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1、等比数列的前n项和一、教学目标1知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，能运用基本概念和公式解决简单问题，发展学生的思维能力.2过程与方法：经历等比数列的前n项和公式的探究与推导过程，掌握类比和错位相减的数学方法，体会从特殊到一般及分类讨论的数学思想.3情感、态度和价值观：通过引例的求解及等比数列的前n项和公式的推导过程，激发学生学习数学的积极性，养成自主探索，合作交流的习惯，培养遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.二、重点与难点1重点：等比数列的前n项和公式的推导、掌握与运用.2难点：等比数列的前n项和公式的推导.三、教学准备1教师：课件.2学生：计算器.四、教学程序1创设情境，由具体
2、实例引入新课；2结合引例，探究推导公式的方法；3自主或合作探究等比数列的前n项和公式；4应用相关概念和公式，解决简单问题.五、教学过程1谁赚的钱多.在一个月（30天）中，甲乙两位老板赚钱情况如下：甲第一天赚1万元，第二天赚2万元以后每天比前一天多赚一万元.而乙第一天赚1分钱，第二天赚2分钱，第三天赚4分钱以后每天赚的钱数是前一天的两倍.问：在这一个月内，甲乙两位老板谁赚的钱多？设计意图：通过学生身边实际生活事例的引入，以激起学生的好奇心理，从而调动学生学习本节课的积极性.师生活动：【教师】提出问题：在一个月（30天）中，甲老板赚的钱数用数学式子怎么表示？乙老板呢？最后的计算结果呢？【学生】阅读
3、课件内容，自主或合作探究解决问题的办法.【教师】有同学计算出：在一个月（30天）中，甲老板赚的钱数是1+2+3+30=30（1+30）/2=465，即总共赚钱465万元，而乙老板赚的钱数是1+2+4+8+=？算不出来了！让我来告诉你吧：乙老板赚的钱数是2-1，请同学们用计算器计算一下这个数是多少？（1073741823！即乙老板总共赚钱1073741823分=10737418.23元）【学生】思考，运算，比较，出人意外，颇感惊奇！【师生】体会指数函数爆炸性增长的巨大威力！【教师】你们知道我是怎么算出乙老板赚的钱数是2-1的吗？让我们来观察乙老板在一个月（30天）中赚的钱数：1，2，4，8，2构
4、成一个什么数列？此数列的首项，公比，项数分别是多少？【学生】等比数列！首项是1，公比是2，项数是30.2S30=1+2+22+23+229=？设计意图：通过观察此等比数列的特点，启发学生自主（或合作）探究，大胆猜想，找到解决此问题的一个切实可行的办法，为推导一般等比数列的前n项和公式作铺垫.师生活动：【教师】请同学们注意观察等式S30=1+2+22+23+229的右边，因2的次数依次递增，若把这个等式的两边都乘以2，即得到等式2S=2+22+23+229+230.比较所得等式和原等式的右边，你会发现什么？为了求S30，怎么办？【师生】两个等式的右边的项大部分相同！为了求S30，可将两个等式的两
5、端相减，使大部分项抵消掉，从而求出S30来.【教师】我们把等式S30=1+2+22+23+229的两边都乘以2的目的是什么？2在这个数列中扮演什么角色？【学生】2是这个数列的公比，乘以2可使数列的各项变为原数列相应项的2倍.【师生】两端同乘以公比2，使原数列的各项的公比2的次数都增加1.这样，所得等式的右边和原等式的右边就有很多相同的项.如果把这两个等式相减，等式的右边就有许多项可以互相抵消.我们把这种求数列前n项和的方法叫做错位相减法.3推导等比数列的前n项和公式设计意图：学生自主或合作推导等比数列的前n项和公式，让学生经历由特殊到一般的思维过程，养成自主探索与合作交流的习惯，进一步熟练“错
6、位相减法”，领会分类讨论的思想.师生活动：【教师】错位相减法求Sn=a1+a1q+ a1q2+ a1qn-1.【学生】自主（或同桌合作）推导，也可两同学上台板演，教师巡视作个别辅导.【教师】得到等比数列的前n项和公式以后，你能用数列的首项a1，第n项an和项数n来表示Sn吗？如何表示？【学生】自主探究或同桌、邻桌合作交流.【师生】讨论，修正，得到正确答案.4等比数列的前n项和公式的应用范围及注意事项设计意图：加深对等比数列的前n项和公式的理解，明晰运用公式应注意的问题.师生活动：【教师】对于等比数列的相关量a1,an,q,n, Sn,已知几个量，就可以求出其他几个量？根据q的大小，为了计算方便
7、，使用等比数列的前n项和公式应注意些什么？【学生】讨论交流，形成共识.【师生】对于前者，“知三求二”！对于后者，当q1时，使用原求和公式Sn=a1(1-qn)/(1-q) 即可；当q1时，把原求和公式的分子与分母同乘以-1，得到Sn= a1 (qn -1)/(q-1)，再使用，就比较简便了.5等比数列的前n项和公式的应用练习:(1)已知在等比数列中，a=2, =1/8,q0,求；(2)求和：.设计意图：继续加深对等比数列的前n项和公式及通项公式的记忆,理解和运用，体会数列与方程之间的联系，初步掌握分组求和的方法，发展学生的思维能力.师生活动：【教师】点拨：第(1)小题，先求出公比q；第(2)小
8、题，去掉括号，有发现吗？【学生】自主求解，也可和同桌或邻桌讨论交流.【师生】校对结果，并归纳解题思路，方法及注意点，探讨一题多解与一题多变.例题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？设计意图：进一步深化对等比数列的前n项和公式的理解与运用，体会数列与方程之间的联系，培养学生运用相关知识解实际问题的能力，领会转化与方程的思想.师生活动：【教师】点拨：这首古诗向我们展示了一幅美丽的夜景，同时，也向我们提出了一个智慧的问题！把它转化为等比数列问题是怎样的？根据条件，应选择哪一个求和公式求和？如何求解？【学生】自主思考，也可和同桌或邻桌交流.还可以让两同学上台合作求解！【师
9、生】讨论，订正，校对结果，归纳解题思路、方法、思想和应注意的问题.6.小结这节课，你探究发现了哪几个公式？尝试了哪几种方法？实践了哪几种数学思想？你最大的收获是什么？设计意图：丰富和充实学生的认知结构，使学生对本节课的所学有一个比较清晰的梳理和反思，进一步深化所学知识的理解与记忆，从而养成反思的习惯，培养反思能力.师生活动：【学生】讨论，归纳，总结.【师生】订正，补充，得出结果.7.作业(1) 必做题：教科书第61页习题A组第1,2,3,4(1)(2)题.(2) 选做题： 用其他方法推导等比数列的前n项和公式（提示：可利用等比数列的定义和比例的性质推导）；求和：(x+)+(x+)+(x+)+ +(x+).(x,y0)设计意图：对不同基础的学生，作业也有不同的要求，符合因材施教的原则.8.板书设计2.5 等比数列的前n项和（第一课时）1引例2S=a+aq+aq+aq.(1)当q1时，S =a(1-q)/(1-q)=(a-aq)/(1-q)；(2)当q=1时，Sn=na.3. 练习(1)(2)4. 例题 设计意图：便于学生梳理与反思本节课所学内容，优化知识链条，充实认知结构. 5 / 5