《高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(2)椭圆、双曲线、抛物线(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(2)椭圆、双曲线、抛物线(含答案).pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读1.以选择、填空的形式考查， 主要考查圆锥曲线的标准方程、性质 (特别是离心率)， 以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考 查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常 在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多 数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档 题，一般难度较大 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称椭圆双曲线抛物线 定义 |PF1|PF2|2a (2a|F1F2|) |PF1|PF2|
2、2a (2a |F1F2|) |PF|PM |，点 F 不在直 线 l 上， PMl 于 M 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 21 (a b0) x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a 0，b0) y 22px (p0) 图形 几 何 性 质 范围|x|a，|y| b |x|a x0 顶点( a,0)(0， b)( a,0)(0,0) 对称性关于 x 轴， y 轴和原点对称关于 x 轴对称 焦点( c,0)(p 2，0) 轴长轴长 2a，短轴长2b实轴长 2a，虚轴长2b 离心率e c a 1 b 2 a 2(0 e1) e c a 1 b 2 a 2(e1) e1 准线x p 2 渐
3、近线y b ax 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 例 1若椭圆 C： x 2 9 y 2 2 1的焦点为 F1， F2， 点 P 在椭圆 C 上， 且|PF2|4则 F1PF2等于 () A30 B60 C120 D150 (2)已知抛物线x 22py(p0)的焦点与双曲线 x 2y21 2的一个焦点重合，且在抛物线上有一 动点 P 到 x轴的距离为m， P 到直线 l： 2xy40 的距离为 n， 则 mn 的最小值为 _ 思维启迪(1)PF1F2中利用余弦定理求F1PF2； (2)根据抛物线定义得m|PF|1.再利用数 形结合求最值 答案(1)C(2)51 解析(1)由题意得 a3，c7，
4、所以 |PF1|2. 在F2PF1中， 由余弦定理可得cosF2PF14 222 2 7 2 242 1 2. 又因为 cosF2PF1(0 ，180 )，所以 F2PF1120 . (2)易知 x 22py(p0)的焦点为 F(0,1)，故 p2， 因此抛物线方程为x24y. 根据抛物线的定义可知m |PF|1， 设|PH|n(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足)， 因此 mn|PF|1|PH |. 易知当 F，P，H 三点共线时mn 最小， 因此其最小值为|FH |1 |14| 5 151. 思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中 要求 |
5、PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求 |PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距 离与到准线的距离相等的转化 (2)注意数形结合，画出合理草图 (1)已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的离心率为 3 2 .双曲线x 2y21 的渐近线与椭 圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 () A. x 2 8 y 2 2 1 B. x 2 12 y 2 6 1 C. x 2 16 y 2 4 1 D. x 2 20 y 2 5 1 (2)如图，过抛物线y 22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其 准
6、线 l 于点 C，若 |BC|2|BF|，且 |AF|3，则此抛物线的方程为() Ay 29x By26x Cy 23x Dy23x 答案(1)D(2)C 解析(1)椭圆的离心率为 3 2 ， c a a 2b2 a 3 2 ， a 2b.椭圆方程为x 24y24b2. 双曲线 x2 y21 的渐近线方程为x y0， 渐近线 x y0 与椭圆 x24y24b2在第一象限的交点为 25 5 b， 2 5 5 b ， 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 25 5 b 25 5 b4， b 25，a24b220. 椭圆 C 的方程为 x 2 20 y 2 5 1. (2)如图，分别过A
7、，B 作 AA1 l 于 A1，BB1l 于 B1，由抛物线的定义知， |AF|AA1|，|BF|BB1|， |BC|2|BF|， |BC|2|BB1|， BCB130 ， A1AF60 . 连接 A1F，则 A1AF 为等边三角形， 过 F 作 FF1AA1于 F1，则 F1为 AA1的中点， 设 l 交 x 轴于 N，则 |NF|A1F1| 1 2|AA1| 1 2|AF|，即 p 3 2，抛物线方程为 y23x，故选 C. 热点二圆锥曲线的几何性质 例 2(1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为 2 2 的椭圆有相同的焦点F1，F2，P 是两曲线的 一个公共点，若F1PF2 3，则 e
8、等于 ( ) A. 5 2 B.5 2 C. 6 2 D3 (2)设 F1，F2分别是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21 (ab0)的左，右焦点，若在直线 x a 2 c 上存在点P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是() A. 0， 2 2 B. 0， 3 3 C. 2 2 ，1D. 3 3 ，1 思维启迪(1)在F1F2P 中利用余弦定理列方程， 然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点 P 坐标为 (a 2 c ，y)，考察 y 存在的条件 答案(1)C(2)D 解析(1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|m，|PF2|n
9、， 且不妨设mn，由 mn2a1，m n2a2得 ma1 a2， na1 a2. 又F1PF2 3， 4c2 m 2n2mn a2 1 3a 2 2， a 2 1 c 2 3a 2 2 c 24，即 1 2 2 2 3 e 24，解得 e 6 2 ，故选 C. (2)设 P a 2 c ，y ，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为 b 2 2c， y 2 ， 当 2 QF k存在时，则 1 F P k cy a 2c2， 2 QF k cy b 22c2， 由 12 FPQF kk 1，得 y 2 a 2c2 2c 2b2 c 2 ，y 20， 但注意到b 22c20，即 2c2b20， 即 3
10、c 2a20，即 e21 3，故 3 3 0，b0)的右焦点为 F，以 OF 为直径作圆交双曲线 的渐近线于异于原点的两点A、B，若 (AO AF ) OF 0，则双曲线的离心率e为 () A2 B3 C.2 D.3 (2)(2014课标全国 )已知 F 为双曲线C： x 2my2 3m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条 渐近线的距离为() A.3 B3 C.3mD3m 答案(1)C(2)A 解析(1)设 OF 的中点为C，则 AO AF 2AC ，由题意得， 2AC OF 0， AC OF，AOAF， 又OAF90 ， AOF 45 ， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45 ， b a
11、tan 45 1， 则双曲线的离心率e1 b a 2 2，故选 C. (2)双曲线 C 的标准方程为 x 2 3m y 2 3 1(m0)， 其渐近线方程为y 3 3mx m m x， 即my x， 不妨选取右焦点F(3m3， 0)到其中一条渐近线xmy0 的距离求解， 得 d 3m3 1m 3. 故选 A. 热点三直线与圆锥曲线 例 3过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左顶点 A 作斜率为2 的直线， 与椭圆的另一个交点为B，与 y 轴的交点为C，已知 AB 6 13BC . (1)求椭圆的离心率； (2)设动直线y kxm 与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线 x4 相交
12、于点Q，若 x 轴上存 在一定点M(1,0)，使得 PMQM，求椭圆的方程 思维启迪(1)根据 AB 6 13BC 和点 B 在椭圆上列关于a、b 的方程； (2)联立直线ykxm 与 椭圆方程，利用 0， PM QM 0 求解 解(1) A(a,0)，设直线方程为y2(xa)，B(x1，y1)， 令 x0，则 y2a，C(0,2a)， AB (x1a， y1)，BC (x1,2ay1)， AB 6 13BC ，x1a 6 13(x1)，y1 6 13(2ay1)， 整理得 x1 13 19a， y 1 12 19a， 点 B 在椭圆上， (13 19) 2 (12 19) 2a 2 b 21
13、， b 2 a 2 3 4， a 2c2 a 2 3 4，即 1e 23 4，e 1 2. (2)b 2 a 2 3 4，可设 b 23t，a24t， 椭圆的方程为3x 24y212t0， 由 3x 24y212t0 ykxm ，得 (34k 2)x28kmx4m212t0， 动直线 ykxm 与椭圆有且只有一个公共点P， 0，即 64k2m24(34k2)(4m212t)0， 整理得 m23t4k2t， 设 P(x1，y1)则有 x1 8km 2 34k 2 4km 34k 2， y1kx1m 3m 34k 2， P( 4km 34k 2， 3m 34k 2)， 又 M(1,0)，Q(4,4
14、km)， x 轴上存在一定点M(1,0)，使得 PMQM， (1 4km 34k 2， 3m 34k 2) (3， (4km)0 恒成立， 整理得 34k2m2. 3 4k 23t4k2 t 恒成立，故t1. 椭圆的方程为 x 2 4 y 2 3 1. 思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联 立方程， 解方程组或利用弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用 “点差法 ”求解 在平面直角坐标系xOy 中，动点 P到两点 (3，0)，(3，0)的距离之和等于4， 设点 P 的轨迹为曲线C，直线 l 过点 E(1,0)且与曲线C 交于 A， B 两点 (1
15、)求曲线 C 的轨迹方程； (2)求 AOB 面积的最大值 解(1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以 (3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2 的椭 圆， 故曲线 C 的方程为 x 2 4 y21. (2)因为直线l 过点 E(1,0)， 可设直线l 的方程为xmy1 或 y0(舍)， 则 x 2 4 y2 1， xmy1， 整理得 (m24)y22my3 0. 由 ( 2m)212(m24)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 解得 y1 m2m 23 m 24， y2 m2m 2 3 m 24. 则|y2y1| 4m 23 m 2 4. 因为 SAOB 1 2|OE|y2y
16、1| 2m 23 m 24 2 m 231 m 23 . 设 g(t)t1 t ，tm 23， t 3. 则 g(t)在区间 3， )上为增函数， 所以 g(t) 43 3 . 所以 SAOB 3 2 ，当且仅当m 0 时取等号 所以 SAOB的最大值为 3 2 . 1对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义 中的定值是标准方程的基础 2椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2By2 1，其中 A、B 是不等的常数， AB0 时， 表示焦点在y 轴上的椭 圆； BA0 时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB0)的焦点弦， F 为抛物线的焦点，A(x1，y1)
17、， B(x2，y2) (1)y1y2 p 2，x 1x2 p 2 4 ； (2)|AB|x1x2p 2p sin 2(为弦 AB 的倾斜角 )； (3)SAOB p 2 2sin ； (4) 1 |FA| 1 |FB|为定值 2 p； (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 真题感悟 1(2013 广东 )已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于 3 2，则 C 的方程是 () A. x 2 4 y 2 5 1 B. x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 2 y 2 5 1 D. x 2 2 y 2 5 1 答案B 解析由题意知： c3，e c a 3 2，a2.b
18、 2c2a29 45，故所求双曲线方程为 x 2 4 y 2 5 1. 2(2014 辽宁 )已知点 A(2,3)在抛物线C：y 22px 的准线上， 过点 A 的直线与 C 在第一象限 相切于点B，记 C 的焦点为F，则直线 BF 的斜率为 () A. 1 2 B. 2 3 C.3 4 D. 4 3 答案D 解析抛物线 y 22px 的准线为直线 x p 2， 而点 A(2,3)在准线上，所以 p 2 2， 即 p 4， 从而 C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入 y2 8x 得 k 8y 2y2k3 0(k 0) ，由于 14 k 8(2k3)0，所以 k 2
19、或 k 1 2. 因为切点在第一象限， 所以 k1 2. 将 k 1 2代入 中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8， 所以点 B 的坐标为 (8,8)， 所以直线BF 的斜率为 4 3. 押题精练 1已知抛物线y 2 2px 的焦点 F 与双曲线 x 2 7 y 2 9 1 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交 点为 K，点 A 在抛物线上且|AK|2|AF|，则 AFK 的面积为 () A4 B8 C16 D32 答案D 解析F(p 2，0)，双曲线 x 2 7 y 2 9 1 的右焦点为 (4,0)， p 2 4，p8，抛物线方程为 y2 16x，K(4,0)，设A(x，y)，|A
20、K|2|AF|? (x4)2y2 2(x 4)22y2，解得 x2y224x160，与 y2 16x 联立，解得x4，y 8， AFK 的面积为32. 2设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右顶点分别为A、B，点 P 在椭圆上且异于A、B 两点， O 为坐标原点 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1 2，求椭圆的离心率； (2)若|AP|OA|，证明：直线OP 的斜率 k 满足 |k| 3. (1)解设点 P 的坐标为 (x0，y0)，y00. 由题意，有 x 2 0 a 2 y 2 0 b 21. 由 A(a,0)，B(a,0)，得 kAP y0 x0a，k B
21、P y0 x0a. 由 kAP kBP 1 2，可得 x 2 0a 22y2 0， 代入 并整理得 (a22b2)y2 00. 由于 y00，故 a2 2b2.于是 e2a 2b2 a 2 1 2，所以椭圆的离心率 e 2 2 . (2)证明方法一依题意，直线OP 的方程为ykx，设点P 的坐标为 (x0，y0)由条件得 y0kx0， x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1. 消去 y0并整理，得x2 0 a 2b2 k 2a2b2， 由|AP|OA|，A(a,0)及 y0 kx0， 得(x0a)2k2x2 0a 2. 整理得 (1k 2)x2 0 2ax00. 而 x00，于是 x0 2
22、a 1k 2， 代入 ，整理得 (1k2)24k2 a b 24. 又 ab0，故 (1 k2)24k2 4，即 k214， 因此 k23，所以 |k| 3. 方法二依题意，直线OP 的方程为ykx，可设点P 的坐标为 (x0，kx0) 由点 P 在椭圆上，有 x 2 0 a 2 k 2x2 0 b 21. 因为 ab0， kx00， 所以 x 2 0 a 2 k 2x2 0 a 23， 所以 |k| 3. (推荐时间： 60 分钟 ) 一、选择题 1已知椭圆 x 2 4 y 2 b 21(00，b0)以及双曲线 y 2 a 2 x 2 b 21 的渐近线将第一象限三等分， 则双曲 线 x 2
23、 a 2 y 2 b 21 的离心率为 () A2 或 2 3 3 B.6或 2 3 3 C2 或3 D.3或6 答案A 解析由题意，可知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的渐近线的倾斜角为30 或 60 ，则 b a 3 3 或3. 则 e c a c 2 a 2 1 b a 22 3 3 或 2. 故选 A. 3已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y3x，它的一个焦点在抛物线y 2 24x 的准线上，则双曲线的方程为() A. x 2 36 y 2 1081 B. x 2 9 y 2 271 C. x 2 108 y 2 361 D. x
24、2 27 y 2 9 1 答案B 解析由双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)的一条渐近线方程是 y3x， 可设双曲线的方程为x 2y 2 3 ( 0) 因为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的一个焦点在抛物线y 224x 的准线上，所以 F(6,0)是双曲 线的左焦点，即 3 36， 9，所以双曲线的方程为 x 2 9 y 2 271.故选 B. 4已知椭圆 y 2 a 2 x 2 b 21 (ab0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心O，且AC BC 0，|OB OC |2|BC BA |，则其焦距为() A. 46 3 B. 4
25、3 3 C.8 6 3 D. 23 3 答案C 解析由题意，可知|OC |OB | 1 2|BC |，且 a4， 又|OB OC |2|BC BA |， 所以， |BC |2|AC |.故|OC |AC |. 又AC BC 0，所以 AC BC . 故OAC 为等腰直角三角形，|OC |AC |22. 不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为 (2,2)，代入椭圆的方程，得 2 2 4 2 2 2 b 21，解得 b 216 3 . 所以 c2a2 b2 4 216 3 32 3 ，c4 6 3 . 故其焦距为2c 8 6 3 . 5设 F 为抛物线C：y 23x 的焦点，过 F 且倾斜角为3
26、0 的直线交C 于 A，B 两点， O 为坐 标原点，则OAB 的面积为 () A. 33 4 B. 9 3 8 C.63 32 D.9 4 答案D 解析由已知得焦点坐标为F(3 4， 0)， 因此直线AB 的方程为y 3 3 (x3 4)， 即 4x43y30. 方法一联立抛物线方程，化简得4y2123y90， 则 yA，B 33 6 2 ， 故|yAyB| yAyB 24y AyB 6. 因此 SOAB 1 2|OF|yA yB| 1 2 3 46 9 4. 方法二联立方程得x2 21 2 x 9 16 0， 则 xA 27 4 ， xB 15 4 ， 故 xAxB 21 2 . 根据抛物
27、线的定义有|AB|xAxBp 21 2 3 212， 同时原点到直线AB 的距离为h |3| 4 2 4 32 3 8， 因此 SOAB 1 2|AB| h 9 4. 6椭圆 M： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆 M 上任一点，且 PF 1 PF 2的最大值的取值范围是 c2,3c2，其中 c a 2b2，则椭圆 M 的离心率 e的取值范围是 () A1 4， 1 2 B1 2， 2 2 C( 2 2 ， 1) D1 2，1) 答案B 解析设 P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)， 则PF1 (cx， y)，PF2 (cx， y)，
28、 PF1 PF2 x2y2c2. 又 x2y2可看作 P(x，y)到原点的距离的平方， 所以 (x2y2)maxa2，所以 (PF1 PF2 )maxb 2， 所以 c2b2 a2 c23c2，即 1 4e 21 2， 所以 1 2e 2 2 .故选 B. 二、填空题 7.已知双曲线C 的焦点、 实轴端点恰好是椭圆 x 2 25 y 2 161 的长轴端点、 焦点，则双曲线 C 的渐 近线方程是 _ 答案4x 3y0 解析椭圆 x 2 25 y 2 161 的长轴端点为 ( 5,0)、焦点为 ( 3,0)，所以双曲线的焦点为 ( 5,0)，实轴 端点为 ( 3,0)，设双曲线的方程为 x 2
29、a 2 y 2 b 21，即 c5，a3，b 4，所以渐近线方程为： y 4 3 x，即 4x 3y0. 8已知点P(0,2)，抛物线C：y 22px(p0)的焦点为 F，线段 PF 与抛物线C 的交点为M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若 PQF90 ，则 p_. 答案2 解析由抛物线的定义可得|MQ|MF |，F(p 2，0)，又 PQQF，故 M 为线段 PF 的中点，所 以 M(p 4，1)，把 M( p 4，1)，代入抛物线 y22px(p0)得， 12p p 4， 解得 p2，故答案为2. 9抛物线 C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点重
30、合，过点P(2,0)且斜率为1 的直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为_ 答案11 解析因为双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点坐标是(3,0) 所以 p 23，所以 p6. 即抛物线的标准方程为y2 12x. 设过点 P(2,0)且斜率为1 的直线 l 的方程为yx 2， 联立 y212x消去 y 可得 x216x40，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，x1,28 25， 则 x1x216， 所以弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为 x1x2p 2 166 2 11.故填 11. 10已知 F1，F2是双曲线 x 2 a 2 y 2
31、b 21(a0，b0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重 合， 过 F2作 F1PF2的角平分线的垂线， 垂足为 A.若|OA| b， 则该双曲线的离心率为_ 答案2 解析延长 F2A 交 PF1于 B 点，则 |PB|PF2|， 依题意可得 |BF1|PF1|PF2|2a. 又因为点A 是 BF2的中点 所以得到 |OA| 1 2|BF 1|，所以 ba. 所以 c2a.所以离心率为2. 三、解答题 11已知曲线C 上的动点P(x，y)满足到定点A( 1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为2. (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两
32、点M、N，若 |MN|4，求直线l 的方程 解(1)由题意得 |PA|2|PB| 故x1 2y2 2x1 2y2 化简得： x2y26x10(或(x3) 2y28)即为所求 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x1. 将 x1 代入方程x 2y26x1 0得 y 2， 所以 |MN|4，满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为ykxk2， 由圆心到直线的距离d2 |3kk2| 1k 2 ， 解得 k0，此时直线l 的方程为y2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x1 或 y2. 12如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点， F1， F
33、2分别为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形 (1)求椭圆的离心率e； (2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点， M 是直线 PF2上的动点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程 解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)， 由题意，可得|PF2|F1F2|，即 ac 2b2 2c， 整理得 2( c a) 2c a10，得 c a 1(舍)或 c a 1 2，所以 e 1 2. (2)由(1)知 a2c，b3c， 可得椭圆方程为3x24y212c2. 直线 PF2的方程为y3(xc) 所以 A，B 两点的坐标满足方程组 3x 24
34、y2 12c2， y3 xc ， 消去 y 并整理，得5x28cx 0， 解得 x10，x28 5c， 得方程组的解 x10， y2 3c， x28 5c， y2 3 3 5 c， 不妨设 A(8 5c， 3 3 5 c)，B(0，3c)，M 的坐标为 (x，y)， 则AM (x8 5c，y 3 3 5 c)， BM (x， y3c)， 由 y3(xc)，得 cx 3 3 y， 于是 AM (8 3 15 y3 5x， 8 5y 33 5 x)，BM (x，3x)， 由AM BM 2， 得(8 3 15 y 3 5x) x(8 5y 3 3 5 x) 3x 2， 化简得 18x2 163xy1
35、50， 将 y 18x 215 163x 代入 cx 3 3 y， 得 c 10x 25 16x ， 由 c0，得 x0. 因此，点M 的轨迹方程是 18x 216 3xy150(x0) 13(2013 北京 )已知 A，B，C 是椭圆 W： x 2 4 y21 上的三个点， O 是坐标原点 (1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由 解(1)由椭圆 W： x 2 4 y21，知 B(2,0) 线段 OB 的垂直平分线x1. 在菱形 OABC 中， ACOB， 将 x1 代入
36、 x 2 4 y 21，得 y3 2 . |AC|yAyC| 3. 菱形的面积S1 2|OB| |AC| 1 22 33. (2)假设四边形OABC 为菱形 点 B 不是 W 的顶点，且直线AC 不过原点， 可设 AC 的方程为ykxm(k0， m0) 由 x 24y24， ykxm 消 y 并整理得 (14k2)x2 8kmx4m240. 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x2 2 4km 14k 2， y1y2 2 k x1x2 2 m m 14k 2. 线段 AC 中点 M 4km 14k 2， m 14k 2， M 为 AC 和 OB 交点， kOB 1 4k. 又 k 1 4k 1 41， AC 与 OB 不垂直 OABC 不是菱形，这与假设矛盾 综上，四边形OABC 不是菱形