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1、第九届北京师范大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是：我们的参赛报名号为：所属学校：参赛队员：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打
2、印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号：第九届北京师范大学数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号：赛区评阅记录：评阅人评分备注全国统一编号：全国评阅编号：有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式，从最简单的罚篮模型出发，且先在理想情况下进行讨论，将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。考虑到其中较容易训练的是出射角度，球员的出手高度由身体情况也可基本确定，出手力度却在不同状态下变化较大，模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角，并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算，找出最佳投
3、篮角度范围，并与实际比赛统计数据比较加以验证。最后根据模型中投篮方案，考虑场地变化对队员得分的影响，并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。关键词 投篮命中率 多因素规划 场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术，是比赛中得分的重要手段。投篮的方式主要分为三种，即“罚篮”、“两分球”和“三分球”，为了能够提高投篮的命中率，我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析，以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更，问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议，并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个
4、人表现力的影响。二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说，罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定，而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进，故首先选择罚篮为基本模型进行分析。构建模型之前有以下假设：运动员在投篮时发挥稳定，不受偶然因素的影响；球的飞行过程暂时不计空气阻力，不考虑球的旋转，即将其视为理想的抛体运动；假设球心的轨迹与篮框中心共面。图1符号规定：L1罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2罚球点与篮框右边缘B的水平距离d篮框的直径H篮框的竖直高度v0球的初速度v0与水平方向的夹角h球的出手高度r篮球的半径R三分线的半径根据题意及相关数据，如图1所示，可知L
5、与H为常量（均以改变后的规则为标准）：L1=4.375m，L2=4.825m，d=0.450m，H=3.050m，r=0.123m，球心轨迹方程由v0、和h确定。以篮球的出手点为原点，设球心为P，如图2所示建立平面直角坐标系。记重力加速度为g，引入参数t，根据抛体运动的规律可得：x=v0costy=v0sint-12gt2图2消去参数t可整理得球心P的轨迹方程：y=xtan-gx22v02cos2根据图2可知，当点P轨迹经过AB上的某一段时，可以视为篮球能被投入。这里我们暂不考虑篮球砸中篮板的情况，即只考虑左端的极限情况。此处我们记H-h=h，当篮球恰好能砸中篮框左边缘A时，即轨迹过点L1，h
6、+r时，有：h+r=L1tan-gL122v0min2cos2此处v0min为临界情况下球的最小初速度整理可得：v0min2=gL122L1tan-h-rcos2在实际情况中，由于球员的身体状态和临场发挥存在较大波动，故球的初速度v0较难控制，但是出射角度可以通过不断地训练较好地把握，因此若能找到一出射角度使得v0的变化范围较大，则能够有效提高运动员投篮的命中率。即求一的值，使得对应的v0min最小即可。根据上式，设h=0.977m，作出v0min的图像如下：图3分析图3可知，在出射角度较小时，不存在与之对应的v0min，即无论以怎样的初速度投篮，均无法投进。之后随着的增大，总能找到对应的临界
7、速度v0min，且当的值接近于0.8弧度（约为45）时，v0min的确有最小值。要求使得v0min最小的的取值，对上式求导，右边得：-1tan-h+rL1cos2tan-h+rL1cos2要求极值，只需tan-h+rL1cos2=0，整理可得1=2tan-h+rL1sincos，最终可得：=12arctan-L1h+r+图4即为h的函数，其图像如图4所示，球的出手高度h基本由运动员的身高决定，设其变化范围为1.95,2.35，则h在0.7,1.1内变化，带入数据进行计算可得：0.70.8781.10.922即出射角度在约50.3至52.8间变化时，能使初速度临界值v0min较小，此时球员的命中
8、率会较高。图5接下来考虑另一端B端的极限情况，即篮球砸中篮板反弹后再入框的情况。如图5所示，此时我们假设篮球和篮框之间的碰撞为完全弹性碰撞，则能入框的极限条件是篮球砸中篮板后反弹使得篮球恰好砸中篮框的左边缘A。记篮球与篮框的碰撞点为S，在该点的速度为v1，则S点的横坐标已知，为xS=L2，带入P的轨迹方程可知其纵坐标为yS=L2tan-gL222v02cos2，在S点处，沿x和y方向的分速度分别为：v1x=v0cosv1y=v0sin-gt0其中t0=L2v0cos由以上条件可以写出反弹后球心P轨迹的参数方程：x=xS-v0costy=yS-v0sin-gt0t+12gt2t为参数，含义为碰撞
9、之后的飞行时间当此轨迹过点L1，h+r时，经整理有：L2tan-gL222v0max2cos2-h-r=-gd2v0max2cos2+gd22v0max2cos2此处v0max为临界情况下的最大初速度整理可得：v0max2=gL2+d22L2+dtan-h-rcos2使用类似于之前的求极值方式，经过求导和整理后可以得到此临界条件下与h的关系：=12arctan-L2+dh+r+同样代入数据计算可得：0.70.8631.10.899即出射角度约在49.4至51.5之间时，初速度临界值v0max有极值，此时投篮的命中率较高。这个数值与之前一种极限情况的取值十分接近。图6我们容易注意到上式中的L2+
10、d恰好是A点关于篮板所在平面的对称点A点的横坐标。如果我们如图6所示，作出左边缘A关于其的对称点A，那么我们就可以把经反弹篮球恰好砸中A点的情况看作是直接砸中A点的情况，此时我们直接将坐标L2+d，h+r代入P的轨迹方程，可以得到和刚才相同的结论，这验证了我们的猜想，即与S碰撞之后反弹砸中A点等效于直接砸中A点。经过上述对罚篮模型的分析，我们可以发现不管是在篮球初速度v0最小时刚刚砸中A点，还是v0最大时与篮板碰撞反弹后砸中A点，都对应着一定的角度，这个的值只与球的出手高度h有关。因此，在罚篮训练中，为了提高命中率，可针对不同球员习惯的出手高度h来设定最合理的角度的范围。2.三分球模型我们将罚
11、球的模型进行推广，就可以得到三分球的对应模型。我们先假设球员投三分球时正好位于三分线边缘，这样可以保证在三分球模型中球员与篮框的距离始终一定。容易想到，当球员正对篮框时，三分球模型与罚篮模型的区别仅仅在于距离L1、L2以及由于运动员采用跳投而引起的球出手高度h改变。此时的L1=6.525m，L2=6.975m。在投三分球时，运动员一般采用跳投姿势，出手高度h的范围大概为2.4,2.8，则h在0.25,0.65内变化，代入以下两式：1=12arctan-L1h+r+2=12arctan-L2+dh+r+经计算得：10.250.81410.650.84420.250.82120.650.858即1
12、46.6,48.4，247.0,49.1，同样是大致吻合的。对于每一个不同的出手高度h，都能找到一个最适合的投篮角度使得此时投篮的命中率最高。接下来我们考虑球员在三分线上的任意位置投篮的情况。同样，我们先暂时不考虑打中篮板的情况，则此模型同样与罚篮时的第一种极限情况类似，即无论球员位于三分线的何位置，都可以认为球心P轨迹与篮框中心位于同一平面内，即都可以转化为图2所示的模型。此情况下的数据应与正对篮框的三分球模型的1完全相同，在此不再赘述。图7于是我们可以开始讨论砸中篮板的情况。如图7所示，我们记篮球最后入框时轨迹与篮框所在平面的交点为Q，Q点与篮球出手点T的水平距离为l，记篮框中心点为Q0，
13、Q0与出手点的水平距离为l0（l0=R），由之前对罚篮模型的分析可知砸中篮板反弹的情况可以转化为对称性的问题，于是我们再设镜像篮框的中心点为Q0，则Q0与出手点T的水平距离为l0。出手点T与镜像中入框点Q的水平距离记为l。很显然当ll0-d2,l0+d2时能够进球。由球心P的轨迹方程可得v0与L的关系如下：v02=gl22ltan-h-rcos2由于l存在一定取值范围，而上式中在h与一定时，v0是l的增函数，即存在着能够进球的最小和最大初速度，即v0v0min,v0max，显然当这个区间的长度越大，运动员进球的把握也就越大。所以我们可以用v0max-v0min（记为v）来刻画运动员投篮的命中率
14、。如图7所示，由余弦定理可知：cos2+=2r2+R2-l0222rR解得l0=2r2+R2+22rRsin将l=l0-d2与l=l0+d2带入v02=gl22ltan-h-rcos2可得：v=gl0+d222l0+d2tan-h-rcos2-gl0-d222l0-d2tan-h-rcos2其中l0=2r2+R2+22rRsin设=0.872(50)，h=0.377m，可得v，其图像如图8所示。图8根据之前的分析知v越大则命中率越高，即当与球场底线的夹角0,较小时，通过砸板进球的把握较大，当此夹角逐渐增大时，命中率明显降低，夹角继续增大，命中率再次上升。根据该模型的分析结果可知：当球员在基本正
15、对篮板时，投三分球的命中率总体较低，而与篮板呈一定角度时，三分球的命中率相对较高。我们猜测教练可以建议球员根据角度的不同而选择是否投三分球。为了验证该模型的正确性，我们分析了2012-2013赛季5支排名较为分散的NBA球队（老鹰、凯尔特人、骑士、黄蜂、公牛，其在2012-2013赛季排名依次为6、7、13、14、5，下文中分别用字母A至E代替）在整个赛季82场常规赛中的投篮命中率数据，这5支球队是从所有球队中随机挑选，且其打法特点、本赛季及以往赛季的成绩和球员特点都较好地反映了整个联盟的整体水平。我们沿三分线将三分线外按照角度平均划分为10区0,36、11区36,72、12区72,108、1
16、3区108,144和14区144,1805个区域（该分类方法为NBA官方进行统计时采用的方法），分别统计每个区域内5支球队的投篮命中率和总投篮命中率，数据如下：球队10区命中率11区命中率12区命中率13区命中率14区命中率A42.59%33.27%39.15%36.12%41.43%B37.04%37.85%34.81%30.91%43.93%C33.69%34.72%36.73%34.35%35.00%D36.51%40.74%31.38%36.18%40.00%E38.04%34.84%33.71%37.41%33.08%总计38.02%36.02%35.05%35.12%39.57%表
17、1将总计命中率与区域的关系绘制成折线图如图9所示。图9图9的总体走势和图8基本一致，于是我们可以认为在实际的篮球比赛中三分球的命中率变化规律的确和我们所建立的模型吻合，即随着增大命中率呈现先下降再上升的总体趋势。综合以上分析可知，在训练和比赛中，虽然位于三分线的任意位置时都能得出相对最佳的出手角度，并且这个最佳角度可以仿照罚篮模型计算得出，但是为使三分球的命中率最高，教练应该建议球员在正对篮板时尽量不要选择投三分球，而在与篮板有一定角度时选择投三分球。3.两分球模型现在我们开始讨论最后一种情况两分球。在投两分球时，球员可以处于三分线内的任意位置，对应有不同的水平距离l以及与球场底线的夹角。不过
18、，两分球可以看作是在三分球模型基础上的再次推广，教练仍然可以根据球员的个人情况设计出在任意位置的最佳出射角度及投篮方式（是否砸板）。与三分球模型不同，在投掷两分球时，Q0与出手点的水平距离为l0不再是定值，而是一个变化的值（参见图7）。此时v的值不再仅仅由决定，而是由和l共同作用，即v=v,l。分析这两个自变量，相当于建立了以篮筐中心的投影Q0为坐标原点，l为极径、为极角的极坐标系。为了便于作图分析，我们将极坐标系变换为直角坐标系，即变换为以篮筐中心投影为坐标原点，球场底线为x轴的直角坐标系：x=lcosy=lsin，0,，显然y0图10于是我们作出二元函数v=vx,y的图像如图10所示。为了
19、更加直观地分析这个图像，我们再给出其在xOy平面上的投影如图11。需要注意的是我们刚才在坐标变换时强调的，只有当y0时的图像才有意义。即图10和图11都只有一半是有意义的图像。对该图像进行分析，我们可以看到当球员的坐标x,y与原点距离较近时（亦即l的值较小时），投篮的命中率明显高于其他情况下的命中率，且各种角度都有较高的命中率。图11当距离l的值继续增大时，当球员相对正对篮板时命中率较高，而与篮板有一定角度时命中率较低。当l的值增大到接近三分球的情况时，结论与刚才的三分球模型分析结果一致，即相对正对篮板时命中率较低，而在两侧与篮板呈一定角度时命中率较高。这同样符合我们的直觉推断。图12同分析三
20、分球时类似，我们将建立的模型与真实的数据进行比较以验证其正确性。首先我们依照常用的统计方式将篮球场分为如图12所示的14个区域（与之前三分球模型中的划分是一致的）。现在我们的模型分析的就是从1区至9区的命中率情况（10至14区已经在三分球模型中分析，且模型与实际数据吻合程度较好）。采用和之前相同的5支球队统计其命中率情况，结果如表2所示。球队1区命中率2区命中率3区命中率4区命中率5区命中率6区命中率7区命中率8区命中率9区命中率A58.86%39.90%36.82%38.72%36.90%43.18%40.12%37.01%35.75%B55.03%40.59%48.31%43.73%45.
21、42%44.93%40.64%42.57%46.49%C50.70%38.89%40.96%38.20%43.93%38.58%38.46%42.40%41.56%D52.69%40.22%36.68%38.22%40.66%37.67%38.12%42.59%41.38%E53.83%38.66%37.20%35.75%38.52%36.36%34.89%35.60%38.44%总计54.10%39.52%40.37%38.84%41.34%40.49%38.65%39.83%40.61%表2分析表2中每个区域5支球队的总命中率，我们可以看到1区命中率明显高于其他8个区。其他8个区的数据作柱
22、状图如图13所示。我们发现实际的统计数据仍然能和我们的模型较好地对应，在2、3、4区内，3区的命中率要高于2、4两区，这和我们预测的l的值处于此范围时函数v=vx,y图13的图像一致。同样在5至9区中，呈现了和预测一致的命中率变化规律。这也再度验证了该模型的可行性。综合以上对两分球模型的分析，我们给出以下训练建议：投二分球时尽可能使球员与篮板的距离较小，这有利于增加命中率；当距离l已经接近三分线半径时，同投三分球一样，最好与篮板有一定角度，有利于提高命中率；当距离处于以上两种情况之间时，建议尽量正对篮板投篮，这样的命中率会更高。以上就是我们针对三种基本投篮方式建立的数学模型，从最基本最理想的罚
23、篮模型出发，将其推广至三分球模型，再推广至两分球模型，整个过程由特殊推广至一般，最终建立的模型能够较好地解释实际篮球比赛的统计数据。在这样的模型基础上，给出了分别针对三种投篮方式的训练和比赛建议。三、规则改变的影响分析接下来我们讨论第二个问题，即篮球规则的改变对比赛观赏性和球员个人表现力的影响。我们考虑从以下几个方面来表征比赛的观赏性和个人表现力：犯规影响：犯规次数过多会限制球员的发挥，不利于增强比赛的观赏性以及球员个人表现力的发挥。比赛的流畅性：比赛保持流畅性能够提高比赛的观赏度同时能使得球员运动状态保持稳定，进而有利于个人表现力的发挥。球员的求胜欲望：球员的求胜欲望越强，在进攻和防守中的效
24、率就越高，也就越能发挥出自己的水平，极大程度的增强自己的个人表现力。个人能力：作为球场的主体，球员的个人能力以及个人状态无疑是左右比赛的最关键因素，个人能力越强，比赛的观赏度和比赛的质量就必然越高。接下来我们具体分析规则以及场地的改变对比赛的观赏性和个人表现力的影响。1.三分线的变化三分线半径在新的规则中增大了，其半径由6.25m增加到了6.75m。根据之前所建立的三分球模型：v=gl0+d222l0+d2tan-h-rcos2-gl0-d222l0-d2tan-h-rcos2l0=2r2+R2+22rRsin1=12arctan-L1h+r+2=12arctan-L2+dh+r+可以发现对于
25、新旧规则，在任意位置投三分球时，v新v旧，且在任意位置1新1旧，2新=0a1=atan(y./x);elsea1=atan(y./x)+pi;endg=9.8;rb=0.123;ra=0.225;a=0.5;t=(5/18)*pi;s1=(4*(rb.2)+s.2+2*2*rb.*(abs(sin(a1).(1/2);l3=s1-ra;l4=s1+ra;y3=(g*(l3.2)./(2.*abs(l3.*tan(t)-a).*(cos(t).2).(1/2);y4=(g*(l4.2)./(2.*abs(l4.*tan(t)-a).*(cos(t).2).(1/2);z=y4-y3;mesh(x,y,z)19