2014竞赛第二讲一般物体的平衡答案.pdf

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1、2014 第二讲一般物体的平衡 一、相关概念 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛米”。一般规定逆时针方 向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即M=0 ，或 M逆=M顺。 （四）重心：计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、 割补法： 把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或 反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法： gmgm g

2、xmgxm x 21 2211 ，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 二、常用方法 巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式 子简化得多； 复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； 无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理， 或者助物体重心公式计算。 三、巩固练习 1. 如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R；匀质棒B质量为 m 、长度为l。求它的重心。 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心C。C在 AB连线上，且AC M=B

3、C m ； 第二种方法是： 将棒锤看成一个对称的“哑铃” 和一个质量为-M的球A的 合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在 AB连线上，且BC （ 2M+m ） =CAM。不难看出两种方法的结果都是 mM l RM BC 2 。 2. 将重为 30N的均匀球放在斜面上, 球用绳子拉住 , 如图所示 . 绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面 倾角为 37 0. 求： (1) 绳子的张力 . (2) 斜面对球的摩擦力和弹力. 答案：（ 1）10N；（ 2）10N，30N 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos(37sin 20 RRTmgR， 得T=10N; （2）取球心为转

4、轴得，f=T=10N; 取C点为转轴： 037sin)37cos( 00 NRRRf，得N=30N. A B C mg Mg （M+m ）g R+l/2 A C B A C （2M+m ）g Mg F R A B 3. 个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为, 如果在球上加 一个竖直向下的力F，如图所示问；力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动? 解 当球开始转动时, 12 ff，达到最大静摩擦 12 21 FGNf Nf 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程. 12 Fsf rf r 因 12 ff，为最大静摩擦 : 11 22 fN

5、fN 将以上方程联立可得: 2 () (1) (1) FG sr F 4. 如图所示 , 均匀杆的A端用铰链与墙连接, 杆可绕A点自由转动 , 杆的另一端放在长方形木块上, 不计木 块与地之间的摩擦力, 木块不受其它力作用时, 木块对AB杆的弹力为 10N,将木块向左拉出时, 木块对杆 的弹力为 9N,那么将木块向右拉出时, 木块对杆的弹力是多少? （答案： 11.25N ） 解: 木块静止时弹力为10N，可得杆重G=20N 向左拉时 :N1Lcos+N1Lsin=G 2 L cos, 或N1sin= 2 1 Gcos -N1cos 向右拉时 :N2Lcos=N2Lsin+G 2 L cos,

6、 或N2sin=N2cos- 2 1 Gcos 两式相比得 10 9109 22 NN , 得N2=11.25N 5. 有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上, 另一端用水平轻绳BC 拉住 .板上依次放着1、2、3 三上圆柱体 , 半径均为r, 重均为G. 木板与墙的夹 角为( 如图所示 ). 一切摩擦均不计,求BC绳的张力 . 答案： ) cos sin21 cos1 1 ( 3 L Gr T 解: 此题的解法很多, 同学们可体会到取不同的研究对象, 问题的难易程度不同. 解法 1: 对圆柱体一个一个分析, 分别计算出圆柱体的弹力, 再对木板分析, 有力矩平衡求出BC绳的 张力

7、.比较麻烦 . 解法 2: 把三个球作为整体, 可求出板对三个球的弹力, 再对板有力矩平衡求出BC绳的张力 . 但弹力 的力臂比较难求. 解法 3: 先对三个球分析, 受墙壁的弹力N1=3Gcot. 再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T, 重力 3G,A点的作用力N(N 对A点的力矩为零 ). 对A点, 有力矩平衡)sin2(3 1 rrGADNTAC 式中 cos, 2 tan/LACrAD 有上述四式可行) cos sin21 cos1 1 ( 3 L Gr T. 6. 如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触

8、，但 无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为。若系统处于平 衡状态， 0和必须满足什么条件？ 分析和解： 这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用 下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C球，受力分析如 图 1 一 7 所示，由 Fcy0 可得 11 31 2() 22 NfG 再隔留 A球，受力分析如图1 一 8 所示，由 FAy=0 得 112 31 0 22 NfNG 由 FAx=0 得 211 31 0 22 fNN 由 EA0 得 12 f Rf R 由以上四式可

9、得 1 12 23 223 N ffG 1 1 2 NG， 2 3 2 NG 而 202 fN， 11 fN 0 23 3 ，23 7. （第六届预赛）有6 个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1 ，2），其 两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6 个薄片架 在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小 突起 Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的 质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6 的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。 答案： mg/42 解析： 本题共有六

10、个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、 A5B5的 受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、A5B5作为一类，对其中一个进行 受力分析，找出规律，求出通式即可求解. 以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1.选碗边 B点为轴，根据力矩平衡有 2 , 2 1 1 i iii N N L NLN得所以 6 5 321 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 NNNN A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 再以 A6B6为研究对象，受力情况如图乙所示，A6B6

11、受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力 和 后 一 个 薄 片A1B1向 下 的 压 力N1、 质 点 向 下 的 压 力mg. 选B6点 为 轴 ， 根 据 力 矩 平 衡 有 LNLmg L N 61 4 3 2 由、联立，解得 N1=mg/42 所以， A1B1薄片对 A6B6的压力为mg/42. 8. （第十届全国决赛）用20 块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单 孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为 4 L h的正方形， 求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽） ， 试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。 解 设 1 号右端面到2 号右端

12、面的距离为x1， 1 2 L x, 2 号右端面到3 号右端面到的距离为x2，以第2 号木 块的左端为转轴力矩平衡: 2 2() 2 L GLGG Lx, 可以得 出 2 4 L x, 同 理 : 第3号 右 与 第4 号 右 端 的 距 离 为x3,以 第3 号 木 块 的 左 端 为 转 轴 力 矩 平 衡 3 23() 2 L GLGG Lx求得 3 6 L x 第k号的右端面的距离为xk，则第k号由力矩平衡知： (1)() 2 k L kGLGkG Lx求得： 解得 2 k L x k 则桥拱长的一半为 11 12 1122 nn k Kk sLL xxx kk 由图 1 可知 1 (

13、1)(1) 4 HnhnL 所以 1 1 41 1 n K s Hnk 。将 n=10 代入可得 1.258 s H 9. 有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0，杆的上端固定在 地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 30，如图所示。 （1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离LLh(5/2 1 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最 大不能越过多少？ （2）若将作用点移到5/4 2 Lh处时，情况又如何？ 解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力 的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。 杆的受力如图57甲所示，由平衡条件得

14、 H S 0)( 0cos 0sin fLhLF mgTN fTF 另由上式可知，F 增大时， f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时， 杆刚要滑倒，此时满足：Nf 解得： hhL mgL Fmas /tan)( tan 由上式又可知， 当 LhhhL66. 0,/tan)( 0 即当时对 F 就没有限制了。 （1）当 01 5 2 hLh，将有关数据代入 max F的表达式得NF385 max （2）当, 5 4 02 hLh无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。 10. 用两个爬犁 ( 雪橇 ) 在水平雪地上运送一根质量为m长为l的均匀横粱， 横梁保持水平，简化示意

15、示图，如图1-41 所示每个爬犁的上端A与被运送 的横梁端头固连，下端B与雪地接触， 假设接触而积很小. 一水平牵引力作 用于前爬犁作用点到雪地的距离用h表示已知前爬犁与雪地间的动摩擦 因数为k1后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k2问要在前后两爬犁都与雪地 接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动h应满足什么条件?水平牵引力 F应多大 ?设爬犁的质量可忽略不计 分析 正确地物体进行受力分析, 应用物体平衡的条件 0 0 F M 是求解平衡问题的基本出发点, 准 确地领会题中隐含信息, 则是求解的关键所在, 本题体现了这一解题思路. 解 整个装置的受力如解图1-24 所示 , 其中N1与N2分别为雪地

16、对爬犁的支持力,f1和f2分别为摩擦力, 根据平衡条件有 12 Fff 12 mgNN 2 1 2 FhN lmgl 根据摩擦力与正压力的关系有: 111 fk N 222 fk N h越大以爬犁与地的前接触点为轴,F的力矩越大 . 故N2越小 .h 最大时对应N2=0 的情况 . 将N2=0 代入以上各式 , 可以解得 : 1 2 l h k 12 12 ()1 2() l kk Fmg lkkh 故:h应满足的条件是: 1 2 l h k 11. 半径为r, 质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上, 两两接触 . 用一个圆 柱形刚性圆筒 ( 上、下均无盖 ) 将此三球套在筒内. 圆筒的半径

17、取适当值, 使得各 球间以及球与筒壁之间保持接触, 但互相无作用力. 现取一个质量亦为m、半径 为R的第四个球 , 放在三个球的上方正中. 四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为 =15/3( 约等于 0.775).问R取何值时 , 用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四 个球一起提起来? 答案：.)1 33 332 ()1 3 32 (rRr 解：当上面一个小球放上去后, 下面三个小球有向外挤的趋势, 互相之间既无弹力也无摩擦力. 因此 可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析, 受力图如图所示. 对上面小球 , 根据竖直方向受力平衡有3N2sin-3f2soc =mg- （或下面

18、的小球，对球与筒接触点为转轴， 力矩平衡N2rsin+mgr=f2r(1+cos)） 再对四个小球为整体, 在竖直方向3f1=4mg- 下面的小球 , 对球心为为转轴，有力矩平衡条件f1r=f2r，得f1=f2- 对下面的小球 , 取f1和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N1N2, 故大球与 小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R最大时：f2=N2- 有上述四式得：128soc 2 +24cos -77=0, 解得： cos = 16 11 , 因 16 11 )/(3 3 2 cosRrr，所以 rR)1 33 332 (。 但上面的小球不能太小, 否则上

19、球要从下面三个小球之间掉下去, 必须使rR)1 3 32 (. 故得.)1 33 332 ()1 3 32 (rRr 四、自主招生试题 1. （2009 清华大学）质量为m 、长为 L 的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合， 底端 A、B、 C的间距均为L，如图所示。 (1) 求 OA棒顶端所受的作用力F 的大小。 （2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所 受的作用力F的大小又为多大？ （3）在（ 2）的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数 至少为多大？ 析:(1) 2 a Fhmg 3 (/3) 2 23 l al 226 3

20、 hlal 1362 / () 2334 Fmgllmg (2) 在 OC中点坐一人 12 633 336 FlFlmgl 21 336 22 633 mglFlFl 2 36 3 33 Fmg 21 12 , 63 Fmg Fmg 22 21 3 = 3 FFmg合 （2F） 2. （2010 北大）如图，一个质量M 、棱边长为L 的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立 方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦 因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。 3. （2010 南大强化）如图所示，一个质量

21、均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切， 系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A， 与环面接触点为B。 已知两个物体的质量线密度均为， 直 杆与地面夹角为，圆环半径为R，所有接触点的摩擦 力足够大。求： (1)地给圆环的摩擦力。 (2) 求 A、B两点静摩擦系数的取值范围。 五、备用 1. （第二届全国复赛） 如图所示，匀质管子 AB长为 L， 重为 G， 其 A端放在水平面上， 而点 C则靠在高 2 L h 的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角=45，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦 因数的最小值。 2. （第十届全国预赛）半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M

22、2的重物分别用细绳AD和ACE 悬挂于同一点A, 并处于平衡 , 如图所示 . 已知悬点A到球心的距为L,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦, 求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角. 答案：=arcsin )( 21 2 MML RM 解: 球受重力M1g,AD绳受拉力为T,ACE压力为N, 因重力M1g通过圆心 ,N也通过圆 心（但不是水平方向）, 所以T也通过圆 ( 三力共点 ) ，OA=L. 取整体为研究对象对A点 的力矩平衡 ,M1gOB=M2gBC, 或M1gLsin=M2g(R-Lsin), 得 =arcsin )( 21 2 MML RM . h B C A 3. 如图所示， 一根

23、细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等， 两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使 两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90 ，且C端正好在A端的正下方。 （1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。 （2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。 答案：（1）F的方向与AC夹角范围 18 .24 -45 间； （2） 21 2 2 2 1 8102 4 1 mmmmgF 解 （1）设F的方向与AC夹角为， 如果当m1质量很小时，AB对BC的

24、作用力沿AB方向， 则F的方向必交于AB的中点，=45 -tan -1 2 1 =18 .24 ； 如果当m2质量很小时，则F的方向沿BC方向，=45 。 所以F方向的范围是=18 .24 -45 间。 （2）以A为转轴，对两棒有：sin245sin 2 )( 0 21 LF L gmm- 以B为转轴，对BC有：)45sin(45sin 2 00 2 LF L gm- sin(45-)=sin45cos -cso45sin- 有式得F的大小： 21 2 2 2 18102 4 1 mmmmgF； F的方向与竖直线的夹角= 12 21 1 3 tan mm mm . 可见，m1=0时，= 3 1

25、 tan 1 18 .24 ；m2=0时，=1tan 1 45 . 4 如图两把相同的均匀梯子AC和 BC ，由 C 端的铰链连起来，组成人字形梯子，下端A 和 B相距 6m ，C端离水平地面4m ，总重 200 N，一人重 600 N，由 B端上爬， 若梯子与地面的静摩擦因数0.6 ， 则人爬到何处梯子就要滑动？ 解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状 态： AB=6m，CD=4m ， AC=BC=5m 设人到铰链C的距离为l 满足0F，0M 所以 12ACBCNN GGGFF 12ff FF 11 1 cos 2 BCNN G lGBDFCDFBD 整理后：

26、 12 400 NN FFN，2.5lm 所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动 5. 架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦 因数分别为1、2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案： 1 211 2 1 tan） 解法 1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为，则有f1= 1N1, f2=2N2（同时达到最大，与上 题有区别） 水平方向：1N1=N2， 竖直方向：2N2+N1=G， 得：G= 2N2+N2/1- 取A点为转轴： 0cossincos 2 222NLLNG L - 解得 1 21 2 1 tan，即 1 21 1 2 1 ta

27、n。 解法 2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点） 则有： tan1=1,tan2=2， 有几何关系： 21tan 2 1 cot 2 1 222 tan EB DE AH DH AH DEDH AC BC ， 可解得： 1 21 1 2 1 tan。 6. 如图所示梯子长为2l, 重量为G，梯子上的人的重量为G，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹 角为, 梯子下端与地面间的摩擦因数为, 梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h 值 解 杆的受力情况如图所示： 由于杆静止， 0,0FM coscos2 sin Nf NGG GLG hN L fN 解方程可以得出

28、： 2() tanl GGGl h G （原答案有误） 所以，只要 2() tanl GGGl h G ，梯子就不会滑动。 7. 如图所示，方桌重G=100 N，前后腿与地面的动摩擦因数20.0，桌的 宽与高相等。求： (1) 拉力 F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。 (2) 设前、后腿与地面间的静摩擦因数60.0 0 。 在方桌的前端用多大水平 力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？ 8. 如图所示， 一根细棒AB，A端用绞链与天花板相连,B端用绞链与另一细棒BC相连，二棒长度相等 限 于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力( 与AB， BC在一个平面内 ) 可使

29、二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直且C在A端的正下方 (1) 不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?试说明理由 (2) 如果AB棒的质量为m 1，BC棒质量为 m 2求此外力的大小和力向 (3) 此时 BC棒对AB棒的作用力的大小是多少 解(1) 外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上 . 将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力F的力矩 须产生逆时针力矩。即力F应指在AC线的右侧。 以BC为研究对象，B点为轴 ,BC的重力有逆时针力矩, 外力F的力矩须产生顺时针力矩. 即F应在 BC以上。 (2) 以 BC为研究对象 , 合力为 0, 合力矩为 0, 角 0

30、45如解图所示 0 21 0 22 coscos45 sinsin 45 FGN FNG 由方程可得 : 22 1122 1 2810 4 Fgmm mm 求 F 的方向可以将AB和BC看作一个整体 . 以A点为轴力矩平衡 ( 如解图 1-17-2 所示 ): 0 12 2 sin()sin 45 2 L FLGG 可以求出 12 22 1122 sin 2810 mm mmmm 即 12 22 1122 arcsin 2810 mm mmmm (3)BC 杆对 AB杆的力可以分解为 12 ,NN其反作用力为 12 ,N N 如解图 1-17-3 所示： 以A点为轴，AB力矩平衡。 0 11

31、sin 45 2 L GN L 以 C点为轴， BC力矩平衡： 0 22 sin 45 2 L GN L 由可得： 1 1 2 4 m g N 2 2 2 4 m g N 由于 2 N与N2为相互作用力，所以 2 2 2 4 m g N BC对AB的作用力为 12 ,NN的合力为： 22 12 2 2 mm C 图 C 解图 1-17-3 F G2 G1 C B A 解图 1-17-1 F G2 N1 N2 C B A 解图 1-17-2 F GG 9. 在竖直墙面L有两根相距为2a的水平木桩A和B，有一细木棒置于A之上 ,B之下时与竖直方向 成角静止，棒与A,B的摩擦因数为 0, 现由于两木

32、桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠.如图所示，求此 时棒的重心的位置离A桩的距离 解 对棒受力分析 . 由棒静止 ,合力为 0, 12 12 sin cos NGN ffG 设重心到 A的距离为x, 分别以 B点和 A点为轴 , 合力矩为0可得 : 2 1 2(2)sin 2sin NaGax NaG x 又有 101 202 fN fN 以上三组方程联立可得: 0 cot (1)xa 解法 2 “恰好”不下坠时，A、B两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力RA、RB和重力G必 共点，受力分析如右图（其中C为重心， m为最大摩擦角） 对 AOC ，有 cos()sin m ACAO 对 AOB ，有 2 sin2cos mm aAO 针对两式消 AO 解 AC即可（注意： m = arctan） 答案： 0 cot (1)xa。