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1、第1 4 卷第1 期 2 0 1 1 年1 月 高等数学研究 S T U D I E S1 NC ( ) L L E G EM A T H E M A T l C S V b l 1 4 N o 1 J a n 2 0 1 1 三角函数有理式积分技巧 魏章志，陈浩 ( 宿州学院数学与统计学院。安徽宿州2 3 4 0 0 0 ) 摘要结合实际例子给出四种处理三角有理式积分的技巧与方法，即利用对称性积分法、递推公式法、组合 积分法、利用留数法 关键词积分；对称性；组合积分；留数 中图分类号 0 1 7 2 2文献标识码A 文章编号 1 0 0 8 一1 3 9 9 ( 2 0 1 1 ) O l
2、0 0 7 7 一0 3 三角函数有理式的积分计算方法与技巧丰富多 彩，一般可以通过万能代换法来求解，但有时化成的 代数有理式的积分非常难求本文介绍几种计算方 法和技巧，利用这些技巧，可以提高对三角有理式的 积分计算能力 1 利用对称性积分 设函数，( z ) 是 一口，口 ( 口 o ) 上的奇函数，则有 I 厂( z ) d z = o 设函数厂( z ) 是 一n ，n ( 口 o ) 上的偶函数，则有 广厂( z ) 如：2 f ：厂( z ) 妇 J aJ 口 将以上的对称性加以推广，可得如下命题 1 2 1 命题l 设函数厂( z ) 在 o ，口 ( ( o ) 上可积，且 厂(
3、 z ) = ，( 口一z ) ， 即函数关于直线z = 昙对称，则有 队z ) 如：2 f 号，( z J OJ O 命题2设函数厂( z ) 在 o ，口 ( 口 o ) 上可积，且 厂( z ) = 一，( 口一z ) ， 即函数关于直线z = 昙反对称，则有 l 厂( z ) 如= o 例1 计算J ：r _ ；兰堑旦 d z 例1 计算J2j 。r 畿d z 解显然有 收稿日期：2 0 0 8 一l l 0 4 I 修改日期1 2 0 1 0 1 1 2 8 基金项目：宿州学院自然科学基金项目( 2 0 0 8 ”k 0 1 ) l 安徽省教育厅 高校优秀青年人才基金项目( 2 0
4、0 9 S Q R Z l 6 9 ) 省级精品 课程( 安徽省教育厅秘高 2 0 0 6 5 3 号) 作者简介：魏章志( 1 9 7 7 一) ，男，安徽桐城人硕士讲师t 从事数学教 育T 作和泛函微分方程研究E m a i l ：w z z h 6 1 0 1 6 3 c o n - ：J ：；娑如+ 专f ：羔如， 而由命题2 ，因为 ( 一号) S i 眦( 玎一一号) S i 岫一) l + c o s 2 z 一 一。1 + c o s 2 ( 7 r ：二j ) ( 工一要) s i 眦 也即j 关于z 一罢反对称，故有 l 十C O S 。z Z f 一害如乩 J 。1 可i
5、 万吡2 所以 ； 。卜我焘d 一 一号a r c t a n c c 。s z ，K = 手 例2 计算J r 忐( 口为任意实数) 解 不妨令z2 号一t ，那么 z = 志一r 志 若记J = r 忐，显然有J = ，又因为 j i 一 l + t a 疗( 专一力 也即再b 一专 - 一C ( 一再杀= 一再三，1 + 舭一1 + t a 开z 关于z 2 号墨对称由命题2 知 - 一志 r 如一r 矗而出= 专_ r ( 志专) 出+ r 卟= 专 万方数据 7 8高等数学研究2 0 1 1 年1 月 2 递推公式法 伟 一 为了计算l ，。( z ) d z ，将其化成与I ( z
6、 ) 妇有 J 口J 4 关的表达式，其中志 1 时， ，= 2 丌i R e s ( 石夏j 而，一古) = j 2 7 r ， 由2 1 当I 乡I l 时， k 2 玎i 胝( 石再南，一p ) = 卫 1 一痧2 。 从而可得 ，2 ，r 卢丌= 丌 以上是对三角函数有理式积分计算的常见的技 巧总结，掌握这些技巧有利于减少积分计算步骤和 复杂程度 参考文献 1 陈纪修於崇华，金路数学分析 M 北京：高等教育出 版社，2 0 0 4 ：3 0 8 3 1 2 2 谢惠民，恽自求数学分析题课讲义 M 北京：高等教育 出版社，2 0 0 3 ：3 2 3 - 3 2 4 3 朱永银。郭文秀组
7、合积分法 M 武汉：华中科技大学出 版社，2 0 0 2 ：1 8 4 龚冬保复变函数典型题 M 西安：西安交通大学出版 社。2 0 0 2 ：1 4 2 1 4 3 T e c h n i q u e so fE V a I u a t i n gD e f i n i t eI n t e g r a l so f R a t i o n a lT r i g o n o m e t r i cF u n c t i o n S W E IZ h a n g z h i ，C H E NH a o ( S c h o o Io fM a t h e m a t j c sa n dS t
8、a t i s t i c s S u z h o uU n j v e r s i t y ，S u z h o u2 3 4 0 0 0 ，P R C ) A b s t r a c t ?T h i sp a p e ri n t r o d u c e sf o u rt e c h n i q u e so fe v a l u a t i n gd e f i n i t ei n t e g r a l so f r a t i o n a l t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s ，n a m e l yi n t e g r a
9、 t i n gb ys y m m e t r y ，b yc o m b i n a t i o n ，b yr e c u r r e n c e ，a n d b yr e s i d u e s K e y w o r d s ：i n t e g r a l ，s y m m e t r y ，c o m b i n a t i o n ，r e s i d u e 万方数据 三角函数有理式积分技巧三角函数有理式积分技巧 作者：魏章志， 陈浩， WEI Zhang-zhi， CHEN Hao 作者单位：宿州学院数学与统计学院,安徽,宿州,234000 刊名： 高等数学研究 英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)：2011,14(1) 参考文献(4条)参考文献(4条) 1.龚冬保 复变函数典型题 2002 2.朱永银;郭文秀 组合积分法 2002 3.谢惠民;恽自求 数学分析题课讲义 2003 4.陈纪修;於崇华;金路 数学分析 2004 本文链接：http:/