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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第七章直线和圆的方程 网络体系总览 直 线 和 圆 直 线 圆 倾 斜 角 和 斜 率 直 线 方 程 点 斜 式 两 点 式 一 般 式 两 条 直 线 的 位 置 关 系 重 合 平 行 相 交 垂 直 交 点 夹 角 点 到 直 线 距 离 公 式 用 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 简 单 的 线 性 规 划 圆 的 方 程 标 准 方 程 一 般 方 程 参 数 方 程 圆 的 性 质 点 与 圆 的 位 置 关 系 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 圆 与 圆 的 位 置 关 系 简 单 应 用 考点目标定位 （
2、1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程. （2）掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能 够根据直线的方程判断两条直线的关系. （3）了解二元一次不等式表示平面区域. （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用. （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法. （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 复习方略指南 1.本章在高考中主要考查两类问题： 基本概念题和求在不同条件下的直线方程.基本概念重点考查： （1）与直线方程特征值 （主要指斜率、截距）有
3、关的问题；（2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题 等.此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现，每年必考.中心对称与轴对称 问题虽然在考试大纲中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握. 2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式出现（此 类问题下一章重点复习）. 3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往 往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力. 在复习本章时要注意如下几点： 1.要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆， 能否分清这两点是学好有向线
4、段的关键 2.在解答有关直线的问题时，要注意（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意 斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围； （2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于 “零截距”而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率 知识就是力量 不存在的情况，防止丢解；（ 4）要灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割 问题、对称问题时可以简化运算；（5）掌握对称问题的四种基本类型的解法；（6）在由两直 线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、 特殊值检验 等基本的数学思想方法 7.1 直线的方程 知识梳理 1.直线的倾斜角、
5、斜率及直线的方向向量 （1）直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线， 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向 旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0. 可见，直线倾斜角的取值范围是0 180. （2）直线的斜率 倾斜角 不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即 k=tan（ 90） . 倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，其取值范围是 （， +） . （3）直线的方向向量 设 F1（x1，y1） 、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量 2
6、1F F=（ x2 x1， y2y1）称 为直线的方向向量.向量 12 1 xx 21F F=（1， 12 12 xx yy ）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率 . （4）求直线斜率的方法 定义法：已知直线的倾斜角为，且 90，则斜率k=tan. 公式法：已知直线过两点P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） ，且 x1x2，则斜率 k= 12 12 xx yy . 方向向量法：若a=（ m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k= m n . 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 斜率的图象如下图. k O 2 对于直线上任意两点P1（x1， y
7、1） 、P2（x2，y2） ，当 x1=x2时，直线斜率k 不存在，倾斜 角 =90；当 x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k 0 时， =arctank，k0 时， =+arctank. 知识就是力量 2.直线方程的五种形式 （1）斜截式： y=kx+b. （2）点斜式： yy0=k（x x0）. （3）两点式： 12 1 yy yy = 12 1 xx xx . （4）截距式： a x + b y =1. （5）一般式： Ax+By+C=0. 点击双基 1.直线 xtan 7 +y=0 的倾斜角是 A. 7 B. 7 C. 7 5 D. 7 6 解析： k=tan 7 =tan（ 7
8、 ）=tan 7 6 且 7 6 0，）. 答案： D 2.过两点（ 1，1）和（ 3，9）的直线在x 轴上的截距是 A. 2 3 B. 3 2 C. 5 2 D.2 解析：求出过（1， 1） 、 （3，9）两点的直线方程，令y=0 即得 . 答案： A 3.直线 xcos3y20 的倾斜角范围是 A. 6 ， 2 ）（ 2 ， 6 5 B.0， 6 6 5 ，） C.0， 6 5 D. 6 ， 6 5 解析：设直线的倾斜角为， 则 tan= 3 1 cos.又 1cos1， 3 3 tan 3 3 . 0， 6 6 5 ，）. 答案： B 4.直线 y=1 与直线 y= 3x+3 的夹角为
9、_. 解法一： l1：y=1 与 l2：y=3x+3 的斜率分别为k1=0，k2=3.由两直线的夹角公式得 知识就是力量 tan= 21 12 1kk kk =3，所以两直线的夹角为60. 解法二： l1与 l2表示的图象为（如下图所示）y=1 与 x 轴平行， y=3x+3 与 x 轴倾斜角 为 60，所以y=1 与 y= 3x+3 的夹角为 60. O x l l y 2 1 1 3 答案： 60 5.下列四个命题：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0=k（xx0）表示； 经过任意两个不同的点P1（x1，y1） 、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2x1） （xx1）=
10、 （y2 y1） （yy1）表示；不经过原点的直线都可以用方程 a x + b y =1 表示；经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b 表示 .其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：对命题，方程不能表示倾斜角是90的直线，对命题，当直线平行于一 条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.只有正确 . 答案： B 典例剖析 【例 1】 已知 ABC 的三个顶点是A（3，4） 、B（0，3） 、C（ 6，0） ，求它的三条 边所在的直线方程. 剖析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式. 使用时，应根据题目所
11、给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点 B 与 C 的坐标可 知点 B 在 y 轴上，点C 在 x 轴上，于是BC 边所在的直线方程用截距式表示，AB 所在的直 线方程用斜截式的形式表示，AC 所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统 一形式，均化为直线方程的一般式. 解：如下图，因ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为（0，3）和（ 6，0） ，故 B 点在 y 轴上， C 点在 x 轴上，即直线 BC 在 x 轴上的截距为6，在 y 轴上的截距为3， 利用截距式， 直线 BC 的方程为 6 x + 3 y =1， x y O (0,3) (3,-4) (-6,0) A
12、B C 化为一般式为x2y+6=0. 由于 B 点的坐标为（0，3） ，故直线 AB 在 y 轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB 的方程为y=kx+3. 又由顶点A（3， 4）在其上，所以4=3k+3.故 k= 3 7 . 知识就是力量 于是直线AB 的方程为y= 3 7 x+3，化为一般式为7x+3y 9=0. 由 A（3， 4） 、C（ 6，0） ， 得直线 AC 的斜率 kAC= )6(3 04 = 9 4 . 利用点斜式得直线AC 的方程为 y0= 9 4 （x+6） ， 化为一般式为4x+9y+24=0. 也可用两点式，得直线AC 的方程为 04 0y = )6(3 )6(x ，
13、 再化简即可 . 评述：本题考查了求直线方程的基本方法. 【例 2】 已知两直线a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为P（2，3） ，求过两点Q1（a1， b1） 、Q2（a2， b2） （a1a2）的直线方程 . 剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答. 解： P（2， 3）在已知直线上， 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0. 2（a1 a2）+3（b1b2）=0，即 21 21 aa bb = 3 2 . 所求直线方程为yb1= 3 2 （xa1） . 2x+3y（ 2a1+3b1）=0，即 2x+3y+1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方
14、法巧妙. 思考讨论 依“两点确定一直线” ，那么你又有新的解法吗？ 提示：由 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0， 知 Q1、Q2在直线 2x+3y+1=0 上. 【例 3】一条直线经过点P（3，2） ，并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x4y+3=0 的倾斜角的2 倍； （2）与 x、y 轴的正半轴交于A、B 两点，且 AOB 的面积最小（ O 为坐标原点）. 剖析： （2）将面积看作截距a、b 的函数，求函数的最小值即可. 解： （1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则 2 ，且 tan 4 1 ， tantan2 15 8 ， 从而方程为8x15
15、y+6=0. 知识就是力量 （2）设直线方程为 a x b y 1，a0，b0，代入 P（3，2） ，得 a 3 b 2 12 ab 6 ， 得 ab24， 从而 SAOB 2 1 ab 12， 此时 a 3 b 2 ， k a b 3 2 . 方程为2x+3y12=0. 评述：此题（2）也可以转化成关于a 或 b 的一元函数后再求其最小值. 深化拓展 若求 |PA|2 |PB|及|OA|+|OB|的最小值，又该怎么解呢？ 提示：可类似第（ 2）问求解 . 闯关训练 夯实基础 1.直线 x2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么 k 的范围是 A.k 1 B.k1 C.1k1
16、 且 k0 D.k 1 或 k1 解析：令x=0，得 y=k；令 y=0，得 x=2k.三角形面积S= 2 1 xy=k 2 . 又 S1，即 k 21， 1k1. 又 k=0 时不合题意，故选C. 答案： C 2.（2004 年湖南， 2）设直线ax+by+c=0 的倾斜角为，且 sin+cos=0，则 a、b 满足 A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=0 解析： 0 180，又 sin+cos=0，=135， a b=0. 答案： D 3. （2004 年春季北京） 直线 x3y+a=0 （a 为实常数） 的倾斜角的大小是_. 解析： k= 3 3 ，即 tan= 3
17、3 . =30. 答案： 30 4.（2005 年北京东城区目标检测）已知直线l1：x2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1 为_（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（ 1， 1） ，并且l2的方向向量 a2与 a1满足 a12 a2=0，则 l2的方程为 _. 解析：由方向向量定义即得a1为（ 2，1）或（ 1， 2 1 ）. a12 a2=0，即 a1 a2. 也就是 l1l2，即 k12 k2=1. 知识就是力量 再由点斜式可得l2的方程为2x+y3=0. 答案： （2，1）或（ 1， 2 1 ）2x+y3=0 5.已知直线 l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直
18、线l 的方程 . 解法一：设所求直线l 的方程为 y=kx+b. k6，方程为y=6x+b. 令 x=0， y=b，与 y 轴的交点为（ 0，b） ； 令 y=0， x= 6 b ，与 x 轴的交点为（ 6 b ，0）. 根据勾股定理得（ 6 b ） 2b237， b 6.因此直线 l 的方程为y=6x6 解法二：设所求直线为 a x + b y =1，则与 x 轴、 y 轴的交点分别为（a，0） 、 （0，b）. 由勾股定理知a 2b237. 又 k= a b =6， a 2b237， a b =6. a1，a 1， b 6 b6. 因此所求直线l 的方程为x+ 6 y =1 或 x+ 6
19、y =1，即 6xy60 6.在 ABC 中，已知点A（5， 2） 、B（7，3） ，且边 AC 的中点 M 在 y 轴上，边BC 的中点 N 在 x 轴上 . （1）求点 C 的坐标； （2）求直线MN 的方程 . 解： （1）设点C（x， y） ，由题意得 2 5x =0， 2 3y =0，得x=5，y=3.故所求点C 的坐标是（ 5， 3）. （2） 点 M 的坐标是（0， 2 5 ） ， 点 N 的坐标是（1， 0） ， 直线 MN 的方程是 0 2 5 0y = 10 1x ， 即 5x2y5=0. 培养能力 7.某房地产公司要在荒地ABCDE （如下图）上划出一块长方形地面（不改变
20、方位）建 造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m 2） 60m 8 0m 100m 70m A BC DE 或 解此方程组可得 知识就是力量 解：如下图，在线段AB 上任取一点P， 分别向 CD、DE 作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则 AB 的 方程为 30 x + 20 y =1.设 P（x，20 3 2 x） ，则长方形面积S=（100 x） 80（ 20 3 2 x） （0x30）. x y 60m80m 100m 70m A BC DE P O 化简得 S= 3 2 x 2 + 3 20 x+6000（0x30） .
21、 配方，易得x=5， y= 3 50 时， S最大，其最大值为6017 m 2. 8.（文）已知点P（1， 1） ，直线 l 的方程为2x2y+1=0.求经过点P，且倾斜角为 直线 l 的倾斜角一半的直线方程. 解： 设直线 l 的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为 2 ， 由已知直线l 的斜率为 tan= 2 2 及公式 tan= 2 tan1 2 tan2 2 ，得 tan 2 2 +222 tan 2 1=0. 解得 tan 2 =32或 tan 2 =32. 由于 tan= 2 2 ，而 00. 于是所求直线的斜率为k=tan 2 =32. 故所求的直线方程为y（ 1）=（32） （x
22、1） ， 即（ 32）xy（32+1）=0. （理）设直线l 的方程是2x+By1=0，倾斜角为 . （1）试将 表示为 B 的函数； （2）若 6 3 2 ，试求 B 的取值范围； （3）若 B（，2）（ 1，+） ，求 的取值范围 . 解： （1）若 B=0，则直线 l 的方程是2x1=0， = 2 ； 若 B0，则方程即为y= B 2 x+ B 1 ， 知识就是力量 当 B0 时， B 2 0，=arctan（ B 2 ） ， 而当 B0 时， B 2 0，= +arctan（ B 2 ） ， arctan B 2 （B0） ， 2 （B=0） ， arctan B 2 （B0）. （2
23、）若 = 2 ，则 B=0， 若 2 ，则 tan 3或 tan 3 3 ， 即 B 2 3（ B 0）或 B 2 3 3 （B0） ， 2 3 B0 或 0B 3 2 3. 综上，知 2 3B 3 2 3. （3）若 B 2，则 B 2 1， 0tan1，0 4 ； 若 B1，则 B 2 2， 0tan 2，arctan2. 综上，知 arctan2 或 0 4 . 探究创新 9.某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题， 市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B 两点，使环城公 路在 A、B 间为线段，要求AB 环城路段与中心O
24、的距离为 10 km ，且使 A、B 间的距离 |AB| 最小，请你确定A、B 两点的最佳位置（不要求作近似计算）. 解：以 O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立如下图 所示的坐标系 . x y O A B 东 南 西 北 设 A（ a，0） 、B（b，b） （其中 a0， b0） ， 则 AB 的方程为 0 0 b y = ab ax ， 即 =f（B）= 知识就是力量 即 bx（ a+b）y+ab=0. 10= 22 )( | bab ab ， a 2 b 2 =100（a 2+2b2 +2ab） 100（2 22 2ba+2ab） =200（1+2）ab.
25、 ab0， ab200（2+1）. 当且仅当“ a 2=2b2”时等号成立， 而|AB|= 22 )(bab= 10 ab ， |AB|20（2+1）. a 2 =2b 2， ab=10abab22 22 ， a=10)22(2， b=1022 此时 |OA|=a=10)22(2， |OB|=10)22(2， A、 B 两点的最佳位置是离市中心O 均为 10)22(2km 处 . 思悟小结 直线的倾斜角、 斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理 解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用 范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程
26、问题用数形结合法常常简捷些. 教师下载中心 教学点睛 1.注意斜率和倾斜角的区别，让学生了解斜率的图象. 2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜 式是最基本的， 其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义， 但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解. 3.如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程是本节的主要问题；通用的解决方 法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局 限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合. 拓展题例 当 即 时，|AB|
27、取最小值， 知识就是力量 【例 1】 在直线方程y=kx+b 中，当 x 3，4时， y 8，13 ，求此直线方程. 解：当 x 的区间的左端点与y 的区间的左端点对应，x 的区间的右端点与y 的区间的右 端点对应时，得 3k+b=8， 4k+b=13， k=3， b=1， 直线方程为y=3x+1. 当 x 的区间的左端点与y 的区间的右端点对应，x 的区间右端点与y 的区间的左端点对 应时，得 3k+b=13， 4k+b=8， k=3， b=4. 所求的直线方程为y= 3x+4. 【例 2】已知两点 A（ 1，2） 、B（m，3）. （1）求直线AB 的斜率 k 与倾斜角 ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 3 3 1，3 1 ，求直线AB 的倾斜角 的取值范围 解： （1）当 m=1 时，直线 AB 的斜率不存在，倾斜角 2 当 m 1 时，k 1 1 m ， 当 m 1 时， arctan 1 1 m ， 当 m 1 时， arctan 1 1 m （2）当 m= 1 时， AB：x=1， 当 m1 时， AB：y2= 1 1 m （x+1） （3）1当 m=1 时， 2 ； 2当 m 1 时， k 1 1 m （， 3 3 3 ，）， 6 ， 2 ）（ 2 ， 3 2 . 故综合 1、 2得，直线AB 的倾斜角 6 ， 3 2 . 得 解得