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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1、已知集合 则【解析】本题考查了集合的概念和运算，是B级要求，容易题。由集合的交集意义得。集合复习时要围绕概念及运算加强理解，适当把集合和方程、不等式等结合。.答案：2、函数的单调增区间是_【解析】本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质，是B级要求，容易题。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。令，则，函数 和都是增函数，在定义域上为增函数。，所以原函数的单调增区间为答案：3、设复数i满足（i
2、是虚数单位），则的实部是_【解析】本题考查了复数的运算和复数的概念，是B级要求，容易题。要熟练掌握复数的概念和运算，复数的几何意义也要了解。由得，实部为1.答案：14、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是_【解析】本题考查了算法的有关概念和算法中的基本算法语句，是A级要求，容易题。08、09和10年都考查了算法流程图，今年考查的基本算法语句与算法流程图都是算法中的基本内容。算法常与函数、方程、不等式和数列结合考查，要熟知基本的算法语句和流程图。根据伪代码可知该程序是求输入的两个实数中的最大者，显然为3。答案：35、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个
3、数是另一个的两倍的概率是_答案：【解析】本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是B级要求，容易题。要熟知概率的概念和古典概型及几何概型的特征及计算方法。从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有种取法，则其中一个数是另一个的两倍，有（1,2），（2,4）两种取法，所以所求概率为。答案：6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差【解析】本题考查了统计中方差的概念和计算，是B级要求，容易题。要熟练掌握统计的相关计算和有关特征数的意义和作用。，。答案：7、已知 则的值为_【解析】本题考查了三角函数的和差倍计算，是B、C级要求,中档题。两角和与差的正、余弦和
4、正切是高考的重点内容，二倍角也是较重要的考试内容，要熟练掌握公式应用和最常见的变形，且能根据问题特点选用相关的形式。答案：8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【解析】本题考查了函数的图象及性质的应用，是B级要求,中档题。直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段长的最小，最小值为4；或设直线为，由方程组解得两点的坐标，再由两点间的距离公式得，此法相对计算量较大，不如利用图象和性质快捷。合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法。要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题。答案：49、函数是常数，的部
5、分图象如图所示，则【解析】本题考查了三角函数的图象及性质的应用，是A级要求, 中档题。正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质是B级要求，函数的图象和性质是A级要求,这些都是三角函数的重要内容，要熟练掌握、灵活应用。对于三角函数的图象要能发现相关信息，恰当应用。由图可知：则由，得，故答案：10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 【解析】本题考查了平面向量的概念和数量积的意义，是C级要求, 中档题。单位向量及向量的夹角都是向量的基本内容，向量的线性运算及平面向量基本定理都是向量的重要内容，要熟练掌握，平面向量的数量积是解决平面上与长度和角度有关的问题的重要方法，要有意识地应用。，答案
6、：11、已知实数，函数，若，则a的值为_【解析】本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A级要求， 中档题。本题只要根据题意对分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错。要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识。当时，f(1-a)=f(1+a)等价于2（1-a）+a=-(1+a)-2a,解得，舍去。当时，f(1-a)=f(1+a)等价于 -（1-a）-2a=2(1+a)+a,解得。答案：12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【解析】
7、本题考查了函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值，是B级要求；直线方程的求法，C级要求，是中档题。要充分利用导数的特点，正确求导、计算，得出正确的结果。设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，。答案：13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【解析】本题考查了等差数列、等比数列的意义和性质，是C级要求，中档题。正确利用条件得出数列中各项的关系，列出不等式组是解题的关键。由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。答案：14、设集合, , 若 则实数m的取值范围是 。【解析】本题考查了集合、曲线方程和不等式及二元不等式表示的区域等内容，是多
8、个B级要求考点的综合,难题。解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数的取值范围的相关条件。由得，所以或。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为答案：二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.【思路分析】（1）所给三角方程中未知量只有角A，只需将左端利用两角和的
9、正弦公式展开，与右端合并同名同角函数后，可得到，又A为三角形的内角，得A。（2）解三角形一般是利用正弦定理，余弦定理进行三角形的三角、三边关系的转化，依据题设条件，本小题可由余弦定理得到，再应用正弦定理及同角三角函数的基本关系求解。解析：（1）（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【思路分析】（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，由三角形的中位线性质可得EF/PD，由正弦与平面平行的判定定理即可证明；
10、（2）题设条件给出平面PAD平面ABCD，必然要考虑平面与平面垂直的性质定理，又结合为等边三角形，故,由平面与平面垂直的判定定理本小题即可得证。解析：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，又直线EF平面PCD（2） F是AD的中点，又平面PAD平面ABCD，所以，平面BEF平面PAD。17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最
11、大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。P【思路分析】（1）包装盒的侧面积就是四个全等的矩形的面积之和，其长（即包装盒的底面边长）为，宽（即包装盒的高）为，这样包装盒的侧面积S就用x表示出来了，是关于x的一元二次函数，要根据自变量x的实际意义求出其取值范围是本小题容易被忽视的，应引起注意；（2）由（1）包装盒的底面边长和高都已经表达出来，所以其体积也就容易表示了，由于是关x的三次函数，需要利用导数求解。由导函数得到增区间，得到减区间，利用极值的定义得到极大值即最值。解析：（1）（0x0，求证：PAPB【思路分析】（1
12、）直线PA平分线段MN即MN的中点在直线PA，又由于M,N的坐标都容易求出，从而MN的中点可以得到，且直线PA过坐标原点，利用两点斜率公式即可求出K；（2）当k=2时，直线PA的方程为，与椭圆的方程联立可求出点P,A的坐标，进而求出点C的坐标，由两点式可得直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式计算出点P到直线AB的距离d；（3）思路一：由于点P,A关于原点对称，由直线PA的方程与椭圆的方程联立可以容易点P,A的坐标，再得到点C的坐标，表示出直线AC的方程，与椭圆的方程联立可解出点B的坐标，利用斜率公式表示出PA和PB的斜率之积为-1.当然这种方法的运算量较大，需要细心；思路二：采用设点而不求
13、点的方法。设，则，并注意点都在椭圆上，有，利用两点斜率公式表示出PA和PB的斜率之积，可推出.解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以（2）由得，AC方程：即：所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,两式相减得：,19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b
14、|的最大值。【思路分析】（1）由于a0，求出在上恒成立，从而只需在上恒成立，即恒成立，由恒成立问题的最值法即得；（2）首先确定b的符号，由得，当时，不符合题意，故。又易得，当时，故有且，从而，。解析：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：综上可知，。20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数
15、列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立。（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式。【思路分析】（1）由于M=1，, , 对任意，即，=2，从而得到。（2）当nk时，且，两式相减得，所以当时，有，且，然后通过变形整理得数列为等差数列。【解后反思】 将数列an看成三个等差数列a 3 n -1、a 3n、a 3n + 1合成的数列（增加一项a1），利用“数列bn为等差数列”“前n项之和Tn可表示为an2 + bn”，可以避免求出公差d的“漫长”过程。 定义S0 = 0，则an = Sn - Sn -1对任意nN*都适用，从而又避免了对n = 1和n2的分类
16、讨论。由此可得如下妙解：Sn + 3 + Sn -3 = 2(Sn+ S3), Sn + 4+ Sn -2 = 2(Sn + 1+ S3)an + 4 + an -2 = 2an + 1(n4)数列a3n -1、a3n、a3n + 1(n1)都是等差数列Sn- a1为三个等差数列前若干项之和的和Sn = an2 + bn + c（a、b、c为常数）；S1 = a1, Sn + 3 + Sn - 3 =2(Sn+ S3), Sn + 4 + Sn - 4=2(Sn+ S4) a + b + c = 1, 3b + c = 0, 4b + c = 0a = 1, b = c = 0Sn = n2
17、an = Sn - Sn - 1（S0 = 0）= n2 -（n -1）2 = 2n -1.解析：（1）即：所以，n1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：绝密启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过
18、程或演算步骤.A 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点（不在上），求证：为定值。证明：由弦切角定理可得B 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，向量，求向量，使得设，由得：，C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。解析：椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：解析：原不等式等价于：，解集为【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22. （本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。解析：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),面MDN的法向量，设面A1DN的法向量为，则取即(1)由题意：取（2）由题意：即取版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()第 14 页 共 14 页