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1、轨迹方程经典例题一、 轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程（分=1，与1进行讨论）2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，求AB的中点M的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。 （1）求圆心的的轨迹方程；（2）
2、若点到直线的距离为，求圆的方程。如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,
3、得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上 （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围（2013陕西卷理20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.（1） 求动圆圆心的轨迹的方程；（2） 已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。二、 椭圆类型：3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等
4、于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、 圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内)6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。 （1）求的方
5、程； （2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。（1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。三、 双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆外)定义法：（选修2-1P59例5）点M(,)与定点F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、 抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(,)与定点F(2，0)的距离和
6、它到定直线的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(,)与定点F(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点M的轨迹方程。）（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 （1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率已知三点，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线
7、l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; （四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。1.()已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线2.()设A
8、1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A.B. C.D.二、填空题3.()ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4.()高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.()已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点
9、P的轨迹方程.6.()双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.()已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点
10、Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|
11、=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解：设P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).8.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR
12、|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB当AOB=90时，SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1如
13、图1，中，已知，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是图1 图2 图3 图42如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，则的轨迹方程是3如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是4与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为5如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是几种常见求轨迹方程的方法：1直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例1】（1）求和定圆的圆周的距离等
14、于的动点的轨迹方程；（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹解：（1）设动点，则有或即或故所求动点的轨迹方程为或（2）设弦的中点为，连结，则，化简得：其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：如图，设切圆于，又圆的半径，由已知设，则，即可化为故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为又一动圆过定点，且与定圆相切求动圆圆心的轨迹方程解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图当动圆与定圆外切
15、时，；当动圆与定圆外切时，由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）显然，又，故所以所求的点轨迹方程是：3动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程解：设点，且设点，则有点是线段的中点由中点坐标公式得：，将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程它是一条抛物线4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参
16、数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根，即由和得：由弦长公式得：即由得：，双曲线的方程是5参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交
17、抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程解：设，：，中点为，与联立得：，为中点，消得：巩固练习：1平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线2已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（）（A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线3已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线4一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线5已知椭圆的焦点是、是椭圆上的一个动点如果延
18、长到，使得，那么动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线6已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线7与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（A）（B）和（C） （D）和8过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）9过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）10已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）11与双曲线有共同的渐近线，且经过点的
19、双曲线方程是（）（A）（B）（C）（D）12设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是13已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为14倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程16已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程是17已知是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程18如图，直线：与直线：之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为（1）分别用不等式组表示和；（2）若区域中的动点到，的距离之积等于，求点的轨迹的方程；19设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程20过双曲线：的左焦点作直线与双曲线交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程21设点和为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线