【优质文档】二元一次方程组章节复习.pdf

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1、学习必备欢迎下载 第七单元二元一次方程组 专题一：二元一次方程（组）及其解的概念 知识要点： 1二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一 次方程 2二元一次方程的一个解: 适合一个二元一次方程的一组未知数的值, 叫做这个二元一次方程的 一个解 3二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 注意体会二元一次方程组的两个特征： （1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2 个，也可能是1 个； （2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1 次 对所给出的二元一次方程，要能

2、熟练的整理成一般形式： 222 111 cybxa cybxa 4二元一次方程组的解 : 二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的 解. 即: 满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解 同步练习 1、指出下列方程那些是二元一次方程？并说明理由。 （1）3x+y=z+1 ( ) (2) x(y+1)=6 ( ) (3) 2x(3-x)=x 2-3(x2+y) ( ) 2、下列方程中，是二元一次方程的有（） 122 5 n m azy 6 11 4 7 31 2 ba mn+m=7 x+y=6 A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 3、下列方程中，是二元

3、一次方程组的是（） 72 32 zy yx 1 2 4 1 x y y x 5 12) 4( 3 yx xx 2 1 32 1 32 yx yx A、B、C、D、 4、判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734yx的解是 1 1 y x ； （2） 0 1 y x 是二元一次方程 44yx 的一个解； （3）方程组 32 03 xy yx 是二元一次方程组； （4）方程组 02 1 1 3 yx y x 是二元一次方程组； 学习必备欢迎下载 （5）方程组 0333 23 1 yx yx yx 是二元一次方程组； 5、已知方程132 212nm yx是一个二元一次方程，求m和n的值 6、已

4、知方程632yx （1）用含x的代数式表示y； （2）当x取何值时，y的值为 2？ 专题二 代入法解二元一次方程组 知识要点：用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表 示另一个未知数的关系式 （2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 （4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数 的值用符号“”联立起来（5）注意检验 同步练习： 1方程 -x+4y=-15 用含 y 的代数式表示，x 是（） A-x=

5、4y-15 B x=-15+4y Cx=4y+15 Dx=-4y+15 2将 y=-2x-4 代入 3x-y=5 可得（） A3x-2x+4=5 B3x+2x+4=5 C3x+2x-4=5 D3x-2x-4=5 3判断正误： （ 1）方程 3 2 x+2y=2 变形得 y=1-3x （） （ 2）方程 x-3y= 1 2 x 写成含 y 的代数式表示x 的形式是x=3y+ 1 2 x （） 4将 y= 1 2 x+3 代入 2x+4y=-1 后，化简的结果是_，从而求得x 的值是 _ 5当 a=3 时，方程组 1 22 axy xy 的解是 _ 6把方程7x-2y=15 写成用含 x 的代数式

6、表示y 的形式，得（） Ax= 215152715157 . 7722 xxyxx B xC yD y 7用代入法解方程组 2521 38 xy xy 较为简便的方法是（） A先把变形B先把变形 C可先把变形，也可先把变形D把、同时变形 学习必备欢迎下载 8把下列方程写成用含x 的代数式表示y 的形式： 3x+5y=21 2x-3y=-11; 4x+3y=x-y+1 2（x+y）=3（x-y）-1 9代入法解方程组 （ 1） 23 328 yx xy 3 (2) 3814 xy xy 23 (3) 25 3 st t s 356 (4) 415 xy xy （5） 23 321 yx xy （

7、6） 42 357 yx yx （7） 23 3418 xy xy （8） 56 364 0 xy xy 学习必备欢迎下载 专题三用加减法解二元一次方程解方程组 知识要点：用加减法解二元一次方程组的步骤 （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适 当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等 （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 （4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， 并把求得的两个未知数的值用“”联立起来 (5

8、)注意检验 典型例题： （1） 383799215 (2)(3) 274753410 xymnxy xymnxy （4） 1 3 yx yx （5） 8312 034 yx yx （6） 1464 534 yx yx （7） 123 54 yx yx （8） 132 645 yx yx （9） 1732 723 yx yx 学习必备欢迎下载 专题四： 二元一次方程组文字解答题 解题思路： 解这类题目，一般有以下几个步骤： 审题，明确题目中涉及到的数字和关系量。 列式，根据题目中各数的关系及其它条件，准确列出式子 解答，仔细解答 典型例题： 1.二元一次方程343xmymxny和有一个公共解 1

9、 1 x y ,则 m=_,n=_; 2.已知 2 |2 |(3)0abb,那么_ab 3、若 31 22 xm ym ，是方程组1034yx的一组解，求m 的值。 4、已知等式 (2A 7B)x+(3A 8B)=8x+10，对一切实数x 都成立，求A、B 的值 5、已知关于x、 y 的方程组 5 3 nymx yx 与 5 12 yx mynx 的解相同，求m 、n 的值 学习必备欢迎下载 专题五：二元一次方程组解实际问题 目标认知 学习目标： 1能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活 的联系和作用 2进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代

10、数方法的优越性 3体会列方程组比列一元一次方程容易 4进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力 5掌握列方程组解应用题的一般步骤； 重点： 1经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。 2进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。 难点：正确找出问题中的两个等量关系 知识要点梳理 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未 知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方 程必须满足： (1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要

11、相等 . 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1审题 :弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数 :可直接设元，也可间接设元； 3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列 出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案 . 要点诠释： (1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； (2)“设” 、 “答”两步，都要写清单位名称； (3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 解答步骤简记为：

12、问题方程组解答 (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时， 注意从文字， 图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组 与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量 学习必备欢迎下载 关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。 类型一：列二元一次方程组解决行程问题 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比 较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的 路程； (2)相

13、遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题 也比较直观， 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之 和总路程。 (3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。 注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航 行问题类似。 1甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1 小时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返 回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，

14、汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨： 画直线型示意图理解题意： (1) 这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2) 有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160 千米 ; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 . 解： 设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米 . 学习必备欢迎下载 根据题意，列方程组 解这个方程组，得: . 答：汽车行驶了165 千米，拖拉机行驶了85 千米 . 总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行 程问题的常用的解决策略。 举一反三： 【变式 1】甲、乙两人相距3

15、6 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在 乙出发 2.5 小时后相遇； 如果乙比甲先走2 小时， 那么他们在甲出发3 小时后相遇，甲、乙 两人每小时各走多少千米？ 【变式 2】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20 小时， 求船在静水中的速度和水流速度。 学习必备欢迎下载 【变式 3】甲乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50 米处甲、乙两人 第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即反身往回走，结果甲、乙两人在距甲地100 米 处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。 类型二：列二元一次方程组解决工程问题 工程问题： 工作效率工作时间=工作量 .

16、 2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付 两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成， 需付两组费用 共 3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨： 本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组 同时施工， 8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做6 天， 再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480 元。设甲组单独做一天商店应付x 元，

17、 乙组单独做一天商店应付y 元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520, 由第二层含义可得 方程 6x+12y=3480. 解：(1) 设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付300 元，乙组单独做一天商店应付140 元。 (2) 单独请甲组做， 需付款 300123600 元， 单独请乙组做， 需付款 24 1403360 元， 故请乙组单独做费用最少。 答：请乙组单独做费用最少。 总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般 地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工

18、程问题也经常利用线 段图或列表法进行分析。 举一反三： 【变式 1】现要加工400 个机器零件，若甲先做1 天，然后两人再共做2 天，则还有60 个未完成；若两人齐心合作3 天，则可超产20 个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？ 学习必备欢迎下载 【变式 2】甲、乙两人同时加工一批零件，前3 小时两人共加工126 件，后 5 小时甲先花了 1 小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工 了 10 件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题 商品销售利润问题： (1)利润售价成本(进价 )；(2)； (3)利润成本（

19、进价）利润率；(4)标价成本 (进价 )(1利润率 )； (5)实际售价标价打折率； 注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折 就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或 者百分之八十） 3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整后，甲商品的利润率为4% ，乙商品的利润率为5% ，共可获利 44 元，则两件商 品的进价分别是多少元？ 思路点拨 ：做此题的关键要知道：利润进价利润率 解：甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，由题意得： 学习必备欢迎下载 ，解得： 答：两件

20、商品的进价分别为600 元和 400 元。 举一反三： 【变式 1】（ 2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利2000 元，乙种蔬菜每亩获利1500 元，李大叔去年甲、乙 两种蔬菜各种植了多少亩？ 【变式 2】某商场用36 万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售 价如下表： A B 进价（元 /件）1200 1000 售价（元 /件）1380 1200 （注：获利 = 售价 进价） 求该商场购进A 、B两种商品各多少件； 学习必备欢迎下载 类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题 (1)基本概念 本金：

21、顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数 ) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息(1利息税率 ) 年利率月利率12 注意： 免税利息 =利息 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，一种是年利率为2.25 的教育储蓄， 另一种是年利率为2.25 的一年定期存款， 一年后可取出2042.7

22、5 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20% ， 教育储蓄没有利息所得税） 思路点拨：设教育储蓄存了x 元，一年定期存了y 元，我们可以根据题意可列出表格： 解：设存一年教育储蓄的钱为x 元，存一年定期存款的钱为y 元，则列方程： ，解得： 答：存教育储蓄的钱为1500 元，存一年定期的钱为500 元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、 支出、增长率等的实际问题时，有时候不 容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中 的相等关系随之浮现出来. 学习必备欢迎下载 举一反三： 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000 元和 10

23、00 元，一年后全部取出，扣除利息 所得税可得利息43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是 百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额 20% ） 【变式 2】 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种，一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率 为年息 2.25%；第二种， 三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共 得利息 303.75 元( 不计利息税 ) ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题 解这类问题

24、的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗)， 应分别用多少 布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路点拨： 本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132 米； 第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍( 注意：别把2 倍的关系写反了). 解： 设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意， 得： 学习必备欢迎下载 答：用 60 米布

25、料做衣身，用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 总结升华： 生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与 桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数， 用未知数可把 它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的 关键 . 举一反三： 【变式 1】现有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底，一个盒身与两个 盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完 整的盒子？ 【变式 2】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天

26、生 产螺栓 14 个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓 和螺母刚好配套。 【变式 3】一张方桌由1个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做 桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌 腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 学习必备欢迎下载 类型六：列二元一次方程组解决增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率 )增长后的量； 原量 (1减少率 )减少后的量. 6. 某工厂去年的利润 （总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了20% ，

27、总支出比去年减少了10% ，今年的利润为780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨 ：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则有 总产值（万元）总支出（万元）利润（万元） 去年x y 200 今年120%x 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总 支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。 解： 设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得： 答：去年的总产值为2000 万元，总支出为1800 万元 总结升华： 当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。 举一反三： 【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总

28、支出各是多少万元？ 思考：本问题还有没有其它的设法？ 学习必备欢迎下载 【 变式 2】某城市现有人口42 万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%， 这样全市人口增加1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口。 类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题 这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量. 7. （ 20XX年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每 周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为 此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了 原来的 1.6 倍、

29、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷 厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 思路点拨： 找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计 划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。 解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题 意得： ， 解得： 所以： 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐篷6 千顶 . 举一反三： 【变式 1】学校的篮球比足球数的2 倍少 3 个，篮球数与足球数的比为3：2，求这两

30、种 球队各是多少个？ 【变式 2】有甲、乙两种金属，甲金属的16 分之一和乙金属的33 分之一重量相等，而 乙金属的55 分之一比甲金属的40 分之一重 7 克，求两种金属各重多少克？ 学习必备欢迎下载 【变式3】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每 位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍，你 知道男孩与女孩各有多少人吗？ 类型八：列二元一次方程组解决数字问题 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为2n 等，有关两位数的基

31、本等量关 系式为：两位数=十位数字10+个位数字 8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个 四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数 比后一个四位数大2178，求这两个两位数。 思路点拨 ：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。 问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y x 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得： ，解得： 答：这两个两位数分别为45，23. 举一反三： 【变式 1】一个两位数，减去

32、它的各位数字之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它 的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ 【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个 位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？ 学习必备欢迎下载 【变式 3】某三位数， 中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1， 个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 类型九：列二元一次方程组解决浓度问题 溶液质量浓度=溶质质量 . 9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒 精与水的比

33、是41，今要得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg，问甲、 乙两种酒精溶 液应各取多少？ 思路点拨： 本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解 决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（ 2） 混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种 溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和 与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比。 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得： ， 答：甲取20kg，乙取 30kg 法二：设甲、乙两种酒精溶液

34、分别取10x kg 和 5y kg ， 则甲种酒精溶液含水7x kg ，乙种酒精溶液含水y kg ，根据题意得： ， 所以 10x=20,5y=30. 答：甲取20kg，乙取 30kg 总结升华 ：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系， 解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来 联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数， 多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未 知数，有时候需要设辅助未知数。 举一反三： 【变式 1】要配浓度是45% 的盐水 12

35、千克，现有10% 的盐水与85% 的盐水，这两种盐水 学习必备欢迎下载 各需多少？ 【变式 2】一种 35% 的新农药， 如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35% 的农 药加水多少千克，才能配成1.75%的农药 800 千克？ 类型十：列二元一次方程组解决几何问题 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 10如图，用8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分 别是多少？ 思路点拨 ：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两 条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为 y，就可以列出关于x、y

36、的二 元一次方程组。 解：设长方形地砖的长xcm,宽 ycm，由题意得： ， 答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为 15cm 。 学习必备欢迎下载 总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注 意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。 举一反三： 【变式 1】用长48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补到较 短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m ，它的周长是132m ，则长和宽分别为多 少？ 类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题 解决

37、这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的 11今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父 亲和儿子的年龄各是多少？ 思路点拨： 解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义，即6 年后父子俩都长了6 岁。今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6年后父亲的年龄是儿子的3 倍，根据这两个相等关系 列方程。 解：设现在父亲x 岁，儿子y 岁，根据题意得： ， 答：父亲现在30 岁，儿子6 岁。 总结升华： 解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人 也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。 举

38、一反三： 【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现， 12 年之后，他的年龄变 成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄. 学习必备欢迎下载 【变式 2】一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说： “我像您这样大 时，您才出生；您到我这么大时，我已经37 岁了。”请问老师、学生今年多大 年龄了呢？ 类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、 到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。 注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案 得出最佳方案。 12

39、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工 后销售， 每吨利润可达4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元 . 当地一家农工商 公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以 加工 16 吨；如果进行细加工，每天可加工6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条 件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加 工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，

40、并恰好在15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 思路点拨： 如何对蔬菜进行加工，获利最大， 是生产经营者一直思考的问题. 本题正是 基于这一点， 对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流， 尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣. 解： 方案一获利为：4500140=630000( 元). 方案二获利为：7500(6 15)+1000 (140 615)=675000+50000=725000( 元). 方案三获利如下： 设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得： ，解得： 学习必备欢迎下载 所以方案三获利

41、为：750060+450080=810000( 元). 因为 630000725000 810000，所以选择方案三获利最多 答：方案三获利最多，最多为810000 元。 总结升华： 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方 案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案. 举一反三： 【变式 1】某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种不同型 号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元。 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去 9 万元， 请你研究一下商场 的进货方案； (2)

42、若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、 200 元、250 元，在以上的方 案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？ 【变式 2】某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也 相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4 倍少 8 元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ 学习必备欢迎下载 （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超 市 B 全场购物满 100元返购物券 30 元销售（不足 100元不返券，购物券全场通 用） ，但他只带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，

43、你能 说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【变式 3】“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机， 以满足市场需求， 已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号 手机每部 1800 元，乙种型号手机每部600 元，丙种型号手机每部1200 元. （1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40 部，并将 60000元恰好 用完. 请你帮助商场计算一下如何购买. （2） 若商场同时购进三种不同型号的手机共40 部， 并将 60000元恰好用完， 并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6 部且不多于 8 部， 请你求出商场每种 型号手机的购买数量 .