2014年高考数学双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题_经典资料(有答案)要点.pdf

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1、2014 年双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题 考点双曲线 典型考法 1 双曲线的最值问题 典型例题 已知点，)02()02(NM动点 P满足条件 ，22|PNPM记动点 P的轨迹 为W (1)求W的方程； (2)若BA、是W上的不同两点，O是坐标原点，求OBOA的最小值 解析(1)由2 2PMPN知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， 实半轴长2a，半焦距c=2 ，故虚半轴长 22 2bca，从而W 的方程为 22 1 22 xy (2x) (2)方法一：分两种情况进行讨论，设BA，的坐标分别为)( 11 yx ，和)( 22 yx ，当 xAB轴时， 2121 yyxx

2、，从而2 2 1 2 12121 yxyyxxOBOA；当AB不 与x垂 直 时 ， 设 直 线AB的 方 程 为mkxy， 与W的 方 程 联 立 ， 消 去y得 022)1( 222 mkmxxk，故 2 2 21221 1 2 1 2 k m xx k km xx，所以 2 4 2 1 OAOB k ， 又2010 2 21 OBOAkxx， 综上所述，OBOA取 得最小值2 方 法 二 ：设BA、的 坐 标分 别 为)()( 2211 yxyx，、，则 22 ()()2 iiiiii xyxyxy(1 2)i， 令 iiiiii yxtyxs，(1 2)i，于是 2 iit s， 且0

3、0 ii st，(12)i， 所 以 ， 1212 OA OBx xy y 1 21 2 2 s st t 1 2 1 2 2ss t t，当且仅当 2121 ttss，即 21 21 yy xx 时不等式取等号，所以OBOA的最小 值是 2 方法三：设BA、的坐标分别为)()( 2211 yxyx，、，则 1212 OA OBx xy y， 因为 12 0x x，要求OBOA的最小值，必须 12 0y y， 22222 1212121212 2 121212 22()2()4 ()44 OA OBx xxxx xx xxx x xx xx x 1212 (2)2x xx x， 当且仅当 12

4、 xx时，OBOA取得最小值2 方法四：注意到 12 0y y， 222222 121212121212 11 () () 22 OA OBx xy yxxxxyyyy 2222222222 112212121212 1111 ()()()() 2(22)() 2222 xyxyyyxxxxxx 2 212 12 222 12 () 2() 12 (22) xx xx xx ，当且仅当 12 xx时，OBOA取最小值2 必杀技：利用求函数最值的方法+双曲线性质 解决与双曲线有关的最值问题须注意： 1最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值 2最值问题的求解策略： (1)总方针

5、：建立目标函数（或目标不等式） (2)具体方法： 转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值 利用基本不等式求最值 还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最 值问题甚至需要多种方法的综合运用 结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线 222 xya，是否有类似的结论，回答 是肯定的，即 结论一：若A，B是等轴双曲线 222 xya的右支上的不同两点，O是坐标原点， 则OA OB的最小值为 2 a 对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论： 结论二：

6、 实战演练 1P是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点，MN、分别是圆 22 (5)4xy和 22 (5)1xy上的点，则PMPN的最大值为 2已知双曲线C 的方程为 22 22 1(00) yx ab ab ，离心率 5 2 e，顶点到渐近线 的距离为 2 5 5 (1)求双曲线C 的方程； (2)如图 8-2-1，P 是双曲线C 上一点， A，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若APPB， 1 2 3 ，求AOB面积的取值范围 .w.k .s.5. 3已知双曲线 1 C： 22 22 1(0) 2 xy a aa ，抛物线 2 C的顶点 在原点O，又 2

7、C的焦点是 1 C的左焦点 1 F (1)求证： 1 C与 2 C总有两个不同的交点； 图 8-2-1 (2)是否存在过 1 C的焦点 1 F的 2 C的弦AB， 使A O B的面积有最大值或最小值？若有， 求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由 参考答案： 19 . 提示：方法一：P 是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点， 1 F(5，0)、 2 F(5，0) 是两个焦点， 则 12 |PFPF=6，又MN、分别是圆 22 (5)4xy和 22 (5)1xy 上的点，PMPN 12 | 2(| 1)PFPF=9 方法二：设双曲线的两个焦点分别是F1（ 5，0）与 F2（5，

8、0） ，则这两点正好是两圆 的圆心，当且仅当点P 与 M、 F1三点共线以及P与 N、 F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM| |PN|（ |PF1|2）（ |PF2|1） 1019 2(1) 2 2 1 4 y x. (2) 8 2 3 ，. 提示：方法一： 方法二： 3(1)证略 (2) AOB的面积有最小值 2 6a，AB所在直线的方程为3xa；最大值不存在 提示： 典型考法 2 与双曲线有关的定点与定值问题 典型例题 已知双曲线 22 2xy的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F的动直线与双曲线相交 于A B， 两点 (1)若动点M满足 1111 FMF AF BFO（

9、其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程； (2)在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？若存在，求出点C的坐标； 若不存 在，请说明理由 解析(1)方法一：由条件知 1( 2 0) F， 2(2 0) F， 设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 设()Mxy， 则 1 (2)FMxy， 111 (2)F Axy， 122 (2)F Bxy， 1 (2 0)FO， 由 1111 F MF AF BF O得 12 12 26xxx yyy ，即 12 12 4xxx yyy ， ，于是AB的中点坐标 为 4 22 xy ， 当AB不 与x轴 垂 直 时 ， 12 12 2 4 8 2 2

10、 y yyy x xxx ， 即 1212 () 8 y yyxx x 又因为AB，两点在双曲线上，所以 22 11 2xy， 22 22 2xy， 两式相减得 12121212 ()()()()xxxxyyyy，即 1212 ()(4)()xxxyyy 将 1212 () 8 y yyxx x 代入上式，化简得 22 (6)4xy当AB与x轴垂直时， 12 2xx，求得(8 0)M，也满足上述方程所以点M的轨迹方程是 22 (6)4xy 方法二：同方法一得 12 12 4xxx yyy ， 当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是 (2)(1)yk xk代入 22 2xy有 2222 (1

11、)4(42)0kxk xk则 12 xx，是 上述方程的两个实根，所以 2 122 4 1 k xx k 2 1212 2 44 (4)4 11 kk yyk xxk kk 由得 2 2 4 4 1 k x k ， 2 4 1 k y k 当0k时，0y，由 得， 4x k y ，将其代入有 222 2 4 4 4 (4) (4)(4) 1 x y xy y xxy y 整理得 22 (6)4xy 当 0k 时，点M的坐标为(4 0)，满足上述方程 当AB与x轴垂直时， 12 2xx，求得(8 0)M，也满足上述方程 故点M的轨迹方程是 22 (6)4xy (2)方法一：假设在x轴上存在定点(

12、0)C m，使CA CB为常数 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)yk xk 代入 22 2xy有 2222 (1)4(42)0kxk xk 则12xx，是上述方程的两个实根，所以 2 12 2 4 1 k xx k ， 2 122 42 1 k x x k ，于是 2 1212 ()()(2)(2)CA CBxm xmkxx 2222 1212 (1)(2)()4kx xkmxxkm 2222 22 22 (1)(42)4(2) 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2(12 )244 2(12) 11 m km mmm kk 因为CA CB是与k无关的常数，

13、所以440m， 即1m， 此时CA CB=1 当AB 与x轴 垂 直 时 ， 点AB，的 坐 标 可 分 别 设 为( 22 )，(22)， 此 时 (12) (12)1CA CB，故在x轴上存在定点(10)C，使CA CB为常数 方法二：假设在x轴上存在定点点(0)C m，使CA CB为常数，当AB不与x轴垂直 时，由 (1)的方法二知 2 12 2 4 1 k xx k ， 2 12 2 42 1 k x x k 以下同方法一 必杀技：遵循“一选、二求、三定点”的原则 本节的注意事项参见典型考法2，这里不再赘述本例实质上反映了圆锥曲线焦点弦的 一个性质，将双曲线 22 2xy推广到一般双曲

14、线 22 22 1 xy ab ，便有下面的结论： 结论 1： 若将双曲线换为椭圆或抛物线，则有类似结论： 结论 2： 结论 3： 读者自行完成可以上结论，在此不再赘述 在平时的解题中，我们在掌握问题的基本求 解方法后， 还有必要对问题进行联想、类比和推广，搞清问题的内涵和外延，挖掘出问题的 本质特征， 触类旁通， 这样才能充分发挥问题的知识功能，不断提高自己分析问题和解答问 题的能力 实战演练 1已知 12 2,0 ,2 0FF， ，点 12 2,PPFPFPE满足记点 的轨迹为， (1)求轨迹 E 的方程； (2)若直线l过点2F且法向量为(1)na，直线与轨迹E交于PQ、两点 过PQ、作

15、y轴的垂线,BAQBPA、垂足分别为、记|ABPQ，试确定 的取值范围； 在x轴上是否存在定点M，无论直线 l绕点 2 F怎样转动，使0MP MQ恒成立？ 如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由 2已知点 100 (,)P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb （b为正常数）上任一点， 2 F为双曲线的 右焦点，过 1 P作右准线的垂线，垂足为A，连接 2 F A并延长交y轴于 2 P w ww (1)求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程； (2) 设 轨 迹E与x轴 交 于BD、两 点 ， 在E上 任 取 一 点 111 ,(0)Q x yy（）， 直 线 QBQD，分别交y轴

16、于MN，两点求证：以MN为直径的圆过两定点 3A、B 为双曲线1 94 22 yx 上的两个动点，满足0OBOA (1)求 22 11 OBOA 的值； (2)动点 P 在线段 AB 上，满足0OP AB，试问点P 能否在定圆上 参考答案： 1(1) )1(1 3 2 2 x y x. (2) 2 (13) 3 ，. 提示：由直线 l的方程与双曲线方程联立并利用韦达定理可得 2 |1 1 | PQ ABa （3 2 a） ，故)3 3 2 , 1( 存在定点( 1 0)M，满足条件提示：设存在点)0,(mM满足条件，同可得 MP MQ0 3 )54(3 2 2 2 m a am ， 得0)54

17、()1(3 222 mmam对任意3 2 a 恒成立，所以 054 01 2 2 mm m ，解得 1m 2(1) 22 22 1 225 xy bb . (2) 提 示 ： 不 妨 设(20 )Bb，(20)Db ， 则 易 得 1 1 2 ( 0) 2 by M xb ， 1 1 2 (0) 2 by N xb ，于是，以MN为直径的圆的方程为： 2 11 11 22 ()()0 22 byby xyy xbxb ， 令0y得 ： 22 2 1 22 1 2 2 b y x xb ， 而 11,Q xy（）在 22 22 1 225 xy bb 上，则 222 11 2 2 25 xby，

18、所以5xb，即以MN为直径的圆过两定点 ( 5 ,0),(5,0)bb 3(1) 5 36 . (2) P 在以 O 为圆心、 5 56 为半径的定圆上提示：由三角形面积公式， 得 2222 OPABOAOB，即 22222 OPOAOBOAOB即 2 22 11 1OP OAOB ，利用 (1)即得 5 362 OP 典型考法 3 双曲线与直线 典型例题 已知以原点 O为中心， )0,5(F为右焦点的双曲线 C的实轴与焦 距之比为25： (1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； (2)如图8-2-2，已知过点 11 (,)M xy的直线 1 l： 11 44x xy y与过 点 22(,)

19、N xy（其中21xx）的直线2l：2244x xy y的交点E在双 曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求 OG OH的值 解析(1)设 C 的标准方程是 22 22 1(00) xy ab ab ，则由题意得5c， 2 5 a c ， 因此 2a ， 22 1bca，所以C 的标准方程为 2 2 1 4 x y， C 的渐近线方程为 .0202, 2 1 yxyxxy和即 (2)方法一：如图8-2-5，由题意，点),(EEyxE在直线1l： 11 44x xy y和2l： 22 44x xy y上，因此有 EEE xxyyxx 211 ,4444 2E yy，故点M

20、、N 均在直线 44yyxx EE 上，因此直线MN 的方程为44 EE x xy y，设 G、H 分别是直线MN 与 渐近线02yx及02yx的交点，由方程组 44 20 EE x xy y xy 及 44 20 EE x xy y xy ， 图 8-2-2 解得 4 2 2 2 G EE G EE x xy y xy ， 4 2 2 2 H EE H EE x xy y xy ，故 4422 2222 EEEEEEEE OG OH xyxyxyxy 22 12 4 EE xy ， 因 为 点E在 双 曲 线 2 2 1 4 x y上 ， 所 以 ， 有 22 44 EE xy， 从 而 2

21、2 12 3 4 EE OG OH xy 方 法 二 ： 设),( EE yxE， 由 方 程 组 得 11 22 44 44 x xy y x xy y ， 解 得 21 1221 4() E yy x x yx y ， 12 1221 E xx y x yx y ， 故直线 MN 的方程为 11 () 4 E E x yyxx y ， 注意到 11 44 EE x xy y， 因此，直线MN 的方程为44yyxx EE 下同方法一 必杀技：综合运用基础知识与基本方法 本题主要考查双曲线的标准方程、渐近线方程等基础知识；并以对这些基础知识的考查 为依托， 考查了对解析几何的基本思想的理解与掌

22、握情况及综合运算能力、探究意识与创新 意识如果进一步探究，易得，本题中的直线 1 l、 2 l与椭圆 2 2 1 4 x y相切，而直线MN 是双曲线1 4 2 2 y x 的切线，于是，我们提出如下问题： 答案： 22 OG OHab， 直线MN是双曲线 22 22 1 xy ab 的切线，且还可求得GOH 的面积为ab证明过程留给读者自行完成，这里不再赘述 实战演练 1设直线l：ykxm（其中,k m为整数）与椭圆 22 1 1612 xy 交于不同的两点A、 B，与双曲线 22 1 412 xy 交于不同的两点C、D，问是否存在直线l，使得0ACBD 成立，若存在，指出这样的直线有多少条

23、？若不存在，请说明理由 2已知双曲线 22 22 1 xy ab 右支上任意一点E作抛物线 2 2(0)ypx p的两切线， 两切点M，N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G，H两点，试问： (1)是否存在正实数p，使得OG OH为定值？ (2)是否存在正实数p，使得 22 11 |OGOH 为定值？ 3已知双曲线C： 2 2 1 2 x y (1)已知点M的坐标为(0 1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点， 记MP MQ求的取值范围； (2)已知点D、E、M的坐标分别为( 21)，、(21)，、(0 1)，P为双曲线C上在 第一象限内的点记 l为经过原点与点P的直线，s为D

24、EM 截直线 l所得线段的长试 将s表示为直线l的斜率k的函数 参考答案： 1存在直线ykxm，其中 101 000 kkk mmm ， 000 321 kkk mmm ， 0000 0123 kkkk mmmm ，共 9 条 提示：方法一：将直线 l的方程分别与椭圆、双曲线的方程联立方程组，并利用韦达定 理及0ACBD可得 分别讨论0k及0m的对应情形，即可得所求结果 方 法 二 ： 设 11()A xy，22()B xy，33()C xy，44()D xy， 利 用 点 差 法 可 得 1212 4 () 3 xxk yy， 3434 ()xxk yy，再由0ACBD可得 1234 xxx

25、x， 1234 yyyy，因此，便有 1212 4 () 3 k yyyy，所以0k或 1212 0xxyy若 12 0xx，则点A与B关于原点对称，此时直线AB过原点， 有0m因此，有0k及0m以下同方法一 注：我们可将本题推广为： 结论 1： 结论 2： 以上结论的证明，读者可自行完成 2(1)不存在。提示： (2)不存在，同 (1)的方法 3(1) (1，。 (2) 2 2 2 2 21 1(0 12 2112 1() 22 kk k s k k kk kk ， ， 提示： 若 P为双曲线 C 上第一象限内的点， 则直线l的斜率 2 (0) 2 k，由计算可得，当 1 (0, 2 k时，

26、 2 2 2 1 1 s kk k ；当 12 () 22 k，时 ， 2 2 21 1 k s kk kk ， s表 示 为 直 线l的 斜 率k的 函 数 是 2 2 2 2 21 1(0 12 2112 1() 22 kk k s k k kk kk ， ， 典型考法 4 双曲线与圆 典型例题 已知双曲线 C： 22 2 1(0 ) 2 xy a a 的实轴长与焦距的比为13： (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l是圆O： 22 2xy上动点 0000 ()(0)P xyx y，处的切线，l与双曲线C交 于不同的两点 A，B，证明AOB的大小为定值 解析(1)由题意，得 22 2 3

27、 ca c a ，解得1a，3c，所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x (2)方法一：点 0000 ,0P xyx y在圆 22 2xy上，则圆在点 00 ,P x y处的切线 方程为 00 2x xy y，由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820xxx xx， 切线l与双曲线 C 交于不同的两点A、 B， 且 2 0 02x， 2 0 340x ， 且 222 000 1 6434 8 20xxx， 设 A、 B 两点的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy， 则 0 122 0 4 34 x xx x ， 2 0

28、 12 2 0 82 34 x x x x ， c o s O AO B AOB OAOB ， 且 1212 O AO Bx xy y 1201022 0 1 22x xx xx x y 2 120120122 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 00 22 00 8228 0 3434 xx xx AOB的大 小为90 m 方法二：点 0000 ,0P xyx y在圆 22 2xy上，圆在点 00 ,P xy处的切线方程 为 00 2x xy y由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy得 222 000 344820xxx xx 222 00

29、0 348820xyy xx 切线l与双曲线C 交于不同的两点A、B， 2 0 340x，设 A、 B 两点的坐标分别 为 1122 ,x yxy，则 22 00 121222 00 8228 , 3434 xx x xy y xx ， 1212 0OA OBx xy y， AOB的大小为90 （ 22 00 2xy 且 00 0x y， 22 00 02,02xy ，从而当 2 0 340x时，方程和方程的判别式均大于零） 必杀技：综合运用基础知识与基本方法 本例主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程、向量等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力将本题作

30、进一步的探究，可 得如下结论： 实战演练 1从双曲线 22 1 916 xy 的左焦点F引圆 22 9xy的切线， 切点为T， 延长FT交 双曲线右支于点P若M为线段FP的中点O为坐标原点，则|MOMT 2已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 3 3 yx，左焦点为F，过(0)A a， (0)Bb，的直线为l，原点到直线l的距离是 3 2 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线yxm交双曲线于不同的两点C， D，问是否存在实数m，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 3若动圆 P恒过定点(20)B， ，且和定圆 C： 22

31、 (2)4xy外切 (1)求动圆圆心P的轨迹E的方程； (2)若过点B的直线l与曲线E交于M、N两点， 试判断以MN为直径的圆与直线m： 1 2 x是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由 参考答案： 1 1. 提示：如图8-2-3， 注：本题可进一步推广，具体为： 结论一： 结论二： 2(1) 2 2 1 3 x y. (2)32m . 提 示 ： 把 yxm代 入 22 33xy中 消 去y， 整 理 得 22 2x6mx3m30 设 11 C xy(,)， 22 D xy(,)则 12 3xxm， 2 12 33 2 m x x， (2 0)F，因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以0FC FD，可得 1212 x2x2y y0()()，把 11 yxm， 22 yxm代入，解得：m32，由 0，得 2 m2，m32满足0 3 (1) 2 2 1(0) 3 y xx. (2) 相交，且截得劣弧所对圆心角的弧度数为 2 3 提示： 注：本题也可利用方程从代数角度换算来判断，即设l的方程，利用弦长公式和点到直线距 离公式得圆心距和半径，直接比较可得，读者可自行完成，不再赘述