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1、1 高考题选编高考题选编-圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 一选择题一选择题 1 （广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 0 0 24 x y yxs yx 35x32zxy A. B. C. D. 6,157,156,87,8 解：解：由交点为， 42 4 42sy sx xy syx )4 , 0(), 0(),42 ,4(),2 , 0(CsCssBA （1）当时可行域是四边形 OABC，此时，；43 s87 z （2）当时可行域是OA此时，故选 D.54 s C 8 max z 2 （湖北卷）已知平面区域 D 由以为顶点的三角形内部边界组成。若在区域 D(1,3),(5
2、,2),(3,1)ABC 上有无穷多个点可使目标函数 zxmy 取得最小值，则( , )x ym A2 B1 C1 D4 解：解：依题意，令 z0，可得直线 xmy0 的斜率为，结合可行域可知当直线 xmy0 与直 1 m 线 AC 平行时，线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 zxmy 取得最小值，而直线 AC 的斜率为 1，m1，选 C 3 （湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为,则 22 44100xyxyl0axby2 2 直线 的倾斜角的取值范围是 l A. B. C. D., 12 4 5 , 12 12 , 6 3 0, 2 解：解：圆整理为，圆心坐标为(2，2)，
3、半01044 22 yxyx 222 (2)(2)(3 2)xy 径为 3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应20:byaxl22 小于等于， ， ， ，2 22 |22 | 2 ab ab 2 ( )4( ) 1 aa bb 023( )23 a b ， ，直线 的倾斜角的取值范围是，选 B.( ) a k b 2323kl 12 5 12 ， 4 （全国卷 I）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦 22 2210xxyy 3,2P 值为 A B C D 1 2 3 5 3 2 0 解：解：圆的圆心为 M(1，1)，半径为 1，从外一点向这个圆作两条切
4、 22 2210xxyy (3,2)P 2 线，则点 P 到圆心 M 的距离等于，每条切线与 PM 的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切5 2 1 值为，该角的余弦值等于，选 B. 1 2 4 2 tan 1 3 1 4 3 5 5 （四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为、千克，生产乙产品每千克需用原 1 a 1 b 料 A 和原料 B 分别为、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为、元。月初一次性购进本月 2 a 2 b 1 d 2 d 用原料 A、B 各、千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。 1 c 2 c 在这个问题中，设全月生
5、产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求xyz 使总利润最大的数学模型中，约束条件为 12 zd xd y （A） （B） （C） （D） 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 111 222 0 0 a xb yc a xb yc x y 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 121 122 0 0 a xa yc b xb yc x y 解解：设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润xyz 最大的数学模型中，约束条件为，选 C. 12 zd xd y 121 122 0 0 a
6、xa yc b xb yc x y 6.（湖北理 10）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐1 xy ab ab， 22 100xy 标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A60 条 B66 条 C72 条 D78 条 解：解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的 22 100xy 整数点共有 12 个，分别为，前 8 个点中，过任 6, 8 ,6, 8 , 8, 6 8, 6 ,10,0 , 0, 10 意一点的圆的切线满足，有 8 条；12 个点中过任意两点，构成条直线，其中有 4 条直线垂直 2 12 66C 轴，有 4 条直线垂直轴，还
7、有 6 条过原点（圆上点的对称性） ，故满足题设的直线有 52 条。综上可xy 知满足题设的直线共有条，选 A52860 7.（湖北文 8）由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线，则切线长的最小值为 A.1 B.2 C. D.327 解：解：切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为 d=，圆的半径为 1，故切线长的最小值为，选 C.22 2 |103| 718 22 rd 8.（浙江理 4 文 5）要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水假设每 3 个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米
8、的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 3456 解解：因为龙头的喷洒面积为 36，正方形面积为 256,故至少三个龙头。由于，故三个113216R 龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个 龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。答案:B.2128 2R 9.（2009 宁夏海南卷文）已知圆 1 C： 2 (1)x+ 2 (1)y=1，圆 2 C与圆 1 C关于直线10xy 对称，则 圆 2 C的方程为 （A） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 （B） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 （C） 2 (2)x+ 2 (2)
9、y=1 （D） 2 (2)x+ 2 (2)y=1 解解:设圆 2 C的圆心为（a，b） ，则依题意，有 11 10 22 1 1 1 ab b a ，解得： 2 2 a b ，对称圆的半径 不变为 1，故选 B。. 10.（2010 重庆理数）直线 y= 3 2 3 x与圆心为 D 的圆 33cos , 13sin x y 0,2 交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A. 7 6 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 3 解解:数形结合 301, 302 由圆的性质可 知21, 3030,故 4 3 11.（2010 安徽理数）动点,A x y在圆 22 1xy上绕坐标
10、原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一 周。已知时间0t 时，点A的坐标是 13 ( ,) 22 ，则当012t 时，动点A的纵坐标y关于t（单位： 秒）的函数的单调递增区间是 A、0,1B、1,7C、7,12D、0,1和7,12 解解:画出图形，设动点 A 与x轴正方向夹角为，则0t 时 3 ，每秒钟旋转 6 ，在0,1t上 , 3 2 ，在7,12上 37 , 23 ，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的。 12 （福建卷）已知双曲线(a0,bb0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k = （A）1 （B）2
11、（C）3 （D）2 解解:B： 1122 ( ,), (,)A x yB xy ， 3AFFB ， 12 3yy ， 3 2 e ，设 2 ,3at ct ， bt ， 222 440xyt ，直线 AB 方程为 3xsyt 。代入消去x， 222 (4)2 30systyt ， 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss ，解得 2 1 2 s ， 2k . 50.（2010 四川理数）椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上 存在点 P 满足线段 AP
12、 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 解解:由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 16 而|FA| 22 ab c cc ,|PF|ac,ac,于是 2 b c ac,ac,即 acc2b2acc2. 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 ,又 e(0,1),故 e 1,1 2 51.（2010 福建文数）若点 O 和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意
13、一 点，则OP FP A的最大值为 A2 B3 C6 D8 解解: 由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ，因为 0 22x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，选 C。 52.（2010 全国卷 1 文数） 已知 1 F、 2
14、F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则 12 | |PFPF A (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 解解: cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF , 12 | |PFPF A4. 解析二: 由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF
15、 , 12 | |PFPF A4. 53.（2010 四川文数）椭圆 22 22 10 xy a ab b的右焦点为 F，其右准线与x轴的交点为A在椭圆 上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 17 （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 解：解：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相 等. 而|FA| 22 ab c cc ,|PF|ac,ac,于是 2 b c ac,ac,即 acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1
16、1 1 2 c a cc aa 或 ,又 e(0,1),故 e 1,1 2 . 54.（2010 湖北理数）若直线 y=x+b 与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围是 A. 1,12 2 B. 1 2 2,12 2 C. 1 2 2,3 D. 12,3 解：解：曲线方程可化简为 22 (2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依 据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得 12 212 2bb 且，因为是下半圆故可得12 2b （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3, 故12 23,b所以
17、C 正确. 55.（2010 福建理数）若点 O 和点( 2,0)F 分别是双曲线 2 2 2 1(a0) a x y的中心和左焦点,点 P 为双曲 线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 A3-2 3,) B32 3,) C 7 -,) 4 D 7 ,) 4 解：解：因为( 2,0)F 是已知双曲线的左焦点，所以 2 14a ，即 2 3a ，所以双曲线方程为 2 2 1 3 x y，设点 P 00 (,)xy，则有 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，解得 2 2 0 00 1(3) 3 x yx，因为 00 (2,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (
18、2)OP FPx xy = 00 (2)x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 3 4 x ，因为 0 3x ，所以当 0 3x 时， OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3，故OP FP 的取值范围是32 3,)，选 B。 二二. 填空题填空题 18 1 （北京卷）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于( , )P x y 4 1 xy yx x O|PO _.最大值等于_. 解：解：画出可行域，如图所示：易得 A（2，2） ，OA，B（1，3） ，OB， ，C（1，1） ，2 210 OC ,故|OP|
19、的最大值为，最小值为.2102 2 （福建卷）已知实数、满足则的最大值是_.xy 1, 1, y yx 2xy 解：解：已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是 A(0，1)，B(1，0)，xy 1, 1, y yx C(2，1)， 的最大值是 4.2xy 3 （湖南卷）已知则的最小值是_. 1, 10, 220 x xy xy 22 xy 解：解：由，画出可行域，得交点 A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是 5. 022 01 1 yx yx x 22 yx 4.（江西卷）已知圆 M：（xcos）2（ysin）21，直线 l：ykx，下面四个命题： （A）对任意实数 k 与 ，
20、直线 l 和圆 M 相切； (B) 对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 M 有公共点； (C)对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切 （D）对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是_.（写出所有真命题的代号） 解：解：选（B） （D）圆心坐标为（cos，sin） ， . 2 22 |kcossin |1k |sin| |sin|1 1k1k d （） （） 5 （全国 II）过点（1， ）的直线 l 将圆(x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 2 线 l 的斜率 k_. 解解:由图形可知点 A在圆的内部, 圆心
21、为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最(1,2) 22 (2)4xy 小,只能是直线,所以lOA 112 22 l OA k k 6 （天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，30axy 22 (1)(2)4xyABAB2 3 则_.a 19 AB l C 解：解：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则30axy 22 (1)(2)4xyABAB2 3 圆心(1，2)到直线的距离等于 1，0 2 |23| 1 1 a a a 7(重庆卷)已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点xy 230 330 10 xy xy y zaxy0a 处取得最大值，则的取值范围为_.(3,0)a
22、解：解：画出可行域如图所示，其中 B（3，0） ，C（1，1） ，D（0，1） ，若目标函数取得最zaxy 大 值，必在 B，C，D 三点处取得，故有 3aa1 且 3a1，解得 a 1 2 8.（天津文理 14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程 22 10xy 22 (1)(3)20xy,A BAB _. 解解:两圆方程作差得.30xy 9.（山东理 15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方20xy 22 1212540xyxy 程是_. 解解：曲线化为，其圆心到直线的距离为 22 (6)(6)18xy20xy 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为 662 5 2
23、. 2 d yx2 标准方程为(2,2). 。 22 (2)(2)2xy 10.（上海文 11）如图，是直线 上的两点，且两个半径相等的动圆分别与 相切于AB，l2ABl 点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面AB，CACCBAB 积的取值范围是 S 解解:如图，当外切于点 C 时，最大，此时，两圆半径为 1，等于矩形 ABO2O1的面 12 OOAA与SS 积减去两扇形面积，随着圆半径的变化，C 可以向直线 靠近， 2 max 1 2 1 2 (1 )2 42 S l 当 C 到直线 的距离。l0,0,(0,2 2 dSS 时 11.（江西理 16）设有一组圆下列四个命题： 224
24、* :(1)(3 )2() k CxkykkkN 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 20 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 解：解：圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线 y=3（x+1）上，所以直线 y=3（x+1）必与所有 2 2k 的圆相交，B 正确；由 C1、C2、C3的图像可知 A、C 不正确；若存在圆过原点（0，0） ，则有 （因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 k 42422 2121029) 1(kkkkkk*)Nk 使上式成立，即所有圆不过原点。填 B、D. 12.（2010
25、 全国卷 2 理数）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆 N的 公共弦，4AB 若3OMON，则两圆圆心的距离MN_. 解：解：设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图，4AB ，所以 2 2 AB OER2 3 2 ，ME= 3，由球的截面性质，有OMME,ONNE， 3OMON，所以MEO与NEO全等，所以 MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等， 可得， ME MO MN=23 OE A 13.（2010 全国卷 2 文数）已知球的半径为 4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆OMNABM 的N 公共弦，若，则两圆圆心的距离_.
26、4AB 3OMONMN 解：解：ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为，小圆 N 中弦长 AB=4， 7 作 NE 垂直于 AB， NE=，同理可得，在直角三角形 ONE 中， 33ME NE=，ON=3， ， ， MN=3 3 6 EON 3 MON 14 （江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上 12 FF且 22 22 1(00)ab xy ab ab 且且P 异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题O 1的内切圆的圆心必在直线上； 2的内切圆的圆心必在直线上； 12 PFFxa 12 PFFxb 3的内切圆的圆心必在直线上； 4的内切圆必通过点 12 PFFOP 12 P
27、FF0a且 其中真命题的代号是_.（写出所有真命题的代号） 解：解：设的内切圆分别与 PF1、PF2切于点 A、B，与 F1F2切于点 M，则 12 PFF |PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点 P 在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故 |F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设 M 点坐标为（x，0） ，则由|F1M|F2M|2a 可得（xc） （cx）2a 解得 xa，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故 1、4 正确。 O M N E A B 21 15 （四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半 22
28、 1 2516 xy AB8x 部分于七个点，是椭圆的一个焦点， 1234567 ,P PP PP P PF _. 1234567 PFP FPFP FP FP FP F 解：解：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分 22 1 2516 xy AB8x 于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， 1234567 ,P P P P P P PF ，同理其余两对的和也是，又， 11711112 | | 2PFP FPFPFa2a 41 |P Fa =35. 1234567 PFP FPFP FPFP FP F7a 16.（江苏 15）在平面直角坐标系中，已知顶点
29、和，顶点在椭圆xOyABC( 4,0)A (4,0)CB 1 925 22 yx 上，则_. sinsin sin AC B 解：解：利用椭圆定义和正弦定理 得 ,b=2*4=8,.1052 ca sinsin sin AC B 4 5 8 10 b ca 17.（重庆理 16）过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线，交双曲线于 P、Q 两点，4 22 yx 0 105 则|FP| |FQ|的值为_. 解：解：代入得(2 2,0),F 0 tan105(23).k :(23)(2 2).lyx 4 22 yx 2 (64 3)4 2(74 3)6032 30.xx 设 11221212 4 2
30、(74 3)6032 3 ( ,),(,).,. 64 364 3 P x yQ xyxxxx 又 22 12 |1|2 2 |,|1|2 2 |,FPkxFQkx 2 1212 6032 316(74 3) | | (1)|2 2()8| (84 3) |8| 64 364 3 (84 3)( 4)8 3 . 364 3 FPFQkx xxx 18.（辽宁理 14 文 16）设椭圆上一点到左准线的距离为 10，是该椭圆的左焦点，若点 22 1 2516 xy PF M 22 满足，则=_. 1 () 2 OMOPDF |OM 解：解：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0） ，P（，由已知 M 为
31、 PF 中 22 1 2516 xy 3 25 x) 3 28 , 3 5 点，M（，所以.) 3 24 , 3 2 |OM 2) 3 24 () 3 2 ( 22 19.（2009 四川卷理）若 22 1: 5Oxy与 22 2:( )20()OxmymR相交于 A、B 两点，且两 圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是_. 解解: 由题知)0 ,(),0 , 0( 21 mOO，且53|5 m，又 21 AOAO ，所以有 525)52()5( 222 mm，4 5 205 2 AB。 20.（2009 重庆卷文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点
32、分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若椭圆 上 存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为_. 解解:因为在 12 PFF中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F ,则由已知，得 1211 ac PFPF ， 即 12 aPFcPF.设点 00 (,)xy由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFaex则 00 ()()a aexc aex 记 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知: 0 (1) (1) a e xaa e e 则，整理得 2 210,e
33、e 解得 2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率( 21,1)e 解法二: 由解析 1 知: 12 c PFPF a , 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 . 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 ,20, a PFacaccca ca 则既所以 2 210,ee 以下同解析 1. 21.（2009 重庆卷理）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若 双 曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc ，则该双曲线的离心率的取值范围是_. 23 解解
34、:在 12 PFF中， 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F ,则由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF，且知点 P 在双曲线的右支上，设点 00 (,)xy由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFexa 则 00 ()()a aexc exa,解得 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 (1) (1) a e xaa e e 则， 整理得 2 210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故椭圆的离心率(1,21)e. 解法二: 由解析 1 知 12 c PFPF a , 2 12222 2
35、 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 ,20, a PFcacacaca ca 则既所以 2 210,ee 以下同解析 1. 22.（2009 北京理）椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 ,F F，点P在椭圆上，若 1 | 4PF ，则 2 |PF _； 12 FPF的小大为_. 解解: 22 9,3ab， 22 927cab， 12 2 7FF ， 又 112 4,26PFPFPFa， 2 2PF ，由余弦定理， 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF ， 12 120FPF ，故应填2, 120. 23.（
36、2009 江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四 个 顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中 点， 则该椭圆的离心率为_. 解解:直线 12 AB的方程为：1 xy ab ；直线 1 B F的方程为：1 xy cb 。二者联立解得： 2() (,) acb ac T acac ,则 () (,) 2() acb ac M acac 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上， 24 22 222 22 () 1,1030,1030 ()4
37、() cac cacaee acac ,解得：2 75e 24.（2009 福建卷理）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 F 作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B 两点， 若线段 AB 的长为 8，则p _. 解解:由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx，联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx ， 又 2 22 (1 1 ) (3 )482 4 p ABpp 。 25.（2009 辽宁卷理）以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则 PFPA的最小值为_. 解解:注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线
38、右焦点为 F(4,0),于是由双曲线性质|PF|PF|2a4,而 |PA|PF|AF|5, 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当 A、P、F三点共线时等号成立.答案 9. 26.（2009 年上海卷理）已知 1 F、 2 F是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上 一点，且 21 PFPF .若 21F PF的面积为 9，则b=_. 解解:依题意，有 22 2 2 1 21 21 4| 18| 2| cPFPF PFPF aPFPF ,可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3。 27.（2010 全国卷 2 理数）已知抛物线 2 :2(0)C
39、ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与 l 相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB ，则p _. 解：解：过 B 作 BE 垂直于准线l于 E，AMMB ，M 为中点， 1 BMAB 2 ，又斜率为3， 0 BAE30， 1 BEAB 2 ，BMBE，M 为抛物线的焦点，p 2. 28.（2010 重庆理数）已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx上的两点 A、B 满足3AFFB ,则弦 AB 的中点 到准线的距离为_. 解：解：设 BF=m,由抛物线的定义知mBBmAA 11 ,3,ABC中，AC=2m,AB=4m,3 AB k, 直线 AB 方程为) 1(3xy与抛物线方程
40、联立消 y 得03103 2 xx ,所以 AB 中点到准线距离为 25 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 29.（2010 全国卷 1 文数）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交 C于 点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 解：解： 22 |BFbca,作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc,即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca ,又| 2|BFFD, 得 2 3 2, c aa a 3 3 e 解析二:设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 30.（2010 湖北文数）已知椭圆 2 2 :