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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 69 页 35 圆的方程姓名 一、学习内容：必修第三册P100105 二、课标要求： 掌握确定圆的几何要素. 掌握圆的标准方程与一般方程. 三、基础知识 1. 圆的定义 在平面内，到的距离等于的点的叫圆 . 2. 圆的标准方程 22 2 (0)xaybrr，其中为圆心，为半径 . 3. 圆的一般方程 22 0xyDxEyF表示圆的充要条件是， 其中为圆心，为半径 . 4. 点与圆的位置关系 设圆的标准方程为 22 2 xaybr，点 00 (,)M xy. 点在圆上： 22 2 00 _xaybr； 点在圆内： 22 2 00 _xay
2、br； 点在圆外： 22 2 00 _xaybr； 5、确定圆的方程方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r 或 D、E、F 的方程组； （3）解出 a,b,r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程。 注： 1确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r 的方程组， 求 a、b、r 或直接求出圆心（a,b）和半径r. 2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独 立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采
3、用待定系数法。 设所求圆的方程为： 2222 0(40),xyDxEyFDEF由三个条件得到关于D、E、 F 的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F 的值。 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 70 页 3以为直径的两端点的圆的方程为 1212 ()()()()0xxxxyyyy课本 P90 ex 3 注： 在求圆的方程时，常用到圆的以下性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在任一弦的中垂直上； （3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 6/与圆有关的最值问题 1)求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如
4、（1）形如 yb xa 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如taxby的最值问题，可转 化为直线在y 轴上的截距的最值问题；（3）形如 22 ()()xayb的最值问题，可转化为两点间 的距离平方的最值问题。 2)特别要记住下面两个代数式的几何意义： y x 表示点 (x,y)与原点（ 0， 0）连线的直线斜率， 22 xy表示点（ x,y）与原点的距离。 四、基础练习 1（ 2011 辽宁文 13） 已知圆 C 经过 A （5， 1） ， B （1， 3） 两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为. 【答案】 22 (2)10xy 2 （2010 广东理 12）已知圆心在x
5、轴上，半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线x+y=0 相切， 则圆 O 的方程是【答案】 22 (2)2xy 【解析一】设圆心为( ,0)(0)aa，则 22 |10 1| 2 11 a r ，解得2a 【解析二】数形结合. 3(2009 辽宁理 4) 已知圆 C 与直线 xy=0 及 xy4=0 都相切，圆心在直线x+y=0 上，则圆C 的方程为（B ） A. 22 (1)(1)2xyB. 22 (1)(1)2xy C. 22 (1)(1)2xyD. 22 (1)(1)2xy 【解析】圆心在x y0 上,排除 C、D,再结合图象 ,或者验证A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可
6、 . 4.(2010课标理 15)过点 A(4,1) 的圆 C与直线10xy相切于点B(2,1) 则圆 C的方程为 . 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 71 页 【答案】 22 (3)2xy 【解析】BC方程为30xy，AB垂直平分线方程为3x，交点即为圆心(3,0). 5 （2012 陕西理文）已知圆 22 :40Cxyx,l过点(3,0)P的直线 , 则（A ） Al与C相交Bl与C相切 C l与C相离 D 以上三个选项均有可能 【解析】 22 304330, 所以点(3,0)P在圆 C内部 , 故选 A. 6 （2012 重庆文）设 A,B 为直线yx与圆 22
7、 1xy的两个交点 , 则|AB（D ） A1 B2C 3D 2 【解析】 : 直线yx过圆 22 1xy的圆心(0,0)C则|AB2 【考点定位】本题考查圆的性质, 属于基础题 . 7 （2008 山东理 11） 已知圆的方程为 22 680xyxy设该圆过点(3 5)，的最长弦和最短弦 分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（B ） A106B20 6C30 6D406 8（2012 重庆理 10）设平面点集 1 ( , ) ()()0Ax yyxy x ， 22 ( , ) (1)(1)1Bx yxy, 则A B所表示的平面图形的面积为（ D） A 3 4 B 3 5 C 4 7 D
8、 2 9、（2013 重庆理 7）已知圆 22 1: 231Cxy，圆 22 2: 349Cxy， ,M N分别是圆 12 ,C C上的动点，P为x轴上的动点， 则PMPN的最小值为（） A、5 24B、171C、62 2D、17 【答案】：A 10 （ 2008 江苏理18）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数 2 ( )2f xxxb（xR）与两 坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为C （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C的方程； （3）问圆C是否经过定点（其坐标与 b的无关）？请证明你的结论 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 72 页 解：本小题主要考查二次
9、函数图象与性质、圆的方程的求法 （）令x0，得抛物线与y轴交点是（ 0， b） ； 令 2 20fxxxb，由题意b0 且0，解得 b1 且 b0 （）设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF 令y0 得 2 0xDxF这与 2 2xxb0 是同一个方程，故D2，Fb 令x0 得 2 yEy0，此方程有一个根为b，代入得出E b1 所以圆 C 的方程为 22 2(1)0xyxbyb. （）圆 C 必过定点，证明如下： 假设圆 C 过定点 0000 (,)(,)xyxyb不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为 22 00000 2(1)0xyxyby（*） 为使（ * ）式对
10、所有满足1(0)bb的b都成立，必须有 0 10y，结合（ *）式得 22 0000 20xyxy，解得 00 00 02 11 xx yy ， ， 或 ， 经检验知，点(0,1),(2,0)均在圆 C 上，因此圆C 过定点。 11、 求与 x 轴相切，圆心在直线3x-y=0 上，且被直线x-y=0 截得的弦长为2 7的圆的方程。 思路解析： 由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。 解答：（方法一）设所求的圆的方程是 222 ()()xaybr， 则圆心 (a,b)到直线 x-y=0 的距离为 | 2 ab ， 即 22 2()14rab 由于所求的圆与x 轴相切， 2
11、2 rb 又因为所求圆心在直线3x-y=0 上， 3a-b=0 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 73 页 联立，解得a=1,b=3, 2 r=9 或 a=-1,b=-3, 2 r=9. 故所求的圆的方程是： 2222 (1)(3)9(1)(3)9xyxy或 （方法二）设所求的圆的方程是=0，圆心为，半 径为令y=0 ，得=0 ，由圆与x 轴相切，得=0 ， 即 又圆心到直线 x-y=0 的距离为 由已知，得 即= 又圆心在直线 3x-y=0 上， 3D-E=0 联立，解得 D=-1 ，E=-6，F=1 或 D=2，E=6，F=1。 故所求圆的方程是=0 或 12. 点
12、 P（x，y）是圆 22 410xyx上任意一点 . （1）求 P 点到直线3x+4y+12=02）求 y x 的最大值和最小值； （3）求y-x的最大值和最小值；（4）求 22 xy的最大值和最小值。 思路解析： 化x，y满足的关系为 22 (2)3xy理解 y x ，y-x， 22 xy的几何意义 根据几何意义分别求之。 解答：（1）参考： 圆心 C（2，0）到直线3x+4y+12=0 22 324012 18 5 34 d 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案35 圆的方程第 74 页 P 点到直线3x+4y+12=0 d+r= 18 5 +1= 23 5 ，最小值为d-r= 18
13、5 -1= 13 5 （2）法 1、原方程可化为 22 (2)3xy，表示以（ 2， 0）为圆心，3为半径的圆， y x 的 几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 y x =k，即ykx。当直线ykx与圆相切时，斜 率k取最大值或最小值，此时 2 |20 | 3 1 k k ，解得 k=3。 所以 y x 的最大值为3，最小值为3 方法 2 参考解法： 设 k= 1 2 x y 则直线 kx-y-k+2=0 与圆（ x+2）2+y2=1 1 23 2 k k 1. 4 33 k 4 33 , kmax= 4 33 ，kmin= 4 33 （3）法 1、y-x可看作是直线y=x+b 在 y
14、 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时 |20| 3 2 b ，解得26b。所以y-x的最大值为26， 最小值为26。 方法 2 参考解法： 设 t=x-2y, 则直线 x-2y-t=0 与圆（ x+2） 2+y2=1 有公共点 . 22 21 2t 1. -5-2 t 5-2 tmax=5-2，tmin=-2-5. （4） 22 xy表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆 的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 22 (20)(00)2，所以 22 xy 的最大值是 2 (23)74 3， 22 xy的最小值是 2 (23)74 3。