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1、5.2 ylog2x的图像和性质 53 对数函数的图像和性质(1) 导入新课 思路 1. 复习以下内容：(1) 对数函数的定义；(2) 对数函数的反函数 这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题 推进新课 新知探究 下面研究对数函数ylog2x的图像和性质可以用两种不同方法画出函数y log2x的 图像 方法一：描点法 先列出x，y的对应值表如下： x , 1 4 1 2 1248, y log2x , 2 10123, 再用描点法画出图像如图2. 图 2 方法二：画出函数xlog2y的图像，再变换为ylog2x的图像 由于指数函数ya x 和对数函数xlogay所
2、表示的x和y这两个变量间的关系是一样的， 因而函数xlog2y和y2 x 的图像是一样的( 如图 3(1) 用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到ylog2x的图像 ( 如图 3(2) (1) (2) 图 3 图 4 习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图3(2) 翻转，使x轴在水平位置，得到 通常的ylog2x的图像 ( 如图 4) 观察对数函数y log2x的图像，过点(1,0) ，即x 1 时，y 0；函数图像都在y轴右 边，表示了零和负数没有对数；当x 1 时，ylog2x的图像位于x轴上方，即x1 时，y 0；函数ylog2x在(0 ， ) 上是增函数 对数函数ylog
3、ax(a0，a1) ，在其底数a1 及 0a1 这两种情况下的图像和性 质可以总结如下表 a10a1 图像 性质 (1) 定义域： (0 ，)(1) 定义域： (0 ， ) (2) 值域： R(2) 值域： R (3) 过点 (1,0) ，即x1 时，y0(3) 过点 (1,0) ，即x1 时，y0 (4) 当x 1时，y0； 当 0x 1时，y0 (4) 当x1 时，y0； 当 0x1 时，y0 (5) 是(0 ， ) 上的增函数(5) 是(0 ， ) 上的减函数 提出问题 1根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？ 2判断函数的单调性有哪些方法和步骤？ 3判断函数的奇偶性有哪些方法和步
4、骤？ 活动： 学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生 有困难教师点拨 问题 (1) 学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象， 就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析 问题 (2) 学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定 问题 (3) 学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定 讨论结果： (1) 比较数的大小： 作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大 作商，但必须是同号数，看商与1 的大小，再决定两个数的大小 计算出每个数的值，再比较大小 是两个以上的数，有时采用中间量比较 利 用
5、图像法 利用函数的单调性 (2) 常用的方法有定义法、图像法、复合函数的单调性的判断 利用定义证明单调性的步骤： 在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1x2. 作差或作商(同号数 ) ，注意变形 判断差的符号，商与1 的大小 确定增减性 对于复合函数yfg(x) 可以总结为： 当函数f(x) 和g(x) 的单调性相同时，复合函数yfg(x) 是增函数； 当函数f(x) 和g(x) 的单调性相异即不同时，复合函数yfg(x) 是减函数 又简称为口诀“同增异减” (3) 有两种方法：定义法和图像法 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称
6、； 确定f( x) 与f(x) 的关系； 作出相应结论： 若f(x) f(x) 或f( x) f(x)0，则f(x) 是偶函数； 若f(x) f(x) 或f( x) f(x) 0，则f(x) 是奇函数 图像法： 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数的图像关于原点对称这也可以作为判断函数奇偶 性的依据下面看它们的应用 应用示例 思路 1 例 1 比较下列各组数中的两个值的大小： (1)log25.3 ，log24.7 ；(2)log0.27，log0.29；(3)log3，log3；(4)log a3.1 ，loga5.2( a 0，a1) 活动： 学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，
7、并及时评价对(1) 与(2) 由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对数函数的单调性；作出图像， 利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质对(4) 因为底数的大小不确定， 因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数， 再由指数函数的单调性判断大小对(3) 两个对数式的底数和真数均不相同设法找到一个 具 体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和 真数都不相同， 可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较 对数式的大小，一般选择“0”或“ 1”作为中间量进行比较 解： (1) 解法
8、一：用图形计算器或多媒体画出对数函数ylog2x的图像，如图5. 图 5 在图像上，横坐标为4.7 的点在横坐标为5.3 的点的下方， 所以 log24.7 log25.3. 解法二：由函数y log2x在 R 上是单调增函数，且 4.7 5.3 ， 所以 log24.7 log25.3. (2) 因为 0.2 1，函数ylog0.2x是减函数， 79，所以 log0.27log0.29. (3) 解法一：因为函数ylog3x和函数ylogx都是定义域上的增函数， 所以 log3log1 log33log3. 所以 log3log3. 解法二：直接利用对数的性质，log31，而 log31，因
9、此 log3 log3. (4) 解法一： 当a1 时，ylogax在 (0 ，) 上是增函数， 且 3.1 5.2 ，所以 loga3.1 log a5.2. 当 0a1 时，ylogax在(0 ， ) 上是减函数， 且 3.1 5.2 ， 所以 loga3.1 loga5.2. 点评： 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1 还是小于1. 而已知条件并未指明 时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握同时本题采用了 多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用. 变式训练 比较 log20.7 与 log 1 3 0.8 两值的大小 解： 考查函数yl
10、og2x. 因为 21，所以函数ylog2x在(0 ， ) 上是增函数 又 0.7 1，所以 log20.7 log210. 再考查函数ylog 1 3 x， 因为 0 1 3 1，所以函数 ylog 1 3 x在 (0， ) 上是减函数 又 10.8 ，所以 log 1 3 0.8 log 1 3 10. 所以 log20.7 0log 1 3 0.8. 点评： 题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比 较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“ 1”作为中间量 进行比较，这里的中间量是0. 例 2 求下列函数的定义域： (1)yloga
11、x 2；(2) y loga(4 x) 活动： 学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生此题主要 利用对数及对数函数的定义及ylogax的定义域 (0， ) 求解教师引导，学生回答，求 函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数 和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解 解： (1) 要使函数有意义，则需x 20，即 x0，所以定义域为x|x0； (2) 因为 4x0，即x4，所以函数定义域为x|x4 点评： 该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式 组，解不等式或不等式
12、组即可 思路 2 例 1 已知f(x) 1 logx3，g(x) 2logx2，试比较f(x) 与g(x) 的大小 活动： 学生先思考讨论，再交流回答， 教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实 际，可以提示引导 学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的 要比较两个代数式的大小， 通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再 将商同“ 1”比较大小因为本题中的f(x) 与g(x) 的正负不确定，所以采取作差比较法 解：f(x)，g(x) 的定义域都是 (0,1) (1 ， ) f(x) g(x) 1logx32logx21logx3logx4logx3 4x
13、. (1) 当 0x1 时，若 0 3 4x1，即 0 x4 3，此时 logx3 4x0，即 0x1 时， f(x) g(x) ；若 3 4x1，即 x 4 3，这与 0 x1 相矛盾 (2) 当x1 时，若 3 4x1，即 x 4 3，此时 log x3 4x 0，即 x 4 3时， f(x) g(x)； 若 3 4x1，即 x4 3，此时 log x3 4x 0，即 x 4 3时， f(x) g(x) ； 若 03 4x1，即 0 x4 3，此时 log x3 4x0，即 1 x 4 3时， f(x) g(x) 综上所述，当x(0,1) 4 3， 时，f(x) g(x) ； 当x4 3时
14、， f(x) g(x) ；当x 1，4 3 时，f(x) g(x) 点评： 对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系而已知条件并未指明时，需要对 底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用. 变式训练 已知 logm5logn5，比较m，n的大小 活动： 学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程已知对数式的大 小关系， 要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了， 我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和 logm5 的关系是倒数关系， 有了这个关系，题中已知条件就变为 1 log5m 1 log
15、5n，由已知条件知道 m、n都大于 0，且都不 等于 1，据此确定m，n的大小关系 解： 因为 logm5logn5，所以 1 log5m 1 log5n. 当m1，n1 时，得 0 1 log5m 1 log5n， 所以 log5nlog5m. 所以mn1. 当 0m 1,0 n1 时，得 1 log5m 1 log5n0， 所以 log5nlog5m. 所以 0nm1. 当 0m 1，n1 时，得 log5m0，log5n0， 所以 0m 1，n1. 所以 0m1n. 综上所述，m，n的大小关系为mn 1 或 0nm1 或 0m1n. 点评： 分类讨论是解题的关键. 例 2 求函数ylog
16、2(x 2 x 6) 的单调区间，并证明 活动： 学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导求函数的单调区间 一般用定义法， 有时也利用复合函数的单调性定义法求函数的单调区间，其步骤是： 确 定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1x2；通过作差比较f(x1) 和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间( 注意保持变量x1和x2的“任 意性” ) ；再归纳结论 解法一：由x 2 x60，得x 2 或x3，不妨设x1x2 2， 则f(x1) f(x2) log2(x 2 1x1 6) log2(x 2 2x2 6) log2 x 2 1x16 x 2
17、2x2 6 log2 x13x12 x23x22 . 因为x1x2 2，所以x1 3x230，x12x2 20. 所以 x13x12 x23x22 1. 所以 log2x 2 1x16 x 2 2x26log 2 x13x12 x23x22 0， 即f(x1) f(x2) 0，f(x1) f(x2) 所以函数f(x) log2(x 2 x6) 在区间 (， 2) 上是减函数 同理，函数f(x) log2(x 2 x6) 在区间 (3 ， ) 上是增函数 解法二：令ux 2x6，则 ylog2u. 因为ylog2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数； 当u为x的减函数时，y为x
18、的减函数 由x 2 x6 0，得x 2 或x 3，借助于二次函数的图像，可知 当x( ， 2) 时，u是x的减函数， 当x(3 ， ) 时，u是x的增函数 所以原函数的单调减区间是( ， 2) ，单调增区间是(3 ， ) 点评： 本题考查复合函数单调性的判定方法一般地，设函数yf(u) ，ug(x) 都是 给定区间上的单调函数若yf(u) ，ug(x)在给定区间上的单调性相同，则函数yfg(x) 是增函数； 若yf(u) ，ug(x)在给定区间上的单调性相反，则函数yfg(x) 是减函数 知能训练 1函数ylog2x2的定义域是 ( ) A(3，)B3 ，) C(4， ) D4 ， ) 2求y
19、log0.3(x 22x)的单调递减区间 3求函数ylog2(x 24x) 的单调递增区间 答案： 1. 要使函数有意义，需log2x20， log2x2，x4，因此函数的定义域是4 ， ) ，选 D. 2先求定义域：由x 22x0，得 x(x2) 0，所以x0 或x2. 因为函数ylog0.3t是减函数，故所求单调减区间即为tx 22x 在定义域内的增区间 又tx 22x 的对称轴为x1，所以所求单调递减区间为(2 ， ) 3先求定义域：由x 24x0 得 x(x4) 0，所以x0 或x 4. 又函数ylog2t是增函数，故所求单调递增区间即为tx 24x 在定义域内的单调递 增区间 因为t
20、x 24x 的对称轴为x2， 所以所求单调递增区间为(4 ， ) 拓展提升 探究ylogax的图像随a的变化而变化的情况 用计算机先画出ylog2x，ylog3x，y log5x，ylog 1 2 x，ylog 1 3 x的图像，如图 6. 图 6 通过观察图像可总结如下规律：当a1 时，a值越大，ylogax的图像越靠近x轴； 当 0a1 时，a值越大，y logax的图像越远离x轴 课堂小结 本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和 奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习， 要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题
21、目的形式和难度 作业 1求函数ylg xlg(5 2x) 的定义域 解： 要使函数有意义，只需 lg x0， 5 2x0， 即 x1， x5 2， 解得 1x5 2. 所以函数的定义域是1， 5 2 . 2求函数ylog 1 2 (x 22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明 解： x 22x30， x3 或x 1. 单调减区间是(3， ) ，单调增区间是( ， 1) 证明：设x1，x2(3 ， ) 且x1x2，则y1 log 1 2 (x 2 12x13) ，y2log 1 2 (x 2 22x2 3)， (x 2 12x13) (x 2 22x23) (x2x1)2 (x1x2) x2
22、x13，x2x10,2 (x1x2) 0. (x 2 12x13) (x 2 22x23) 又底数 01 21， y1y20，即y1y2.y在 (3， ) 上是减函数 同理可证y在 (， 1)上是增函数 3已知y loga(2a x) 在 0,1 上是 x的减函数，求a的取值范围 解： 因为a0 且a1， (1) 当a1 时，函数t2a x0 是减函数； 由yloga(2 a x) 在0,1 上是x的减函数，知ylogat是增函数，所以a1； 由x0,1时， 2a x2 a0，得a2，所以 1a2. (2) 当 0a1 时，函数t 2a x0 是增函数； 由yloga(2 a x) 在0,1 上是x的减函数，知ylogat是减函数， 所以 0a 1. 由x0,1时， 2a x2 10，所以 0 a1. 综上所述， 0a1 或 1a 2. 设计感想 本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下 的作用， 侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数 的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证， 这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快 速度，高质量完成教学任务 ( 设计者：路致芳)