1、例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，乂是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时乂考杳如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的根本思想。.轨迹为点例1平面0,直线ua,点P,平面a/之间的距离为8,那么在夕内到P点的距离为IO且到直线/的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点Z解析:设Q为。内一动点，点P在尸内。扁崔补,I的平面与的交线为F,VPQ=I0,，OQ=Jid=F=6点Q在以O为圆心6为半径圆上,过Q作QM1.r于M,又；点Q到宜线/的距离为9.QM=E那么点Q
2、在以r平行距离为后的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点这样的点Q有四个，故答案选D。点评:此题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二.轨迹为线段例2.如图，正方体A8C。-A8Q中，点P在侧面8CC及其边界上运动，并Mr且总保持AP1BD,那么动点P的轨迹是（）。AJA.线段BiCB.线段C1.C.BBt中点与CG中点连成的线段D.8C中点与8C中点连成的线段解：连结Aq.AC.8C，易知Aq_1.A8|所以Ag_1.8A,AC_1.8R,8C_1.8。，所以BD1面AB1C,假设PWB1C,那么A尸U平面AB1C,于是RD,1AP
3、因此动点P的轨迹是线段4。.评注：此题是由线面垂直的性质从而求出点P的轨迹。例3圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），假设A1.P,那么点P的轨迹是o形成的轨迹的长度为。解析:在平面SAB中，过M作AM的垂线交AB于C,在底面上，过C作AB的垂线分别交底面圆于D,E两点，那么AMJ.面MDE.DE即为点P的轨迹，乂AO=1.Mo=AM=阴从而AC=OC=上所以DE=2万而=冬所以填上线段：冬三.轨迹为直线例4（北京高考题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，过点B作宜线/与AB垂直，那么直线,与平面交点的轨迹是（）A.圆B.椭
4、圆C一条宜线D.两条平行宜线解析：由题意可知直线/的轨迹应是过点B且与AB垂直的平面，该平面与平面”交点为一条宜线，故答案选C.四.轨迹为圆弧例5如图，P是棱长为1的正方体ABCO-AMG。外表上的动点，且AP=2,那么动点P的轨迹的长度为。a-.Y.解析：由AC=AB=AD=&,在面BC1,而/IrW1.三JJe别有ABBP=AiP=DP=I,所以动点P的轨迹是在面BCi,面AC.面DC1.内分别以B,D,A为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为年x3=当。五.轨迹为平面例6.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面个数为()A.3B.4C.6D,7解析：以不共面的四个
5、定点为顶点构造四面体，那么满足条件的平面可分两类。第一类是中截面所在的平面有4个；第二类是和一组对核平行且经过其它各棱中点的平面有3个，故满足条件的平面个数为4+3=7.故答案选D.评注：此题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。六.轨迹为圆例7,如图，三角形PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面夕垂宜，RAD1.atBC1.a,AD=4,BC=8,AB=6,ZAPD=ZCPB,那么点P在平面内的轨迹是()A.圆的一局部B.椭圆的一局部C.双曲线的一局部D.抛物线的一局部解析：由条件易得ADIIBC,且ZApD=/SB,AD=4,BC=8,可得ian4PO=晋=需=Ian/CP8
6、即隹=g=2,在平面PAB内以AB所在的直线为X轴，AB的中点O为坐标原点，建立立角坐标系，那么A(-3,0).B0),设P(,y),那么有笥=儡曰=2,整理可得一个圆的方程即./+)7+10.丫+9=0(XNO)O由于点P不在直线AB上，故此轨迹为圆的一局部故答案选A.点评:此题主要考查空间轨迹问题，必在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，乂考查了代数方法(坐标法)研究几何轨迹的根本思想。七.轨迹为抛物线例8.如图，正方体A8CD-A6GA的棱长为1,点M在棱AB上，且AM=点P是平面ABCD上的动点，且动点P到口线Aa的距离与动点P到点M的距离的平方差为1,那么
7、动点P的轨迹是（）.A.圆B.抛物线人二三一,“-:I/*c.双曲线D.直线A1.1.Aa*分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。解：设PFIA。于点F,过点P作/在J.A。于点E,连结EF,那么八/平面PEF,二AD1.EF,即EFfAAy0因为P=1,B.|pf|：-1=PF2-EF2=IpEf,所以伊|=|P由抛物线定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B.评注：从立体转化到平面，从平面到宜线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线乂比平面简单，这是曳杂向简单的转化。八.轨迹为椭圆例9,（浙江高
8、考题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，假设点P在平面内运动，使得AAHP的面积为定值，那么动点P的轨迹是（）A.圆B,椭圆C.一条直线D.两条平行直线/Q/解析:由题意可知尸的面积为定值；.点P到AB的距离也为定值，二点P在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面内运动，所以动点P的轨迹应该是圆柱面被平面所截出的椭圆。故答案选B0点评:此题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用。九.轨迹为双曲线例10.（2010年重庆高考题）到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条宜线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.直线解析：构造正方体模型，在边长
9、为是两条相互垂直的异面直线，平而ABCD过直线DC且平行于AQ,以D为原点，分别以DA.DC为X轴,y轴建立平面直角坐标系,设点P（x,y）在平面ABCD内且到De与AQ1.之间的距离相等，所以N=G7/,.-=故答案选C点评:此题以空间图形为背兔，把立体几何问题转化到平面上，再用解析几何法求解，实现从立体几何到解析儿何的过渡，这里用解析几何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方向。此题考查立体几何，解析几何知识,考杳学生的空间想象能力，灵活运用知识解决问题的能力和创新意识，构造正方体模型，简化了思维难度。十.轨迹为球例I1.如图，在棱长为6的正方体A88-A4G。中，长度为4
10、的线段MN的一个端点N在DDi上运动，另一个端点M在底面ABCD上运动，那么MN的中点P的轨迹与其顶点D的正方体的三个面所围成的几何体的体积是解析:由ND1.平面ABCD=ND1.DM在RzDM中,P为斜边MN的中点,那么。P=IwN=2故点P的筑迹是以D为球心，2为半径的球面，与其顶点D的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此V=f-23=-.点评:此题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点P的轨迹是关键。含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点：下边
11、通过几道例题，让:大家感受化归和构造的策略，策略一：当两个变量可以别离时.，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。例1(2010年辽宁文科21)函数/(x)=(+1.)1.nx+1.(I)讨论函数八M的单调性：(II)设-2,证明：对任意,Jw(O.Hw),I/(i)-/(j)41AT1-xtIO解：(I)KX)的定义域为(O,+/),f(x)=+2ax=W+f1.+1.XX当“20时，r(o,故Hx)在(0.+8)单调增加：当“W-1.时，(-)O,故凡r)在(0,+8)单调减少：当xW(0,J-W)时,/,0:X当一1VaVO时，令广十=0,解得X=J-W.WW+)时，,()单调减
12、少.所以|/(七)-/也)住4归-W|等价于/区)-/(8)24工14.3即式初)+4x2x)+4m令g(x)Mx)+M,那么1.+2v+4=生土.于是g)WXX-4Aj+4x-I_-(2-I/W0XX从而g(*)在(0,+8)单调减少，故g(x。Wga2),即)+4(x2)+4X2故对任意XIK2G(O,+8),f(X)-/(.q)4k-j.当exe2时，1In1讨论函数/(x)的单调性;(2)证明：假设司一三解：(1.)f()的定义域为(0+)/(X)=+TT=FT)MD2分XXX(i)假设-1.=1.即2,那么/(X)=E1.1.故r0)在(0.+OO)单调增加。X(ii)假设所11.,
13、故1.2,那么当XGg-1,1)时,/(x)0故/(x)在(-1.,1.)单调减少，在(OMT),(g)单调增加。(iii)假设所1】,即02,同理可得/在(IM-D单调减少,在(OJMaT单调增加.(I1.)考虑函数g(x)=f(x)+X=I.v-ta+(-1)In.r+X由于1.a5,故gO,即g(x)在(4,+8)单调增加,从而当5M0时有那么g,U)=x-(-1)+-X-(-1)=I-(Ja-1-1)2g(O-g()0,1(1)-(.r,)+x1-,O,故-R-,当OVTy时,X1.-X2有f(xJ-5)=/(XJ-f(q)X1-X2X2-X1练习1函数火)=r-I-InWaR).讨论
14、函数/U)在定义域内的极值点的个数；假设函数人幻在r=1.处取得极值，VXW(0,+8),火幻历一2恒成立，求实数人的取值范围；当Oxye2且e时，试比拟5与三”的大小.解T(X)=!=，当WO时，人人f(幻0时，/（八）0得0x0得恳.)在(0,5上单调递减，在(：，+8)上单调递增，即r)在X=5处有极小值.，当0时，/)在(0,+8)上没有极值点；当4X)时，,AR在(0，+8)上有一个极值点.Y函数凡r)在x=1.处取得极值，.4=1.,.Cr)Nb-21.+：华泌，人人/，、.,1Inx令g(x)=1.+-,那么父(幻=一1+，.g,(e2)=0,从而可得g(x)在(O,e2上单调递
15、减,在e2,+8)上单调递增，g(x)min=g(e2)=一白，即)W1-2.由知X(X)=I+1-T”在(0,4)上单调递减，.*.O,vvg(y),CIr1.-InX1Iny即Xy当(Xx：T-*-;XI1.n.v,y1Iny,1.-1.n.r,策略二、当两个交量别离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个交量，再构造函数利用函数单调性进行证明例3、函数f()=InX-a0/),、aCRx+1(I)假设x=2是函数f(x)的极值点，求曲线y=f(x)在点(1.f(I)处的切线方程：(II)假设函数f(x)在(0,+8)上为单调增函数，求a的取值范围；(III)设m,n为正实数，且m
16、n,求证：ron0,根据(II)得到hIx)在X大于等nn于1时单调递增，且至大于1,利用函数的单调性可得证.n解：f(X)=a-a(x+1.)+(2-2a)X+1,X(x+1.)2X(x+1.)2由题意知r(2)=0,解得a=t经检验符合题意.4从而切线的斜率为k=r(1)=-1,切点为(1,0)8切线方程为x+8y-1=0(11)f(X)d+(2-2a)x+1.,X(x+1.)2因为f(x)在0,+oo)上为单调增函数，所以F(X)20在(0,+8)上恒成立即2+(2-2a)x+120在(0,+-)上恒成立，当Xe(0,+8)时，由X?+(2-2a)x+1.O,得：2a-2x+-X设g(x
17、)=x+.1.,x(0,+8),X那么g(x)=x+/2=2,当且仅当X=T即x=1.时，g(x)有最小值2,所以2a-242,解得a42,所以”的取值范围是1-2；-1+1(III)要证m-n三，即1115三0,n四+1n当1nn设h(X)=Inx-WI1.x+1由(II)知h(x)在(1,+8)上是单调增函数，乂工1,n2(卫-1)所以hU)h(1)=0,即Im20成立,nn7nID11.11r,Imn-Inn2此题主要考杳了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用根本不等式求函数的最小值，是一道中档题.例4(2013年陕西)函数x=em.(1)求八
18、)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；(II)证明：曲线，=f切与曲线y=9x+1.有唯一公共点.(III)设水b,比拟/(竽)与缥誉的大小,并说明理由.【答案】解：f的反函数g()=!n,那么y=g()过点(1,0)的切线斜率k=g.g(x)=,=%=g=1.过点(1.O)的切线方程为:y-x+1X(II)证明曲线y=f(x)与曲线y=；/+x+1.有唯一公共点,过程如下.因此，,01.z(-)V=厅(X)单调递减;:公0时/CO()=oy=(x)的调递增ny=,(x)z,(0)=(),所以)，=MX)在尺上单调递增，最多有一个零点X=。所以,曲线y=f(x)与曲线吴+x+1.
19、只有唯一公共点(0,1).(证毕)(UD设/S)+/S)段一f（八）=d+2（八）+S-a-2)段2b-a2(b-a)令烈工)=1+2+(.1-2),0.则。)=1+。+工-2)，=1+(工-1).g(xj导函数g(X)=(1.+x-1.)e=xe0,所以g(x)在(0+8)上单调递增,且g(0)=OJS此g(x)0,g(x)在9,2)上单调递增.而g(0)=0.所以在(0.+)上g(x)0.所以当a以妙卫2b-a练习2(2006年四川理科22)函数f(x)=x2+-+anx(0),/(x)的导数是f(x)。X对任意两个不等的正数M、巧，证明：(I)当心0时，J)+2心心;22(11)当时，)
20、fU)IMFI。本小题主要考查导数的根本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。证明：(I)由X)=X1+2+mnx,得Xr.X+X,./%+X，、24.X+X,/(-41.)=(-1.-)*+f1.1.n七一.22.+a2而!(X：+4)；*：+工；)+2-=巴苧,乂区+X2)2=(X；+X22)+2x,x24xix2,x1.x2N+.,xyxi立:*,/.InJxIX2jJC2下面证明对任意两个正数a、X2,有2+驾孚-，-1恒成立,即证“x.x1+-J=X丙邮设=JxX2,“)=/+：(r0)那么“)=25。令，（，）=0,得r=,列表如下:t(0.历啦(
21、i2.+)(/)0+W)极小值MZM34=i842(X1+x,)x1x,+!a对任意两个不等的正数1.、公，恒有If,(x1.)-f(x2)Ix1-X2Io2(N+七)证法二：由Ax)=/+2+anx,得XxXIrC,2(%+占)a一十22X1X2xx2j一r(j=1(2N-+-)-(22-+)Ai一天2+rXx2X2.、是两个不等的正数2+-=y2+Q1.X2)Xrq4_4_(,)Xrq设i=-71.,U(t)=2+t-4ti(0),那么/(r)=4r(32),列表:/(0.1)W(I)一(0232(-,+8)0+极小值工27Z.m2i,即2+当学27.v1.t2xix,，1.(XI)-=IXI-X2H2+一“；.-11%一占1
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