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1、第5.6节 证据理论 广义概率论,王庆江 计算机科学与技术系 ,课件下载：http:/222.195.158.214/ 教务处“网络教学”,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,概率论的一些特点,样本空间 a1, a2, a3, , an 所有可能的随机事件 a1, a2, a3, , an a1,a2, a1,a3, , a1,an, a2, a3, a2,a4, , a2,an, , an-1,an a1,a2,a3, a1,a2,a4, , a1,a2,an, a2,a3,a4, ,随机试验的结果空间,组成的幂集2,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,概
2、率论的一些特点（续）,若代表疾病类型空间，那么2中的每个元素都是可能的诊断结果； 若n（n|2|）个诊断结果缺乏依据，按无差别原理确定这n个结果的发生概率。,0.2,0.4,0.4,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,概率论的一些特点（续）,若对2中各元素都不了解，则各元素的发生概率为 例： 2 家里有贼, 家里没贼，在无任何知识情况下，有贼没贼的概率各0.5。,恐怖,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,对2中那些一点儿不了解（知道）的元素，能不能不指定概率？ 不知为不知，是知也。孔子论语 剩余概率该怎么分配呢？ 分给，让整个论域承受剩余概率； 这就是证据理
3、论（Evidence theory）。,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,Arthur P. Dempster提出证据理论，用概率范围而不是单一概率值表示不确定度； 其学生Glenn Shafer进一步研究，1976年出版证据的数学理论1。 这套方法称作证据理论（也称D-S理论）。,1 Shafer, Glenn. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton University Press, 1976, ISBN 0-608-02508-9,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,5.6.1 基本概念,考虑两两互
4、斥的元素集U U A1, A2, A3, , An 例： U 三轮车，汽车，火车 U 赤，橙，黄，绿，青，蓝，紫 U 马，牛，羊，鸡，狗，兔 U 气管炎，肺炎，胃炎，肝炎,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,2U是U的幂集（power set），|2U|2|U|； 例：U 三轮车, 汽车, 火车 则2U , 三轮车, 汽车, 火车, 三轮车, 汽车, 三轮车, 火车, 汽车, 火车, U 幂集的任一元素都可能是U上问题的正确答案，而只有一个元素才是正确答案。 U上哪些是能源动力车？ 汽车、火车 U上哪些是人力车？ 三轮车 U上哪些是有轨车？ 火车,2008-2009学年第1学
5、期,第5.6节 证据理论,幂集的每个元素可看成命题，真命题就是答案。 永假命题； 三轮车是能源动力车； 汽车是能源动力车； 火车是能源动力车； 三轮车和汽车是能源动力车； 三轮车和火车是能源动力车； 汽车和火车是能源动力车； 三轮车、汽车和火车是能源动力车。,F,F,F,F,F,F,F,T,Q：哪些是能源动力车？ A：汽车和火车是能源动力车。,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,5.6.2 证据的不确定性,2U是U的幂集，基本概率分配函数m: 2U0, 1 m() = 0； A属于U且AU，则m(A)表示A的精确信任度； 若A=U，则m(A)表示这个概率值不知该如何分配。 U
6、=a, b, c，为a和a, b指定了信任度0.1和0.2，剩下的0.7不知该怎样分配给其他子集，则m(U)=0.7。,m代表mass,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,信任函数Bel（Belief）,Bel：2U0,1 Bel(A)是A及其子集的信任总和。 Bel()=0；Bel(U)=1 Bel类似概率密度函数，比基本概率分配函数m更具全局性。,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,似然函数Pl（Plausibility）,Pl：2U0,1 Pl(A)是与A的“交”不是的所有集合的信任总和。 满足BA=的B是完全不支持A的命题； 0 Bel(A) PL(
7、A) 1,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,似然函数的示意图,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,信任区间f,f(Bel(A), Pl(A) 表示A的不确定性度量； Bel(A)称为A的支持度，即最低信任度； Pl(A)称为A的合情度，即最高信任度。 f(1,1)表示A为真； f(0,0)表示A为假； f(0,1)表示对A一无所知； Bel(A)=1Pl(A)=0，Pl(A)=1Bel(A)=1，即对A也一无所知。 f(1,0)是不可能成立的。,Pl(A)Bel(A)表示对A不知道的程度,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例：拳王和散打
8、冠军打一架，你只了解武术而不懂拳击，用证据理论怎样表示各种比赛结果的不确定性呢？ U拳王胜, 散打冠军胜 2U=, 拳王胜, 散打冠军胜, 拳王胜, 散打冠军胜,问题来自：http:/en.wikipedia.org/wiki/Dempster-Shafer_theory,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例：盒子里的猫是活的吗？,摘自：http:/en.wikipedia.org/wiki/Dempster-Shafer_theory,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例：若食堂提供“主食”、“菜”和“汤”，你吃了什么？,2008-2009学年第1学期
9、,第5.6节 证据理论,证据A不确定度的另一种表示,f1(A) Bel(A) + |A|/|U|(Pl(A) Bel(A) f1() 0 f1(U) 1 0 f1(A) 1 可证明：Bel(A) f1(A) Pl(A),2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,5.6.3 规则的不确定性,规则是两个集合之间因果关系的表达； 规则AB，A=a1,a2,ak，B=b1,b2,bk 用向量(c1,c2,ck)表示AB的不确定度，这里 ci 0，0 i k，且ci1 。,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,5.6.4 推理计算,“与”的计算 f1(A1A2) = minf
10、1(A1), f1(A2) “或”的计算 f1(A1A2) = maxf1(A1), f1(A2) “非”的计算 f1(A) = 1f1(A),勘误：P200页，“f1(A)=f1(A)”应为“f1(A)=1f1(A)”,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,可信度的传播（结论的可信度计算） 有规则AB，知道f1(A)和向量(c1,c2,ck)，怎样计算f1(B)? m(b1, b2, , bk) = (f1(A)c1, f1(A)c2, , f1(A)ck) 求出Bel(B)和Pl(B)，即可求出f1(B)。,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,证据的组合,
11、有两个概率分配函数m1(A)和m2(A)， m(A)=(m1 m2)(A),勘误：P200页，此处多了一个m(A),2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,证据组合的示例,已知f1(A1)=0.40，f1(A2)=0.50，|U|=20 A1B =b1,b2,b3，(c1,c2,c3)=(0.1,0.2,0.3) A2B =b1,b2,b3，(c1,c2,c3)=(0.5,0.2,0.1) 求f1(B),2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例（续）,m1(b1, b2, b3) = (f1(A1)c1, f1(A1)c2, f1(A1)c3) = (0.40.1
12、, 0.40.2, 0.40.3)=(0.04, 0.08, 0.12) m1(U) = 0.76 m2(b1, b2, b3) = (f1(A2)c1, f1(A2)c2, f1(A2)c3) = (0.50.5, 0.50.2, 0.50.1) = (0.25, 0.10, 0.05) m2(U) = 0.60,勘误：P201页，原为0.70，应改为0.60,确定单元素子集的m值,计算剩余概率,得到了两个概率分配函数m1和m2,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例（续）,1/K = m1(b1)m2(b1) + m1(b1)m2(U) + m1(b2)m2(b2) +
13、m1(b2)m2(U) + m1(b3)m2(b3) + m1(b3)m2(U) + m1(U)m2(b1) + m1(U)m2(b2) + m1(U)m2(b3) + m1(U)m2(U) = 1.082 K = 0.9242,得到组合系数,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例（续）,m(b1) = Km1(b1)m2(b1) + m1(b1)m2(U) + m1(U)m2(b1) = 0.211 m(b2) = Km1(b2)m2(b2) + m1(b2)m2(U) + m1(U)m2(b2) = 0.129 m(b3) = Km1(b3)m2(b3) + m1(b3)
14、m2(U) + m1(U)m2(b3) = 0.168 m(U) = 1 m(b1) + m(b2) + m(b3) = 0.492,计算组合后的概率分配函数m,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,例（续）,目前只对U上b1、b2和b3分配了m值，即m(b1)、m(b2)和m(b3)； Bel(B) = m(b1) + m(b2) + m(b3) = 0.508 令U= b4、b5、b20，则按证据理论有，对于任意A 2U，m(A)=0; 而B = b4, b5 , , b20， Bel(B )=0 Pl(B) = 1 Bel(B) = 1 0 = 1 f1(B) = Bel(B) + (Pl(B) Bel(B)|B|U| = 0.582,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,思考题,5.13,2008-2009学年第1学期,第5.6节 证据理论,本章小结,什么是不确定性推理？ 贝叶斯网络 主观贝叶斯方法 确定性方法 证据理论,