（ 1，2） ，易检验a=4. 答案： C 3.（2003 年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是 R 上的增函数，A（ 0， 1） 、
3、 B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）| 1 的解集是 A.（1，4） B.（ 1， 2） C.（， 1 4，+） D.（， 1 2，+） 解析：由题意知f（0）=1，f（3）=1. 又| f（x+1）|11f（ x+1） 1， 即 f（ 0）f（x+1） f（3）. 又 f（ x）为 R 上的增函数， 0x+13. 1x2. 知识就是力量 答案： B 4.（理） （ 2003 年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x 2|x1| 10 的解集为 _. 解析：当x10 时，原不等式化为x 2x0，解得 0x1. x=1； 当 x10 时，原不等式化为x 2 +x20， 解得 2x1
4、. 2x1. 综上， x 2. 答案： x|2x1 （文）不等式ax 2+（ab+1） x+b0 的解集为 x|1x2 ，则 a+b=_. 解析： ax 2 +（ab+1）x+b0 的解集为 x|1x2 ， .2 3 1 0 a b a ab a ， ， 解得 1 2 1 b a， 或 .2 1 b a， a+b= 2 3 或 3. 答案： 2 3 或 3 5.不等式 ax 2 +bx+c0 的解集为 x|2x3 ，则不等式ax 2bx+c0 的解集为 _. 解析：令 f（x）=ax 2 +bx+c，其图象如下图所示， x y yy O =fx()f x() - 3- 223 - 再画出 f（
5、 x）的图象即可 . 答案： x|3x 2 典例剖析 【例 1】解不等式 32 5 2 xx x 1. 剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数， 故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组. 解：原不等式变为 32 5 2 xx x 1 0， 即 32 23 2 2 xx xx 0 032 023 032 023 2 2 2 2 xx xx xx xx 或 ， 1x1 或 2x 3. 原不等式的解集是x 1 x1 或 2x3. 【例 2】求实数 m 的范围，使y=lgmx 2+2（ m+1）x+9m+4对任意 xR 恒有意义 .
6、剖析： mx 2+2（m+1）x+9m+40 恒成立的含义是该不等式的解集为 R. 故应 .0 0 ， m 知识就是力量 解：由题意知mx 2 +2（m+1）x+9m+40 的解集为R，则 .049414 0 2 ）（）（ ， mmm m 解得 m 4 1 . 评述：二次不等式ax 2+bx+c0 恒成立的条件： .0 0 a， 若未说明是二次不等式还应讨论a=0 的情况 . 思考讨论 本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论， m=0 适合. 当 m0 时， .0 0 m， 解 m 即可 . 【例 3】 若不等式2x 1m（x 21）对满足 |m|2 的所有 m 都
7、成立， 求 x 的取值范围 . 剖析：对于m 2，2 ，不等式2x1 m（ x 21）恒成立，把 m 视为主元，利用 函数的观点来解决. 解：原不等式化为（x 21）m（ 2x1） 0. 令 f（ m） =（x 21）m（ 2x1） （ 2 m 2）. 则 .012122 012122 2 2 ）（）（）（ ，）（）（）（ xxf xxf 解得 2 71 x 2 31 . 深化拓展 1.本题若变式：不等式2x1m（x 21）对一切 2x2 都成立，求 m 的取值范围 . 2.本题若把 m 分离出来再求m 的范围能行吗 ? 闯关训练 夯实基础 1.（2004 年重庆， 4）不等式x+ 1 2 x
8、 2 的解集是 A.（ 1，0）（ 1，+）B.（， 1）（ 0，1） C.（ 1，0）（ 0，1）D.（， 1）（ 1，+） 解 法一 ：x+ 1 2 x 2x 2+ 1 2 x 0 1 1 x xx）（ 0x（ x 1） （ x+1） 0 1x0 或 x1. 解法二：验证，x=2、 2 1 不满足不等式，排除B、C、 D. 答案： A 2.设 f（x）和 g（x）都是定义域为R 的奇函数，不等式f（x）0 的解集为（ m，n） ， 不等式 g（x） 0 的解集为（ 2 m ， 2 n ） ，其中 0m 2 n ，则不等式f（x） g（x） 0 的解 知识就是力量 集是 A.（m， 2 n
9、）B.（m， 2 n ）（ 2 n ， m） C.（ 2 m ， 2 n ）（ n， m）D.（ 2 m ， 2 n ）（ 2 n ， 2 m ） 解析： f（ x） 、g（ x）都是定义域为R 的奇函数， f（x） 0 的解集为（ m，n） ，g（x） 0 的解集为（ 2 m ， 2 n ）. f（ x） 0 的解集为（ n， m） ，g（ x） 0 的解集为（ 2 n ， 2 m ） ， 即 f（ x） 0 的解集为（n， m） ，g（x） 0 的解集为（ 2 n ， 2 m ）. 由 f（ x） g（ x） 0 得 0 0 ）（ ，）（ xg xf 或 .0 0 ）（ ，）（ xg xf
10、 .又 0m 2 n ， mx 2 n 或 2 n x m. 答案： B 3.若关于 x 的不等式 2 1 x 2 +2xmx 的解集为 x|0x2 ，则实数m 的值为 _. 解析：由题意，知0、2 是方程 2 1 x 2+（2m）x=0 的两个根， 2 1 2m =0+2.m=1. 答案： 1 4.（2004 年浙江， 13）已知 f（x）= .01 01 x x， 则不等式x+（x+2） f（x+2） 5 的解 集是 _. 解析：当x+20，即 x 2 时. x+（x+2）f（x+2） 5 2x+25x 2 3 . 2x 2 3 . 当 x+20 即 x 2 时， x+（ x+2）f（x+
11、2） 5 x+（x+2） （ 1） 525， x 2. 综上 x 2 3 . 答案： （， 2 3 知识就是力量 5. （2004 年宣武二模题） 定义符号函数sgnx= .01 00 01 ）（ ），（ ），（ x x x 当 xR 时， 解不等式（x+2） （ 2x1） sgnx. 解：当 x0 时，原不等式为x+22x1. 0x3. 当 x=0 时，成立 . 当 x0 时， x+2 12 1 x . x 12 1 x +20. 12 2412 2 x xxx 0. 12 332 2 x xx 0. 4 333 x0. 综上，原不等式的解集为 x| 4 333 x3. 6.（2003 年北
12、京西城区一模题）解关于x 的不等式ax 222xax（aR） . 解：原不等式变形为ax 2 +（ a2）x 20. a=0 时， x 1； a0 时，不等式即为（ax2） （x+1） 0， 当 a0 时， x a 2 或 x 1； 由于 a 2 （ 1）= a a2 ，于是 当 2a0 时， a 2 x 1； 当 a=2 时， x=1； 当 a 2 时， 1x a 2 . 综上， 当 a=0 时，x 1；当 a0 时，x a 2 或 x 1；当 2a0 时， a 2 x 1； 当 a=2 时， x=1；当 a 2 时， 1x a 2 . 培养能力 7.（2004 年春季安徽）解关于x 的不等
13、式loga 3 x3logax（a0，且 a1）. 解：令 y=logax，则原不等式化为y 33y 0， 解得 y 3或 0y3 ， 即 logax3或 0logax3. 当 0a 1 时，不等式的解集为x|xa 3 x|a 3 x1 ； 知识就是力量 当 a1 时，不等式的解集为 x|0xa 3 x|1xa 3 . 8.有点难度哟！ （2003 年天津质量检测题）已知适合不等式|x 2 4x+a|+|x3|5 的 x 的最大值为3，求 实数 a 的值，并解该不等式. 解： x3， |x3|=3x. 若 x 24x+a 0，则原不等式化为 x 23x+a+20. 此不等式的解集不可能是集合x
14、|x3 的子集， x 24x+a0 不成立 . 于是， x 24x+a 0，则原不等式化为 x 25x+a20.x3， 令 x 25x+a 2=（x 3） （x m）=x2（ m+3） x+3m，比较系数，得 m=2， a=8. 此时，原不等式的解集为 x|2x3. 探究创新 9.关于 x 的不等式 05522 02 2 2 kxkx xx ）（ ， 的整数解的集合为2，求实数k 的取值 范围 . 解：由 x 2x20 可得 x1 或 x2. 05522 02 2 2 kxkx xx ）（ ， 的整数解为x=2， 又方程2x 2+（2k+5）x+5k=0 的两根为 k 和 2 5 . 若 k
15、2 5 ，则不等式组的整数解集合就不可能为2 ； 若 2 5 k，则应有 2 k3. 3k2. 综上，所求k 的取值范围为3k2. 思悟小结 1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关. 2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解， 可用数轴标根法或列表法. 3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易. 4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. 教师下载中心 教学点睛 1.解不等式的过程， 实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变 形是解不等式应遵循的基本原则. 2.各类不等式最后一般都要化为一元一次
16、不等式（组）或一元二次不等式（组）来解， 这体现了转化与化归的数学思想. 3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻 辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 知识就是力量 拓展题例 【例 1】（2003 年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式 1 2 ax ax x（aR）. 解法一：由 1 2 ax ax x，得 1 2 ax ax x 0，即 1ax x 0. 此不等式与x（ax 1） 0 同解 . 若 a0，则 a 1 x0； 若 a=0，则 x0； 若 a0，则 x0或 x a 1 . 综上， a0 时，原不等式的解集是
17、（ a 1 ，0） ； a=0 时，原不等式的解集是（，0） ； a0 时，原不等式的解集是（，0）（ a 1 ，+） . 解法二：由 1 2 ax ax x，得 1 2 ax ax x 0，即 1ax x 0. 此不等式与x（ax 1） 0 同解 . 显然， x0. （1）当 x0 时，得 ax10. 若 a0，则 x a 1 ，与 x0 矛盾， 此时不等式无解； 若 a=0，则 10，此时不等式无解； 若 a0，则 x a 1 . （2）当 x0 时，得 ax10. 若 a0，则 x a 1 ，得 a 1 x0； 若 a=0，则 10，得 x0； 若 a0，则 x a 1 ，得 x0. 综
18、上， a0 时，原不等式的解集是（ a 1 ，0） ； a=0 时，原不等式的解集是（，0） ； a0 时，原不等式的解集是（，0）（ a 1 ，+） . 【例 2】 f（x）是定义在（，3上的减函数，不等式f（a 2sinx）f（a+1+cos2x） 对一切 xR 均成立，求实数a 的取值范围 . 解：由题意可得 知识就是力量 xaxa xa xa 22 2 2 cos1sin 3cos1 3sin ， ， 即 22 2 2 2 1 sin 4 9 cos2 sin3 ）（ ， ， xaa xa xa 对 x R 恒成立 . 故 max 22 2 2 1 sin 4 9 1 2 ）（ ， ， xaa a a 2a 2 101 .