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1、1 与轴对称相关的线段之和最短问题 我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，每当我们看到这样的题型，同学们从今往 后就要高兴了，因为我把它们出现的模型整理如下。 首先来看下这几个数学模型： 模型 1：两点之间线段最短。 要在 l 找点 P，使得 PA+PB 最短，这模型最简单，两点之间线段最短。 模型 2：将军饮马问题。 在 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短，作对称。其中BA 就是最短的值 模型 3：两动点找三角形周长最小 在 OA，OB 上找点 M、N，使得 PMN 周长最小，把P 关于 OA ，OB 分别作对称，然后连 接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P P， 2
2、模型 4：两动点加垂线段最短， 在 OA 上找一点M，使得 M 到 OB 的距离与M 到 P 的距离之和最短。作 P关于 OA 的对称 点，然后在对称点P 上作 OB 的垂线，交点即为所求，P N 就是最短值。 模型 4：如图，点P ，Q为 MON 内的两点，分别在OM ，ON上作点 A，B。使四边形PAQB 的 周长最小。 总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？ 好吧！我们看看下面这些例题该怎样套上我们的模型！ 题型 1：直线类 例题 1如图， A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC 10 千米， BD 30 千米，且 CD 30 千米，现在要在河边建一
3、自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为 每千米 3 万，请你在河流CD上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费 用是多少？ 作点 B 关于直线CD的对称点B ，连接AB，交 CD 于点 M 则 AM+BM = AM+BM = AB，水厂建在M点时，费用 最小 如右图，在直角ABE 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 M EB C D A B 3 EB = 30 所以： AB = 50 总费用为： 503 = 150万 例题 2求代数式x 2 + 1 + (4-x) 2 + 4 （0x 4）的最小值 如右图， AE的长就是这个代数式的最小值 在直角 AEF
4、中 AF = 3 EF = 4 则 AE = 5 所以，这个代数式的最小值是5 题型 2：角类 例题 3如图 AOB = 45， P 是 AOB内一点， PO = 10 ，Q 、P分别是 OA 、OB上的动点， 求 PQR周长的最小值 分别作点P关于 OA 、OB的对称点P1、P2，连接 P1P2， 交 OA 、OB于点 Q，R ，连接 OP1，OP2， 则 OP = OP1 = OP2 = 10 且 P1OP2 = 90 由勾股定理得P1P2 = 102 题型 3：三角形类 例题 4如图， 等腰 RtABC的直角边长为2， E是斜边 AB的中点， P是 AC边上的一动点， 则 PB+PE的最
5、小值为 即在 AC上作一点P，使 PB+PE最小 作点 B关于 AC的对称点B ，连接 BE，交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PB+PE BE 的长就是PB+PE的最小值 在直角 BEF 中， EF = 1 ，BF = 3 根据勾股定理，BE = 10 例题5如图，在ABC中， AC BC 2， ACB 90， D 是 BC边的中点， E 是 AB边上一动点，则EC ED的最小值 为_。 F P B E 2 1 x 4-x F B D A E C D E R Q P2 P1 A O B P 4 即是在直线AB上作一点E，使 EC+ED 最小 作点 C关于直线AB的对称点C ，
6、连接 DC交 AB于点 E，则线段DC的长就是EC+ED 的最小 值。 在直角 DBC中 DB=1 ，BC=2 ，根据勾股定理可得，DC=5 例题 6如图，在等边ABC中， AB = 6，AD BC ， E是 AC上的一点， M是 AD上的一点，且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值 因为点 C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE ，交 AD于点 M ，则 ME+MD 最小， 过点 B作 BH AC于点 H， 则 EH = AH AE = 3 2 = 1，BH = BC 2 - CH2 = 6 2 - 32 = 3 3 在直角 BHE中， BE = BH 2 + HE2 = (33)
7、 2 + 12 = 2 7 题型 4：正方形类 例题 7如图所示， 正方形 ABCD 的面积为12，ABE是等边三角形， 点 E在正方形 ABCD 内， 在对角线AC上有一点 P，使 PD PE的和最小，则这个最小值为（） A23 B26 C3 D6 即在 AC上求一点P，使 PE+PD 的值最小 点 D 关于直线AC的对称点是点B，连接 BE交 AC于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE 的最小值 BE = AB = 23 例题 8在边长为2 的正方形ABCD中，点 Q为 BC边的中点，点P为对角线AC上一动点， 连接 PB 、PQ ，则 PBQ周长的最小
8、值为_（结果不取 近似值） . 即在 AC上求一点P，使 PB+PQ 的值最小 P E BC DA P Q B C D A D A BC M E H M D A CB E 5 因为点 B关于 AC的对称点是D点，所以连接DQ ，与 AC的交点 P就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故 DQ的长就是PB+PQ 的最小值 在直角 CDQ 中， CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ = 5 题型 5：矩形类 例题 9如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm，E为边 BC上的一个动点， P为 BD上的一个动点，求PC+PD 的最小值
9、； 作点 C关于 BD的对称点C ，过点 C ，作 CBBC ，交 BD 于点 P，则 CE 就是 PE+PC的最小值 直角 BCD中， CH = 20 5 错误！未找到引用源。 直角 BCH中， BH = 85 BCC的面积为： BH CH = 160 所以 CE BC = 2 160 则 CE = 16 题型 6：菱形类 例题 10如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm， ABC=45 ， E为边 BC上的一个动点， P为 BD上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 点 C关于 BD的对称点是点A，过点 A作 AE BC ，交 BD于点 P，则 AE就是 PE+PC的最小值 在等
10、腰 EAB中，求得AE的长为 52 题型 7：直角梯形类 例题 11已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则 当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（） A、 17 17 2 B、17 17 4 C、17 17 8 D、3 作点 A关于 BC的对称点A ，连接 AD，交 BC于点 P 则 AD = PA+PD = PA+PD AD 的长就是PA+PD 的最小值 SAPD = 4 在直角 ABP中， AB = 4 ，BP = 1 根据勾股定理，得AP =17 P A D C B A P E C A D B H P E C DA CB 6
11、所以 AP上的高为： 2 4 17 = 817 17 题型 8：圆类 例题 12已知 O的直径 CD为 4， AOD的度数为60，点 B是AD 的中点，在直径CD上找 一点 P，使 BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 即是在直线CD上作一点P，使 PA+PB的值最小 作点 A关于 CD的对称点A ，连接 AB，交 CD于点 P， 则 AB 的长就是PA+PB的最小值 连接 OA，OB ，则 AOB=90， OA = OB = 4 根据勾股定理，AB = 42 例题 13如图，MN是半径为1 的O的直径，点A在 O上， AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小
12、值为 ( ) A 22 B 2 C 1 D 2 即在 MN上求一点P，使 PA+PB的值最小 作点 A关于 MN的对称点A ，连接 AB，交 MN于点 P， 则点 P就是所要作的点 AB 的长就是PA+PB的最小值 连接 OA、OB ，则 OAB 是等腰直角三角形 所以 AB = 2 题型 9：一次函数类 例题 14在平面直角坐标系中，有A（3， 2） ，B（4， 2）两点，现另取一点C（1，n） ， 当 n =_ 时， AC + BC 的值最小 点 C（1，n） ，说明点C在直线 x=1 上，所以作点A关 于直线 x=1 的对称点A ，连接 AB ，交直线x=1 于点 C，则 AC+BC 的值最小 设直线 AB 的解析式为y=kx+b，则 -2=-k+b 2=4k+b 解得： k = (4/5) b = - (6/5) 所以： y = (4/5)x-(6/5) 当 x = 1时， y = -(2/5) x y 1 2 3 4 1 2 3 4 1234 1 2 3 4 A B A O P A B A D O C P A B A N O M