圆锥曲线综合问题及答案..pdf

《圆锥曲线综合问题及答案..pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线综合问题及答案..pdf（40页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、圆锥曲线的综合问题 1 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立， 消去一个未知数， 得到一个一元二次方程 若 0 ， 则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交； 当 0 时，直线与双曲线相切； 当 b0)为动点， F1， F2分别为椭圆 x 2 a 2y 2 b 21 的左、右焦点已知 F1PF2为等腰三角形 (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足 AM BM 2，求点 M 的轨迹方程 【突破训练 1】 (2012 四川)如图，动点 M 与两定点

2、 A(1,0)、B(2,0)构成 MAB， 且MBA2MAB.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程； (2)设直线 y2xm 与 y 轴相交于点 P， 与轨迹 C 相交于点 Q、 R， 且|PQ|PR|， 求 |PR| |PQ|的取值范围 【突破训练 2】(2011江西卷 )已知过抛物线 y 22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直 线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10) 点 M(x0，y0)在抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A， B 重合于 O)当 x012时，切线 MA 的斜率为 1 2. (1)求 p 的值

3、； (2)当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 (A，B 重合于 O 时，中点 为 O) 题型二圆锥曲线中的范围、最值问题 【思路总结】求最值或范围常见的解法：(1)几何法若题目的条件和结论能明显 体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法若题目的条件和 结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数 最值常用的代数法有配方法、 判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、 有界性法等 【例 2】(2013广东)已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线 l： xy20 的距离为 3 2 2 .设 P 为

4、直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求 |AF| |BF|的最小值 【突破训练 4】 （2013 新课标 1（理） ）已知圆 M : 22 (1)1xy,圆 N: 22 (1)9xy,动圆 P 与 M 外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. ()求 C 的方程 ; ()l是与圆P,圆M都相切的一条直线 ,l 与曲线 C交于 A,B 两点,当圆 P的半径最 长时,求|AB|. 【突破训练5】 （201

5、3 新课标数学（理）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的右焦点 F 作直30x y交M于,A B两点 ,P为AB的中 点,且OP的斜率为 1 2 . ()求M的方程 ; (),C D 为M上的两点 ,若四边形ABCD的对角线CDAB,求四边形ABCD面积 的最大值 . 【变式训练 6】(2013浙江)如图，点 P(0，1)是椭圆 C1： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的一 个顶点， C1的长轴是圆 C2：x2y24 的直径 l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条 直线，其中 l1交圆 C2于 A，B 两点， l2交椭圆 C1于另一点 D.

6、 (1)求椭圆 C1的方程； (2)求ABD 面积取最大值时直线l1的方程 【变式训练7】(2012浙江)如图，椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 1 2，其 左焦点到点 P(2,1)的距离为10.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且 线段 AB 被直线 OP 平分 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求ABP 面积取最大值时直线l 的方程 【突破训练 8】(2012 年长春模拟 )已知椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)与直线 xy1 0 相交于 A，B 两点 (1)当椭圆的半焦距 c1，且 a 2、b2、c2 成等差数列时，

7、求椭圆的方程； (2)在(1)的条件下，求弦 AB 的长； (3)当椭圆的离心率 e满足 3 3 e 2 2 ， 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点O 时， 求椭圆长轴长的取值范围 【变式训练 9】(2013课标全国 )平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)右焦点的直线 xy30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1 2. (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面 积的最大值 题型三圆锥曲线中的定点、定值问题 【思路总结】定点、定值问题

8、必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可 以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量 积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、 定值化 解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据 等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 【例 3】(2012福建)如图，等边三角形OAB 的边长为 8 3，且其三个 顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上 (1)求抛物线 E 的方程； (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q， 证明 以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点 【突破训练 1

9、0】 （2013 年安徽（理）设椭圆 22 22 :1 1 xy E aa 的焦点在 x轴上 ()若椭圆E的焦距为 1,求椭圆E的方程 ; ()设 12 ,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点 ,直线 2 F P 交y轴与点Q,并且 11 F PFQ ,证明:当a变化时 ,点p在某定直线上 . 【突破训练 11】(2012 北京东城 11 校联考 )已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正 半轴的抛物线上有一点A 1 2，m ，A 点到抛物线焦点的距离为 1. (1)求该抛物线的方程； (2)设 M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP， M

10、Q，求证： PQ 恒过定点 (x02，y0)； (3)直线 xmy10 与抛物线交于 E、F 两点，在抛物线上是否存在点N，使得 NEF 为以 EF 为斜边的直角三角形？ 【突破训练 12】(2012 济南三模 )已知直线 l：yx1，圆 O：x2y23 2，直线 l 被圆截得的弦长与椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的短轴长相等，椭圆的离心率 e 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M 0， 1 3 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否 存在一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T？若存在， 求出点 T

11、 的坐标；若不存在，请说明理由 【突破训练 13】(2012 湖南)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1上的点均在圆 C2：(x 5) 2y29 外，且对 C 1上任意一点 M，M 到直线 x2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值 (1)求曲线 C1的方程； (2)设 P(x0，y0)(y0 3)为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线C1 相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在直线 x4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 【突破训练 14】已知椭圆 C： x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 3 ，过右焦点 F 的 直线

12、l 与 C 相交于 A，B 两点当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2 2 . (1)求 a，b 的值； (2)C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若 存在，求出所有的P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由 【突破训练 15】 (2013安徽理， 18)设椭圆 E： x 2 a 2 y 2 1a 21的焦点在 x 轴上 (1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1、F2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1PF1Q，证明：

13、当 a变化时，点 P 在某条定直线上 【突破训练 16】 （2013 陕西（理）已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; () 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是PBQ的角平分线 , 证明直线 l 过定点 . 【突破训练 17】(2012 山西四校联考 )已知椭圆 C： x 2 a 2y21(a1)的上顶点为 A， 右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：(x3)2(y1)23 相切 (1)求椭圆 C 的方程； 来源:Zxxk.Com (2) 若不过点 A

14、的动直线 l 与椭圆 C交于 P，Q两点，且 AP AQ 0. 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 题型四圆锥曲线中的探索性问题 【例 4】(2011 重庆改编 )如图，椭圆的中心为原点O，离心率 e 2 2 ，且a 2 c 2 2. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点 P 满足： OP OM 2ON ，其中 M、N 是椭圆上的点，直线OM 与 ON 的斜率之积为 1 2.问：是否存在两个定点 F1，F2，使得 |PF1|PF2|为定值？若存 在，求 F1，F2的坐标；若不存在，说明理由 【突破训练 18】 （2013 年上海市春季高考）已知抛物线 2 4C yx：的焦点为F.

15、(1)点 A P、 满足2APFA.当点A在抛物线 C 上运动时 ,求动点P的轨迹方程 ; (2)在 x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线2yx的对称点在抛物线C 上?如果 存在,求所有满足条件的点Q的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 . 【突破训练 19】 （2013 北京（理）已知 A、B、C 是椭圆 W: 2 2 1 4 x y上的三个 点,O 是坐标原点 . (I)当点 B 是 W 的右顶点 ,且四边形 OABC 为菱形时 ,求此菱形的面积 ; (II)当点 B 不是 W 的顶点时 ,判断四边形 OABC 是否可能为菱形 ,并说明理由 . 【突破训练20】 （2013 湖北（理） ）如

16、图 ,已知椭圆 1 C 与 2 C 的中心在坐标原点 O, 长轴均为MN且在 x轴上 ,短轴长分别为 2m,2n mn ,过原点且不与 x 轴重合的 直线 l 与 1 C , 2 C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B ,C ,D .记 m n ,BDM 和 ABN的面积分别为 1 S 和 2 S . (I)当直线 l 与y轴重合时 ,若 12 SS ,求的值; (II)当变化时 ,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得 12 SS ?并说明理由 . O x y B A C D M N 【突破训练 21】 (2012济南模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，经过点 (0， 2)且斜 率为 k

17、 的直线 l 与椭圆 x 2 2 y21 有两个不同的交点P 和 Q. (1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数 k，使得 向量OP OQ 与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由 【突破训练 22】(2012 年安庆模拟 )已知直线 l：xy80，圆 O：x2y236(O 是坐标原点 )，椭圆 C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 e 3 2 ，直线 l 被圆 O 截得 的弦长与椭圆的长轴长相等 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点(3， 0)作直线 l， 与椭圆 C 交于 A， B 两点

18、，设OS OA OB (O 是坐标原点 )， 是否存在这样的直线l，使四边形OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由 【突破训练 23】(2013 福建厦门质检 )已知椭圆 C： x 2 a 2y 2 3 1(a10)的右焦点 F 在圆 D：(x2)2y21 上，直线 l：xmy3(m0) 交椭圆于 M，N 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若OM ON (O 为坐标原点 )，求 m 的值； (3)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1(N1与点 M 不重合 )，且直线 N1M 与 x 轴交于点 P，试问 PMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大

19、值；若不存在， 请说明理由 【突破训练 24】 （2013江西（理） ） 如图,椭圆 22 22 +=1( 0) xy Ca b ab ：经过点 3 (1, ), 2 P离 心率 1 = 2 e,直线 l 的方程为=4x. (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) AB是经过右焦点F的任一弦 (不经过点P),设直线AB与直线 l 相交于点 M,记,PA PB PM的斜率分别为 123 ,.k k k 问:是否存在常数,使得 123 +=.kkk ?若存 在求的值;若不存在 ,说明理由 . 圆锥曲线的综合问题参考答案 【例 1】 解(1)设 F1(c,0)， F2(c,0)(c0) 由题意可得 |

20、PF2|F1F2|， 即ac 2b2 2c. 整理得 2 c a 2c a10，得 c a 1 2或 c a1(舍)，所以 e 1 2. (2)由(1)知 a2c，b3c，可得椭圆方程为3x 24y212c2， 直 线PF2方 程 为y 3 (x c) A ， B两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 3x 24y212c2， y3 xc . 消去y 并整理，得5x28cx0，解得x10，x2 8 5c，得方程组的解 x10， y13c， x28 5c， y23 3 5 c. 不妨设A 8 5c， 3 3 5 c ，B( )0，3c . 设点 M 的坐标为 (x，y)，则 AM x8 5c，y

21、 3 3 5 c ， B M (x， y3c) 由 y3(x c) ， 得c x 3 3 y. 于 是A M 8 3 15 y3 5x， 8 5y 3 3 5 x ， BM (x， 3x)由题意知 AM BM2，即8 3 15 y3 5x x 8 5y 3 3 5 x 3x 2， 化简得18x216 3xy150.将 y 18x 215 16 3x 代入cx 3 3 y，得c 10x 25 16x 0， 所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 3xy150(x0) 【1】 解(1)设 M 的坐标为 (x，y)，显然有 x0，且 y0. 当MBA90 时，点 M 的坐标为 (2，

22、3) 当MBA90 时， x2， 且MBA2MAB， 有 tanMBA 2 tanMAB 1tan 2MAB， 即 |y| x2 2 |y| x1 1 |y| x1 2，化简可得 3x 2y230.而点(2， 3)在曲线 3x2y23 0 上， 综上可知，轨迹 C 的方程为 3x2y 230(x1) (2)由 y2xm， 3x 2y230 消去 y，可得 x24mxm230.(*)由题意，方程 (*) 有两根且均在 (1， )内 设 f(x)x 24mxm23，所以 4m 2 1， f 1 1 24mm230， 4m 24 m23 0， 解得 m1， 且 m2. 设 Q、 R 的坐标分别为 (

23、xQ， yQ)， (xR， yR)， 由|PQ|PR|有 xR2m3 m21 ， xQ2m3 m 21 . 所以 |PR| |PQ| xR xQ 2m3 m 21 2m3 m 21 23 1 1 m 2 23 1 1 m 2 1 4 23 1 1 m 2 . 由 m 1，且m2，有1 1 4 23 1 1 m 2 74 3，且 1 4 23 1 1 m 2 7.所以 |PR| |PQ|的取值范围是 (1,7)(7,74 3) 【2】(1)直线 AB 的方程是 y2 2 x p 2 ，与 y 22px 联立，从而有 4x2 5pxp 20，所以 x 1x25p 4 .由抛物线定义得， |AB|x

24、1x2p9，所以 p4， 从而抛物线方程是y 28x.来源:学|科|网 (2)由 p4,4x 25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x11，x24，y1 2 2，y24 2，从而 A(1，2 2)，B(4,4 2)；设OC (x3，y3)(1，2 2) (4,4 2)(4 1,4 2 2 2) 又 y2 38x3，即2 2(2 1) 28(4 1)，即(2 1)24 1，解得 0，或 2. 【3】 (1)因为抛物线 C1：x 24y 上任意一点 (x，y)的切线斜率为 yx 2，且 切线 MA 的斜率为 1 2，所以 A 点坐标为 1， 1 4 ，故切线 MA 的方程为 y 1 2(x

25、 1)1 4. 因为点 M(12，y0)在切线 MA 及抛物线 C2上，于是 y0 1 2(2 2) 1 4 32 2 4 ， y0 12 2 2p 32 2 2p .由得 p2. (2)设 N(x， y)， A x1， x 2 1 4 ， B x2，x 2 2 4 ， x1x2， 由 N 为线段 AB 中点知 x x1x2 2 ， yx 2 1x 2 2 8 .切线 MA， MB 的方程为 yx 1 2 (xx1)x 2 1 4 .y x2 2 (xx2)x 2 2 4 . 由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0x 1x2 2 ，y0x 1x2 4 . 因为点 M(x0，y

26、0)在 C2上，即 x2 04y0，所以 x1x2 x 2 1x 2 2 6 . 由得 x2 4 3y，x0. 当 x1x2 时，A，B 重合于原点 O， AB 中点 N 为 O，坐标满足 x 24 3y. 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2 4 3y. 【例 2】解(1)依题意知 |c2| 2 3 2 2 ，c0，解得 c1. 所以抛物线 C 的 方程为 x 24y. (2)由 y1 4x 2 得 y 1 2x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分 别为 1 2x1， 1 2x2， 所以切线 PA 的方程为 yy1 x1 2 (xx1)，即 yx 1

27、 2 xx 2 1 2 y1，即 x1x2y2y1 0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y20，又点 P(x0，y0)在切线 P A 和 PB 上， 所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20， 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x2y02y0 的两组解，所以直线AB 的方 程为 x0x2y2y00. (3)由抛物线定义知 |AF|y11，|BF|y21，所以 |AF| |BF|(y11)(y21) y1y2(y1y2)1， 联立方程 x0x2y2y00， x 24y， 消去 x 整理得 y 2(2y 0x 2 0)yy 2 00，y1y2 x 2 02y0，

28、y1y2y 2 0， |AF| |BF|y1y2(y1y2)1y 2 0x 2 02y01y 2 0(y02) 22y 012y 2 0 2y05 2 y01 2 29 2， 当 y0 1 2时，|AF| |BF|取得最小值，且最小值为 9 2. 【4】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径 1 r =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半 径 2 r =3. 设动圆P的圆心为P( x, y), 半径为 R. ()圆P与圆M外切且与圆N内 切, |PM|+|PN|= 12 ()()RrrR = 12 rr =4, 由椭圆的定义可知 , 曲线 C是以 M,N为左右焦点 , 场半轴长为 2,

29、短半轴长为3 的椭圆 ( 左顶点除外 ), 其方程为 22 1(2) 43 xy x. ()对于曲线 C上任意一点P( x,y), 由于|PM|-|PN|= 22R2, R 2, 当且仅当圆P 的圆心为 (2,0) 时,R=2. 当圆P 的半径最长时 , 其方程为 22 (2)4xy, 当 l的倾斜角为 0 90 时, 则l 与 y 轴重合 , 可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 0 90 时, 由 1 r R 知 l 不平行 x轴, 设 l 与 x轴的交点为Q,则 | | QP QM = 1 R r , 可求得 Q(-4,0), 设 l :(4)yk x, 由 l 于圆 M相切

30、得 2 |3 | 1 1 k k , 解得 2 4 k. 当k= 2 4 时, 将 2 2 4 yx代入 22 1(2) 43 xy x并整理得 2 7880xx, 解得 1,2 x= 46 2 7 , |AB|= 2 12 1|kxx= 18 7 . 当 k =- 2 4 时, 由图形的对 称性可知 |AB|= 18 7 , 综上,|AB|= 18 7 或|AB|= 2 3. 【5】 【6】解(1)由题意得 b1， a2. 所以椭圆 C1的方程为 x 2 4 y 21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0) 由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线 l1的

31、方程为 ykx1. 又圆 C2：x2y24，故点 O 到直线 l1的距离 d 1 k 21，所以|AB|2 4d 2 2 4k 23 k 21. 又 l2l1，故直线 l2的方程为 xkyk0.由 xkyk0， x 24y24. 消去 y，整理 得(4k 2)x28kx0， 故 x0 8k 4k 2.所以|PD|8 k 21 4k 2.设ABD 的面积为 S，则 S 1 2 |AB| |PD| 8 4k 23 4k 2， 所以 S 32 4k 23 13 4k 23 32 24k 2313 4k 23 16 13 13 ， 当且仅当 k 10 2 时取等号所以所求直线l1的方程为 y 10 2

32、 x1. 【7】 解(1)设椭圆左焦点为F(c,0)， 则由题意得 2c 21 10， c a 1 2， 得 c1， a2. 所以椭圆方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线 AB 的方程为 x0，与不过原点的条件不符， 舍去故可设直线 AB 的方程为 ykxm(m0)，由 ykxm， 3x 24y212 消去 y，整理 得 (34k 2)x28kmx4m2120，(1) 则 64k 2m24(34k2)(4m212) 0， x1x2 8km 34k 2， x1x2 4m 212 34k

33、 2. 所以线段 AB 的中点 M 4km 34k 2， 3m 34k 2 . 因为 M 在直线 OP：y1 2x 上，所以 3m 34k 2 2km 34k 2.得 m0(舍去)或 k 3 2. 此时方程 (1)为 3x 23mxm230，则 3(12m2)0， x1x2m， x1x2m 23 3 . 所以|AB|1k2 |x1x2| 39 6 12m 2.设点 P 到直线 AB 距离为 d，则 d |82m| 3 222 2|m4| 13 . 设ABP 的面积为S，则 S 1 2|AB| d 3 6 m4 2 12m 2 .其中 m(2 3，0)(0,2 3) 令 u(m)(12m2)(m

34、4)2，m2 3，2 3， u(m)4(m4)(m 22m6)4(m4)(m1 7)(m17) 所以当且仅当 m17，u(m)取到最大值故当且仅当m17，S取到 最大值 综上，所求直线 l 方程为 3x2y2 720. 【8】 (1)由已知 2b2a2c2b22c2，又 c1，b22，a23，椭圆 的方程为 x 2 3 y 2 2 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 xy10 x 2 3 y 2 21 得 5x 26x30，x 1x2 6 5， x1 x2 3 5. |AB|2|x1x2|2（x1x2）24x1 x28 3 5 . (3)由 xy10 x 2 a 2y 2

35、b 21 得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，由 4a2b2(a2b2 1)0，得 a 2b21. 此时 x1x2 2a 2 a 2b2，x1 x2 a 2（1b2） a 2b2.以线段 AB 为直径的圆经过坐标 原点 O， OA OB 0，x1 x2y1 y20，2x1 x2(x1x2)10，即 a 2b22a2b2 0，故 b2 a 2 2a 21， 由 e2 c 2 a 2 a 2b2 a 2，得 b2a2a2e2，2a21 1 1e 2.由 3 3 e 2 2 得5 4 a 23 2， 5 2a 6. 【9】 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x 2 1 a 2

36、 y 2 1 b 21 x 2 2 a 2 y 2 2 b 21 ，得 x1x2x1x2 a 2 y1y2y1y2 b 2 0.因为 y1y2 x1x21，设 P(x 0， y0)， 因为 P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1 2，所以 y0 1 2x0，即 y1y2 1 2(x1x2) 所以可以解得a 22b2，即 a22(a2c2)，即 a22c2，又因为 c 3，所以 a 26， 所以 M 的方程为 x 2 6 y 2 3 1. (2)因为 CDAB，直线 AB 方程为 xy30，所以设直线 CD 方程为 y xm， 将 xy30代入 x 2 6 y 2 3 1得： 3x24 3

37、x0， 即A(0， 3)， B 4 3 3 ， 3 3 ， 所以可得 |AB|4 6 3 ；将 yxm 代入 x 2 6 y 2 3 1 得：3x24mx2m26 0， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|CD|2x3x4 24x 3x42 2 3 182m 2， 又因为 16m212(2m26)0，即 30，可得 5k210，即 k20.即直线 l 的方程为 y 2 41 41 (x3) 【23】 (1)由题设知，圆D：(x2)2y21 的圆心坐标是 (2,0)，半径是 1， 故圆 D 与 x 轴交于两点 (3,0)，(1,0)所以，在椭圆中 c3 或 c1，又 b23，来 所以，

38、a212 或 a24(舍去， a 10) 于是，椭圆 C 的方程为 x 2 12 y 2 31. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)；直线 l 与椭圆 C 联立 xmy3， x 2 12 y 2 3 1， 化简并整理得 (m 2 4)y26my30， y1y2 6m m 24，y1 y2 3 m 24. x1x2m(y1y2)6 24 m 24， x1 x2m 2y1y23m(y1y2)93m 2 m 24 18m2 m 2493612m 2 m 24.OM ON ， OM ON 0， 即 x1x2y1y20，得 3612m 23 m 240. m 211 4 ，m 11 2 . (

39、3)M(x1，y1)，N1(x2，y2)，直线 N1M 的方程为 yy1 y2y1 xx1 x2x1. 令 y0， 则 x y1x2x1 y1y2 x1 y1x2y2x1 y1y2 2my 1y23 y1y2 y1y2 6m m 24 18m m 24 6m m 24 24m 6m 4； P(4,0) S PMN 1 2 |FP| |y1 y2| 1 2 1y1y2 24y 1y2 1 2 36m 2 m 242 12 m 242 3 m 21 m 242 2 3 1 m 21 9 m 216 2 3 1 121. 当且仅当 m213，即 m 2时等号成立，故 PMN 的面积存在最大值 1.

40、(或 SPMN 2 3 m 21 m 24223 3 m 242 1 m 24.令 t 1 m 24 0，1 4 ， 则 SPMN2 3 3t2t2 33 t1 6 21 121.当且仅当 t 1 6 0， 1 4 时 等号成立，此时 m 22， 故PMN 的面积存在最大值1 【24】解:(1) 由 3 (1, ) 2 P在椭圆上得 , 22 19 1 4ab 依题设知2ac, 则 22 3bc 代入解得 222 1,4,3cab. 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2) 方法一 : 由题意可设AB 的斜率为k, 则直线 AB 的方程为(1)yk x 代入椭圆方程 22 3412x

41、y并整理 , 得 2222 (43)84(3)0kxk xk, 设 1122 (,),(,)A x yB xy, 则有 22 121222 84(3) , 4343 kk xxx x kk 在方程中令4x得, M 的坐标为 (4,3 )k . 从而 12 123 12 333 3 1 222 , 114 12 yyk kkkk xx . 注意到 ,A F B共线, 则有 AFBF kkk, 即有 12 12 11 yy k xx . 所以 12 12 12 121212 33 311 22 () 1111212 yy yy kk xxxxxx 12 1212 23 2 2()1 xx k x

42、xxx 代入得 2 2 1222 22 8 2 3 43 221 4(3)82 1 4343 k k kkkk kk kk , 又 3 1 2 kk, 所以 123 2kkk . 故存在常数2符合题意 . 方法二 : 设 000 (,)(1)B xyx, 则直线 FB 的方程为 : 0 0 (1) 1 y yx x , 令4x, 求得 0 0 3 (4,) 1 y M x , 从 而 直 线 PM 的 斜 率 为 00 3 0 21 2(1) yx k x , 联 立 0 0 22 (1) 1 1 43 y yx x xy , 得 00 00 583 (,) 25 25 xy A xx , 则直线 PA的斜率为 : 00 1 0 225 2(1) yx k x , 直线 PB的斜率为 : 0 2 0 23 2(1) y k x , 所以 00000 123 000 2252321 2 2(1)2(1)1 yxyyx kkk xxx , 故存在常数2符 合题意 .