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1、第 1 页 共 4 页 课堂实录 （一）情景引入 : 师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4 个顶点、 4 个面、 6 条相等的棱，它 是一种特殊的正三棱锥底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四 面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的 计算；（ 3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质. 首先哪位同学上台展示你们小组的成果: （二） 、知识碰闯； 万天平 ( 学生 ): 我们组得到的性质如下： 、它们6 条棱均相等； 、相邻棱的夹角为 0 60；（、这两条性质比较简单就不用证明） 、相对棱的两条
2、异面直线垂直（对棱垂直） 、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为 a 2 2 （以下把正四面体的边长设 为 a）。 P A B C E F 证明：作 PEBC 于 E 点且为 BC 的中点， 连接 AE，如图所式：可证AEBC BC面 PAEBCPA即对棱互相 垂直 证明：因为E、F 为 BC 与 PA 的中点连接EF 如图所式：可证PE=AE=a 2 3 ，F 为 PA 的中点EF PA ，同理可证EFBC ；所以 EF为 PA ，BC的公垂线。 PE=a 2 3 ，PF=a 2 1 由勾股定理可得EF=a 2 2 （运用了线与面垂直的判定定理和性质定理） 第 2 页 共 4 页 、相邻的两个
3、面的二面角相等且余弦值为 3 1 、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为 3 3 容易知道侧棱与底面所成的角相等，PAO为 PA与底面 ABC所成的角。可求AO= 3 a3 ， PA=a ，PO 面 ABC即 PO AO ；在 R t PAO中,cos PAO= 3 3 PO AO 、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。 （由于时间关系，同学们下来做）例1：已知 S-ABC为正四面体，且E、F、G 、 H分别为四 面体的四个面的中心；（1） 、求证：四面体EFGH 为正四面体； （2） 、求 ABCSFHGE S: 表表 S （3） 、求 ABCSFHGE V:V 廖红菊
4、（学生） ：我们组得到的性质是： 、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 4 6 R P A B C E F O 由射影面积法： 3 1 S S 3 1 S S S PAB ABC PAB AOB 侧 面 射 影 S cos 分别取 BC 、PA的中点 D 、E，连结 DE ， 则 DE为 PA 、BC的公垂线段，且与高 1 PO 的交点 O是外接球的球心，连结AO 、 AD 。 第 3 页 共 4 页 在中，由于,a 2 3 ADa 2 1 AE可得a 2 2 DE，所以 a 4 2 EO，于是外接球的半径a 4 6 EOAEAOR 22 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得
5、到什么样的结论？ 廖红菊：（思考片刻）可以算出 1 PO长度。 1 PO=a 3 6 师：对也就得到顶点到底面的距离为a 3 6 ；请问正四面体内任意一点到四个面的 距离为多少？（培养学生的空间想象能力及猜想能力） 学：为一个定值。 师：这个定值是多少？ （思考片刻后） 几个学生：为a 3 6 。 师 ：正四面体内任意一点到四个面的距离为一个定值且为a 3 6 师：其实求 正四面体的外接球的半径与正四面体棱长关系除了用刚才这位同学的证明 方法外， 还可以用 补形的方法 更简单： 把正四面体补成一个正方体，正四面体的边长为正方 体面对角线，而球的直径为正方体的体对角线。也就求出外接球的半径。 （
6、学生恍然大悟后）老师：既然有外接球那么就有, 学：内切球。 师：内切球的半径为多少？（环视班级，看没有同学上来讲） 师：设内切球的半径为r ，球心为 1 O，) PACPABPBCABCABCP SSSr(S 3 1 V SSSS PACPABPBCABC 第 4 页 共 4 页 a 12 6 r ABCABCABCABCP r4S 3 1 aS 3 6 3 1 r4S 3 1 V 在这个证明过程用了什么方法？ 学： 等体积法 ； 既第九个性质：、正四面体的内切球的半径与正四面体棱长的关系是：a 12 6 r 谢朝培（学生）：我们组得到的性质是： 、正四面体的表面积S= 2 a3；正四面体的体积V= 3 a 12 3 ； 顶点到底面 的距离为a 3 6 ； 、正四面体的体积等于相应正方体体积的 3 1 ；正四面体的高等于相应正 方体体对角线的 3 2 。 师 ： 正四面体与正方体是立体几何中较特殊内涵较丰富的几何体且二者有着 密切不可分的联系。我们在解题时要运用二者的特殊关系，就会达到“山穷水复疑无路，柳 岸花明又一村”的效果。下课了，请同学们对这11 条正四面体的性质下来认真消化。