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1、1 重点中学入学模拟试题及分析二十五 24.著名的数学家斯蒂芬巴纳赫于 1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该 年份的算术平方根( 该年的年份是他该年年龄的平方数). 则他出生的年份是 _ ， 他去世时的年龄是 _ . 【答案】 1892年;53 岁。 【解】首先找出在小于1945，大于 1845的完全平方数，有1936 44 2，1849 432，显然只 有1936符合实际，所以斯蒂芬巴纳赫在 1936年为 44岁 那么他出生的年份为1936441892年 他去世的年龄为19451892 53岁 【提示】要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份
2、年龄出生年份。 36.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 _ 人 报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同. 【答案】 46 【解】十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有 2 10 C 45种不同的报名方法 那么，由抽屉原理知为 45+1 46人报名时满足题意 37. 43.如图， ABCD 是矩形， BC=6cm ， AB=10cm ，AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以CD 为轴旋 转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（ =3.14 ） 【答案】 565.2 立方厘米 【解】设三角形BOC 以CD 为轴旋转一周所
3、得到的立体的体积是S， S 等于高为 10厘米，底面半 径是 6厘米的圆锥的体积减去2个高为 5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为 5 厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即： 2 S= 1 36 210-2 1 33 2 5 =90 ， 2S=180=565.2 （立方厘米） 【提示】 S也可以看做一个高为5厘米，上、 下底面半径是 3、6厘米的圆台的体积减去一个高 为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。 4如图，点 B是线段 AD的中点，由 A，B ，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若 这些线段的长度的积为10500，则线段 AB 的长度是。 【答案】 5 【解】
4、由 A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB ， AC ，AD ，BC ， BD 和CD ，由于点 B是线段 AD 的中点，可以设线段AB 和BD 的长是 x，AD=2x，因此在乘积中一定有x 3。 对10500做质因数分解： 10500=2 23537， 所以， x=5,ABBD AD=5 32,ACBC CD=2 37, 所以， AC=7 ，BC=2,CD=3,AD=10. 5甲乙两地相距 60公里，自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地. 摩托车比自行车早到4小时， 已知摩托车的速度是自行车的3倍，则摩托车的速度是 _ . 【答案】 30公里 / 小时 【解】记摩托车到达乙地所需时间为“1”，
5、 则自行车所需时间为“ 3”， 有4小时对应“ 3” “1”“ 2”，所以摩托车到乙地所需时间为422小时摩托车的速度为602 30 公里 / 小时 【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想。 6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了 20小时， 去时所用时间是回来的1.5 倍，去 时每小时比回来时慢12公里 . 这辆汽车往返共行驶了 _ 公里 . 【答案】 576 【解】记去时时间为“ 1.5 ”，那么回来的时间为“1” 所以回来时间为20(1.5+1) 8小时，则去时时间为1.5 8 12小时 根据反比关系，往返时间比为1.5 132, 则往返速度为 2： 3, 按
6、比例分配，知道去的速度为12（ 3-2 ） 224（千米） 所以往返路程为24122576（千米）。 7. 有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和. 已知前 两个数是 0和 1，则最后一个数除以6的余数是 _ . 3 【答案】 4 【解】显然我们只关系除以6的余数， 有0，1，3，2，3，1，0，5，3，3，5，0，1，3， 有从第 1数开始，每 12个数对于 6的余数一循环， 因为 7012 5 10， 所以第 70个数除以 6的余数为循环中的第10个数，即 4 【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。 8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个
7、同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说： “这个数是 3的倍数。 ”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”第十四个同学说：“这 个数是 15的倍数。”最后，老师说： “在所有 14个陈述中， 只有两个连续的陈述是错误的。” 老师写出的最小的自然数是。 【答案】 60060 【解】 2，3，4，5，6，7的2倍是 4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7 的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10， 12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意 不符。所以这个数是2，3，4，5， 6，7的倍数。由此推知，这个数也是（25=） 10，（ 3 4=）12，（ 27）14，
8、（ 35=）15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有 8和9是连续的， 所以这个数不是8和9的倍数。 2，3，4，5，6，7，10，11，12， 13，14，15的最小公倍数 是2 2357 1113=60060。 16. 小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打牌， 华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌： 红桃 A，Q ，4 黑桃 J，8，4， 2，7，3，5 草花 K，Q ，9，4，6，lO 方块 A，9 华教授从这 18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉 小李。 然后，华教授问小王和小李，“你们
9、能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌 吗? 小王：“我不知道这张牌。” 小李：“我知道你不知道这张牌。” 小王：“现在我知道这张牌了。” 小李：“我也知道了。” 请问：这张牌是什么牌? 【答案】方块 9。 【解】 小王知道这张牌的点数，小王说： “我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A， Q ，4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。 如果这张牌的点数不是A，Q ，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的 点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李 说：“我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。 现在的问题集中在
10、红桃和方块的5张牌上。 因为小王知道这张牌的点数，小王说： “现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不 是A，否则小王还是判断不出是红桃A还是方块 A。 4 因为小李知道这张牌的花色，小李说：“我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则， 花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q 还是红桃 4。 【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。 10. 从1到100的自然数中， 每次取出 2个数，要使它们的和大于100， 则共有 _ 种取法 . 【答案】 2500 【解】设选有 a、b两个数，且 ab， 当a为1时， b只能为 100，1种取法； 当a为2时， b可以为
11、 99、100， 2种取法； 当a为3时， b可以为 98、99、100，3种取法； 当a为4时， b可以为 97、98、99、100，4种取法； 当a为5时， b可以为 96、97、98、99、100，5种取法； 当a为50时， b可以为 51、52、 53、 99、100，50种取法； 当a为51时， b可以为 52、53、 99、100，49种取法； 当a为52时， b可以为 53、 99、100，48种取法； 当a为99时， b可以为 100，1种取法 所以共有 1+2+3+4+5+49+50+49+48+2+150 22500种取法 【拓展】从 1-100 中，取两个不同的数，使其和
12、是9的倍数，有多少种不同的取法？ 【解】从除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。通过计算，易知除 以9余1的有 12种，余数为 2-8 的为 11种，余数为 0的有 11种，但其中有 11个不满足题意： 如9+9、 18+18，要减掉11。而余数为 1的是 12种，多了 11种。这样，可以看成，1-100 种，每个 数都对应 11种情况。 11 1002=550种。除以 2是因为 1+8和8+1是相同的情况。 14. 已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是 _ 个. 【答案】 6 【解】因为 10 25，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共有 3 3
13、P 6个 12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50，其中 A725， A1 A2 A3A474， A9A3A5A1076，那么 A2与 A5的和是多少？ 5 1 5 3A A4 A 9 A 2 A A 6 A A 10 8 A 7 A 【答案】 25 【解】有A1+A2+A850， A9+A2+A350， A4+A3+A550， A 10+A5+A650， A 7+A8+A650， 于是有 A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6 250， 即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+
14、2A8+ A7250. 有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7250，而三角形 A6A7A8中有 A6+A7+A850，其中 A725，所 以A6+A85025 25. 那么有 A2+A5 25074765025 25. 【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。 其实， 我们看到这样的数阵，第一感觉是看到这里5个50并不表示 10个数之和， 而是 这10个数再加上内圈5个数的和。这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。 再“看问题定方向”，要求第2个数和第 5个数的和， 说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第 8个数的和是 50-25 25, 再看第
15、3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第 9、3、 5、10个数时，重复算到第 3个数， 好戏开演： 74+76+5025+第2个数第 5个数 505 所以第2个数第 5个数 25 13. 下面有三组数 (1) 3 1 2 ，1.5 ， 6 1 12 (2)0.7，1.55 (3) 4 3 ， 2 1 9 ，1.6 ， 20 3 8 从每组数中取出一个数，把取出的三个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的和是 多少？ 【答案】 720 【铺垫】在一个65的方格中，最上面一行依次填写0、1、3、5、7、9；在最左一列依次填 6 写0、2、4、6、8，其余每个格子中的数字等于与他同一行中最左边的数字与同一列中最上 面的数字之和。问：依次填满数字以后，这30个数字之和是多少？ 【解】思路同原题。（2+4+6+8） 6+（1+3+5+7+9） 5=245 因为原题较复杂，也可先讲此题，然后再讲原题。 【解】 20 3 86.1 2 1 9 4 3 55.17. 0 6 1 125.1 3 1 2 162.25 20720 【提示】 推导这部分内容，可别忘了帮学生复习一下求一个数所有约数和的公式。融会贯通 的机会来了。