《高考数学(理)二轮配套训练【专题2】(3)导数及其应用(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(理)二轮配套训练【专题2】(3)导数及其应用(含答案).pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 3 讲导数及其应用 考情解读1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性 和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用 1导数的几何意义 函数 yf(x)在点 xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率， 其切线方程 是 yf(x0)f(x0)(xx0) 2导数与函数单调性的关系 (1)f (x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x 3 在(， )上单调递增，但 f(x)0. (2)f (x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0 时，则 f(x) 为常函数
2、，函数不具有单调性 3函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围 内讨论的问题 (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没 有 (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此 极值一定是函数的最值 4定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： ? b akf(x)dx k? b af(x)dx； ? b af1(x) f2(x)dx? b af1(x)dx ? b af2(x)dx； ? b af(x)dx? c af(x)dx? b cf(x)dx
3、(其中 a0)与曲线 C 2：x 2y25 2的一个公 共点，若C1在 A 处的切线与C2在 A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 _ 思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方 程 (2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出 答案(1)5xy30(2)4 解析(1)因为 ye 5x(5x) 5e5x， 所以 y|x0 5， 故切线方程为y 3 5(x0)， 即 5xy30. (2)设 A(x0，y0)，则 C1在 A 处的切线的斜率为 f(x0) 3ax2 0， C2在 A 处的切线的斜率为 1 kOA x0 y0， 又 C1在 A 处的切线与C2在
4、A 处的切线互相垂直， 所以 ( x0 y0) 3a 2 0 1，即 y03ax 3 0， 又 ax3 0y01，所以 y0 3 2， 代入 C2： x 2 y25 2，得 x0 1 2， 将 x0 1 2， y0 3 2代入 yax 31(a0)，得 a4. 思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线 ” 与“在点 P 处的切线 ”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点 (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、 切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化以 平行、 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求
5、掌握平行、垂直与斜率之间的关系， 进而和导数联系起来求解 (1)已知函数yf(x)的导函数为f(x)且 f(x)x2f( 3)sin x， 则 f( 3)_. (2)若曲线f(x)xsin x1 在 x 2处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数a 等于 _ 答案(1) 3 64 (2)2 解析(1)因为 f(x)x2f( 3)sin x，所以 f(x)2xf( 3)cos x 所以 f( 3)2 3f( 3) cos 3.所以 f( 3) 3 64 . (2)f (x)sin xxcos x，f( 2)1， 即函数 f(x)xsin x1 在点 x 2处的切线的斜率是 1， 直线 ax
6、2y1 0的斜率是 a 2， 所以 ( a 2)1 1，解得 a 2. 热点二利用导数研究函数的性质 例 2已知函数 f(x)(xa)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 x0,4时，求函数f(x)的最小值 思维启迪(1)直接求 f(x)，利用 f(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间 0,4和所得单调区 间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到 解(1)因为 f(x)(xa)e x，xR，所以 f(x)(xa 1)ex. 令 f (x)0，得 x a1. 当 x 变化时， f(x)和 f(x)的变化情况如下：
7、x ( ， a1)a1(a1， ) f(x)0 f(x) 故 f(x)的单调减区间为( ， a 1)； 单调增区间为(a1， ) (2)由(1)得， f(x)的单调减区间为(， a1)； 单调增区间为(a1， ) 所以当 a10，即 a 1 时， f(x)在0,4上单调递增，故f(x)在0,4上的最小值为f(x)min f(0) a； 当 00 或 f(x)0，即 f(x)0 在1，e上恒成立， 此时 f(x)在1，e上是增函数 所以 f(x)minf(1)2a3，解得 a 3 2(舍去 ) 若 12ae，令 f(x)0，得 x2a. 当 10，所以 f(x)在 (2a，e)上是增函数 所以
8、f(x)minf(2a)ln(2a)13， 解得 ae 2 2 (舍去 ) 若 2ae，则 x2a0)，设 F(x)f(x) g(x) (1)求函数 F(x)的单调区间； (2)若以函数y F(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k 1 2恒成立， 求实 数 a 的最小值； (3)是否存在实数m，使得函数y g( 2a x 2 1) m1 的图象与函数yf(1x 2)的图象恰有四个不 同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由 思维启迪(1)利用 F(x)确定单调区间； (2)kF(x0)，F(x0) 1 2分离 a，利用函数思想求 a 的最小值；
9、 (3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化 解(1)F(x) f(x)g(x)ln x a x (x0)，F(x) 1 x a x 2 xa x 2 . a0，由 F(x)0? x(a， )， F(x)在(a， )上是增函数 由 F(x)0. 又由 G(2) G(2)ln 52 1 2a 2 成立，求实数m 的取值范围 解(1)由已知，得f(x)2ax1 x 2ax 21 x (x0) 当 a0 时，恒有f(x)0，则 f(x)在(0， )上是增函数 当 a0， 故 f(x)在(0， 1 2a上是增函数； 若 x 1 2a，则 f(x)a2成立， 等价于 maa 2f(
10、x) max. 因为 a(4， 2)，所以 2 4 2a，即 m0 2 x，x 0 ， 则 f(a)f(log21 6) _. (2)(2014山东 )直线 y4x 与曲线 yx 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A2 2 B4 2 C2 D4 思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面 积化为定积分 答案(1)7(2)D 解析(1)因为 a? 1 0(e x2x)dx(exx2)|1 0 e11e， f(x) ln x，x0 2 x，x0 ， 所以 f(a)f(log21 6) f(e)f(log26)ln e2( log26)167.
11、(2)令 4xx 3，解得 x0 或 x 2， S ? 2 0(4x x 3) 2x 2x 4 4 2 0844，故选 D. 思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆 运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数 (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分 的上限与下限同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出 (1)计算定积分? 1 0(xx 2)dx_. (2)如图，阴影部分的面积是() A2 3 B923 C.32 3 D. 35 3 答案(1) 1 3 (2)
12、C 解析(1)? 1 0(xx 2)dx(2 3x 3 2 1 3x 3)|1 0 2 3 1 3 1 3. (2)由题图，可知阴影部分面积为? 1 3(3 x22x)dx(3x 1 3x 3 x2)|1 3(3 1 31)(99 9) 32 3 . 1函数单调性的应用 (1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0 在区间 (a， b)上恒成立； (2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0 在区间 (a， b)上恒成立； (3)可导函数f(x)在区间 (a，b)上为增函数是f(x)0 的必要不充分条件 2可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值
13、的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f(x)， “ f(x)在 xx0处的导数 f(x)0”是“ f(x)在 xx0处取得极值”的必要 不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导 函数由负变正的零点是原函数的极小值点 3利用导数解决优化问题的步骤 (1)审题设未知数； (2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域； (4)在定义域内求极值、 最值； (5)下结论 4定积分在几何中的应用 被积函数为yf(x)，由曲线 yf(x)与直线 xa，xb(a0 时， S ? b af(x)dx； (2)当 f(x
14、)0；当 x c，b时， f(x)0； f(x)在(1,2)上是单调减函数， 在(2,3)上是单调增函数， f(x)在 x2 处取得极小值f(2) 1 2ln 2； 又 f(1)1 8，f(3) 9 8ln 3， ln 31，1 8( 9 8ln 3)ln 310， f(1)f(3)， x 1 时 f(x)的最大值为 1 8，x2 时函数取得最小值为 1 2 ln 2. (2)由(1)知当 x1,3时， f(x) 1 8， 故对任意x1,3， f(x)1 8 对任意 t0,2 恒成立，即at1，则不等式e x f(x)ex1 的解 集为 () Ax|x0 Bx|x1 Dx|xex ex0， 所
15、以 g(x)ex f(x)ex为 R 上的增函数 又因为 g(0) e 0 f(0) e0 1， 所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得 x0. 5若函数 f(x)loga(x 3ax)(a0，a 1)在区间 (1 2 ，0)内单调递增，则a 的取值范围是 () A1 4，1) B3 4，1) C(9 4， ) D(1，9 4) 答案B 解析由 x3 ax0 得 x(x2 a)0. 则有 x0， x 2a0 或 xa或a0， 故 f(x)在(5， )内为增函数 由此知函数f(x)在 x5 时取得极小值f(5) ln 5. 12已知 f(x)x 23x1，g(x)a1 x1 x. (1)a2
16、时，求 yf(x)和 yg(x)图象的公共点个数； (2)a 为何值时， yf(x)和 yg(x)的公共点个数恰为两个 解(1)当 a2 时，联立 yf x ， yg x ， 得 x23x1 1 x1 x， 整理得 x3 x2x20(x 1)， 即联立 y0， yx 3x2x 2 x1 ， 求导得 y3x22x10 得 x1 1，x2 1 3， 得到极值点分别在1 和 1 3处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图， 故交点只有一个 (2)联立 y f x ， y g x ， 得 x23x1 a 1 x1 x， 整理得 ax 3x2x(x1)， 即联立 ya， yh x x 3x2x x1 ，
17、 对 h(x)求导可以得到极值点分别在1 和 1 3处， 画出草图 如图 h(1)1，h(1 3) 5 27， 当 ah(1)1 时， ya 与 yh(x)仅有一个公共点(因为 (1,1)点不在 yh(x)曲线上 )， 故 a 5 27时恰有两个公共点 13设函数f(x) ae x(x1)(其中， e2.718 28 , )，g(x)x 2bx2，已知它们在 x0 处有 相同的切线 (1)求函数 f(x)，g(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在t，t1(t3)上的最小值； (3)若对 ? x 2，kf(x)g(x)恒成立，求实数k 的取值范围 解(1)f(x)ae x(x2)，g (x)2xb. 由题意，得两函数在x0 处有相同的切线 f(0)2a，g(0)b， 2ab，f(0)a，g(0)2，a2，b 4， f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2. (2)f (x)2e x(x2)，由 f(x)0 得 x2， 由 f (x)3， t12. 当 30 得 e x1 k，xln 1 k ； 由 F(x)e2时， F(x)在2， )单调递增， F(x)minF(2) 2ke 222 e 2(e2k) 2，即 1 k0， 满足 F(x)min 0. 综上所述，满足题意的k 的取值范围为 1，e2