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1、方程的根与函数的零点 一、教材地位和作用 本节课是普通高中实验教科书人教A 版必修 1 第三章第一单元 第一节，是后继学习二分法的理论准备。学生通过了解函数零点与方 程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。 作为函数应用的第一课时， 就是要让学生认识到函数与其他数学 知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”， 深刻体会“以形助数”的思想方法 二、学情分析 （1）知识基础： 学生已经熟练掌握一次、 二次方程的求解方法， 掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息， 这是学习本节课的知识基础。 （2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受
2、挫是学生 学习本节课的内在动机。 三、教学目标 1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的 存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念 及零点存在的判定方法。 2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方 程思想，数形结合思想以及化归思想； 把从特殊函数零点存在的判定 方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。 3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽” ，到研究函数零 点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。 四、教学重点、难点与关键 （1）重点：零点存在定理的发现。 （2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。 （3）关
3、键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。 五、教法与学法 （一）教法设计： 本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题 情景师生共同探究形成概念结论应用巩固提高”的探究 模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力 （二）学法指导： 让学生在自主探究中， 学会发现问题并解决问题， 逐步形成敢于 发现、敢于质疑的科学态度。 六、教学过程 教学 过程 教 学 内 容师生互动理论依据及设计意图 创 设 情 境 揭 示 课 题 1、 问题一： （1）解方程230x； （2）解方程 2 21050xx （3）你能求方程ln260xx的 根吗？ 学生思考 方程 （3） 时，遇到障碍，
4、思路受 阻 发现教学法强调 教师创设问题情境，造 成学生强烈的问题意 识， 激发学生学习的动 机。 通过三个问题引 起认知冲突，寻找到本 节课的知识生长点。 2、史料分析，引导新法： 一次、二次方程，很容易求解， 对于三次、四次方程，在16 世纪， 数学家也找到了求根式解的一般解 法，但直到 19 世纪，阿贝尔、伽罗 瓦等数学家才发现，其实高于四次 以及含有指数对数形式的方程，没 有根式解法，因此对于方程（3）我 们必须另辟蹊径 教学中融入数学 史， 激发学生的学习兴 趣 数学史引导我们 同化不行，则要顺应 3、问题二： 对方程 2 21050xx， 你能说 出方程的根与对应二次函数图象的 关
5、系吗？ 学生给出答案后， 教师总结要点： 2 2 2 1050 2105 0. 2105 xx yxx x yxx x 方程 2的根 函数中函 数值为 的自变量的值 函数的图 象与 轴交点的横坐标 以全新角度审视 二次方程，有助于学生 形成函数的意识，有利 于培养学生思维的发 散性与灵活性，为后面 利用函数图象探究零 点存在性作了铺垫 4、问题三： 一 般 地 ， 一 元 二 次 方 程 2 0axbxc的 根 与 二 次 函 数 2 yaxbxc 的图 象有什 么 关系 呢？ 学生易得： 2 0axbxc方程的根 2 0 yaxbxc x 的函数 值为 时自变量的值 yaxbxc x 函数的
6、图 象与 轴交点的横坐标 从特殊到一般，学 生体验得到升华 师生结合二次 函数图象说出方程根 的个数和图象与x 轴 交点个数的关系 教师指出：函数 值为 0时的自变量 x值 起到了联结方程与函 数的作用，这个数称之 为函数的零点 互 动 交 流 研 讨 1、函数零点的定义： 对 于 函 数( )yf x， 把 使 ( )0fx的实数 x 叫做函数( )yf x 的零点。 教师叙述并板书 定义 让学生加深对函 数零点定义的感知 2、深化概念： 零点不是点，是函数值为0 时自变量x 的值，是函数图象与x 轴交点的横坐标 方程( )0f x有实数根 ( )yfx图象与 x 轴有交点 函数( )yf
7、x有零点； 零点作用：可以通过函数零 点间接研究方程的根 教师设置问题 学生主动思考，积 极回答 加深对函数零点 概念的理解 _ y _ x_ -1_ -2_ 0 _ -1 _ -2 _ 3 _ 2 _ 1 _ 4 _ 4_ 3_ 2_ 1 新 知 3、探 究： 已知函数 y=f(x)的图象： (1)函数有无零点，在什么区间？ (2)你是如何确定零点所在区间的？ (3)能否找到判断函数y=f(x)在区间 (a,b)上有零点的一般方法？ （1）的解答： 学 生 一 般 会 说 区 间 (3,4),(1,0)，教师引 导 观 察 区 间(2,4)， ( 1,4)零点情况，为第 （3）问做铺垫 发现
8、教学法强调 直觉思维，充分利用直 觉思维提出各种有益 于问题解决的可能性 让学生在思考、操 作中体会用函数图象 分析函数零点存在的 过程， 直观感知零点存 在定理中的条件与结 论， 突出本节课的重 点，突破了难点 （2）的解答： 学生发表观点，教 师 引 导 ， 先 以 区 间 (3,4)为例，教师板书 结果。 教师进一步引导 学生就区间 ( 1,0),( 1,4)， (2, 1),(1,2)进行 类 似研究，一一板书结果 为第（ 3）问进一步做 铺垫， 。 x y 42C 平移 （3）的解答： 分析（2）的结果， 学生尝试表达结论： 若 ( )( )0,f af b则( )f x 在( ,
9、)a b内有零点。 教师提问：结论对 本题函数成立，其它函 数呢？给学生留有一 定的时间，学生可能会 举出反例，如 1 y x 在 (1，1)上无零点，想 不出也没关系，教师对 探究题的图象进行截 断向上平移处理，从而 得到反例。使学生发现 我们的结论是有纰漏 的，应该增加条件： 函 数图象连续。 4、零点存在判定定理： 如果函数( )fx在a,b上的图象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 且 有 ( )( )0f af b， 那么( )yf x在区间 ( , )a b内 一 定 有 零 点 ， 即 存 在 ( , )ca b( )0,f cc使这个，也就是 方程( )0f x的根。
10、 学生说，教师组织 语言，表述定理 准确表达判定零 点存在的条件与结论， 进一步突破本节课的 难点 5、问题探究 ，深化 理解： 问题一：零点存在判定定理中 结论是“有零点”，那么有几个？ 问题二：若函数( ), )f xa b在(上 的图象是连续不断的一条曲线， ( )( )0f af b，那么( ), )f xa b在(上 存在零点，反之成立吗？ 问题三：考虑函数 3 23,lgyxyxyx，的图象， 它 们的单调性对函数零点个数有影响 吗？ 激发学生思考与 提问，对于提出的问 题， 教师请学生发表看 法，或画图说明。 对问题一，学生随 手画图，很可能出现有 奇数个这个观点，教师 抓好这个
11、点，反问并让 学生进一步举例， 问题二给出利用 定理探求零点存在的 局限性：即用零点存在 判定定理，并不能求出 所有的零点 问题三说明函数 性质特别是单调性， 对 确定零点个数有重要 作用 完善对定理的认 识， 培养学生学习主动 性和创造性，通过设问 质疑让学生进一步全 面深入地领悟定理的 内容。 应 用 举 例 发 展 思 维 例 1 求函数( )ln26fxxx的零 点个数。 教师引导学生回 到引例中的方程（ 3） ， 教师用零点知识调整 问法，出示例 1。 让学生体会利用 函数零点存在性定理 探寻零点的过程，发现 零点所在区间结果表 达不唯一，为下一节二 分法求方程的近似解 奠定基础 巩
12、 固 训 练 深 化 提 高 1、课本 88 页练习题 1、 （1） （3） 2、课本 88 页练习题 2、 （4） 练习 1 的（3） ：要启 发学生将“ =”右边的 项移至左边，也可将 “=”左右两边的代数 式分别设为函数，画两 个函数图象求交点 2、 先让学生大致描 点， 然后用计算机给出 图象。 归 纳 梳 理 整 体 升 华 请回顾本节课学了哪些内容？ 主要数学思想又有哪些？你还有哪 些收获？ 学生思考回答 教师总结 通过小结，进一步完善 学生的认知结构，从知 识与技能、过程与方 法、 情感三个方面回扣 教学目标。 布 置 作 业 课 堂 延 伸 必做作业： （1）课本 88 页练习
13、 2、 （1） （4） ， 课本 92 页：2 （2） 了解数学史：研读课本选修 3-1 第七讲千古谜题伽罗瓦的解答 选做作业： 你 会 用 哪 些 方 法 探 究 方 程 1 23 x ex的实根或其所在的大致 区间。 分必做和选做，体 现了作业的选择性，让 不同的学生学习不同 的数学， 进一步体现新 教材、新课程的理念， 给学有余力的学生进 行课外提升 设计理念 : 本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“ 创设问题 情景师生共同辨析研讨形成概念结论 应用举例巩固提 高” 的探究模式，教师真正担当学习情境的创设者，学生探究中的引 导者，学生学习中的合作者； 而学生则成为新知识的探索者、 发现者、 建构者，使学生在获得知识的同时，能够掌握学习数学的思维方法、 提升进一步学习新知识的能力。