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1、学习必备欢迎下载 图 2 图 3 图 1 另辟蹊径解决二次函数中平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂， 知识覆 盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题，常规解法是先 画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互 相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，笔者另辟蹊径，借 助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题 1 两个结论，解题的切入点 数学课标， 现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐 标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题
2、的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为 ( x1, y1)，点 B 坐标为 (x2, y2) ，则线段AB 的中点坐标为 ( 2 21 xx , 2 21 yy ). 证明： 如图 1，设 AB 中点 P 的坐标为 ( xP, yP). 由 xP-x1=x2-xP，得 xP= 2 21 xx ，同理 yP= 2 21 yy ，所以线段AB 的中点坐标为 ( 2 21 xx , 2 21 yy ). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 ABCD 的顶点坐标分别为A( xA, yA) 、 B( xB, yB) 、 C( xC, yC) 、 D( xD, yD)， 则： x
3、A+xC=xB+xD； yA+yC=yB+yD. 证明：如图 2，连接 AC、BD，相交于点E 点 E 为 AC 的中点， E 点坐标为 ( 2 CA xx , 2 CA yy ). 又点 E 为 BD 的中点， E 点坐标为 ( 2 DB xx , 2 DB yy ). xA+xC=x B+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图 3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以 A、B、C、 D 为顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以AB 为对角线的ACBD1，以 AC 为对角 线的AB
4、CD2，以 BC 为对角线的ABD3C 3 两类存在性问题解题策略例析与反思 3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题 例 1已知抛物线y=x 2-2x+a( a0）与 y 轴相交于点 A，顶点为M. 直线 y= 2 1 x-a 分别 与 x 轴、 y 轴相交于B、C 两点，并且与直线AM 相交于点N. ( 1) 填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与 N 的坐标，则M( ), N( )； 学习必备欢迎下载 图 4 图 5 ( 2) 如图 4，将 NAC 沿 y 轴翻折，若点N 的对应点N恰好落在抛物线上，AN与 x 轴交于点 D，连接 CD，求 a 的值和四边形ADCN 的面
5、积； ( 3) 在抛物线y=x 2-2x+a( a0）上是否存在一点 P，使得以P、A、C、N 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由. 解： ( 1) M(1, a-1) ， N(a 3 4 , -a 3 1 ) ；( 2) a=- 4 9 ；S四边形 ADCN= 16 189 ； ( 3) 由已知条件易得A( 0, a) 、C( 0, -a) 、N(a 3 4 , -a 3 1 ). 设 P( m, m 2-2m+a). 当以 AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得： ammaaa ma 2 3 1 3 4 00 2 , 8
6、 15 2 5 a m . P1( 2 5 , - 8 5 ) ； 当以 AN 为对角线时，得: ammaaa ma 2 3 1 0 3 4 0 2 , 8 15 2 5 a m ( 不合题意，舍去). 当以 CN 为对角线时，得: ammaaa ma 2 3 1 0 3 4 0 2 , 8 3 2 1 a m . P2( - 2 1 , 8 7 ). 在抛物线上存在点P1( 2 5 , - 8 5 ) 和 P2( - 2 1 , 8 7 ) ，使得以P、A、C、 N 为顶点的四边形 是平行四边形 . 反思： 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点 坐标公式列方
7、程 （组）求解 .这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚， 往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论. 3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题 例 2如图 5，在平面直角坐标系中，抛物线A( -1, 0), B( 3, 0), C( 0, -1) 三点 . （1）求该抛物线的表达式； （2）点 Q 在 y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q、P、A、 B 为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标 . 解 ： （1）易求抛物线的表达式为y=1 3 2 3 12 xx； ( 2) 由题意知点Q 在 y 轴上，设点Q 坐标为 ( 0, t) ；
8、点 P 在抛物线上， 学习必备欢迎下载 图 6 设点 P 坐标为 ( m,1 3 2 3 12 mm). 尽管点 Q 在 y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了 当以 AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m， m=-4， P1( -4, 7) ； 当以 BQ 为对角线时，得：-1+m= 3+ 0， m=4， P2( 4, 3 5 ) ； 当以 AB 为对角线时，得：-1+3=m+ 0， m=2， P3( 2, -1). 综上，满足条件的点P 为 P1( -4, 7) 、P2( 4, 3 5 ) 、P3( 2, -1). 反思： 这种题型往往特殊，
9、一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴 或某一定直线上设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平 行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式该 动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设另 外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的 三条线段为对角线分类，分三种情况讨论. 例 3如图 6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( -4, 0), B( 0, -4), C(2, 0) 三点 （1）求抛物线的解析式； （2） 若点 M 为第三象限内抛物线上一动
10、点，点 M 的横坐标为m， AMB 的面积为S 求 S关于 m 的函数关系式，并求出S的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能使以 点 P、 Q、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标 解： （1）易求抛物线的解析式为y= 2 1 x 2+x-4； （2）s=-m 2-4m( -4m0) ；s 最大=4（过程略）； （3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程由题意知O( 0, 0) 、B( 0, -4). 由于点 Q 是直线 y=-x 上的动点，设Q( s, -s) ，把 Q 看做定点；设P( m, 2 1
11、 m 2+m-4). 当以 OQ 为对角线时， 4 2 1 40 00 2 mms ms s=-252. Q1( -2+52, 2-52) ，Q2( -2-52, 2+52) ； 当以 BQ 为对角线时， 学习必备欢迎下载 smm sm 44 2 1 0 00 2 s1=- 4，s2= 0(舍). Q3( -4, 4) ； 当以 OB 为对角线时， 4 2 1 40 00 2 mms ms s1=4，s2= 0( 舍). Q4(4, -4). 综上，满足条件的点Q 为 Q1( -2+52, 2-52) 、 Q2( -2-52, 2+52) 、Q3( -4, 4) 、 Q4( 4, -4). 反思： 该题中的点Q是直线 y=-x 上的动点， 设动点Q的坐标为 (s,-s)，把Q看做定点， 就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了. 4 问题总结 这种题型， 关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的 动点作为第四个动点， 其余三个作为定点， 分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类， 分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）这种解法，不必画 出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适 用范围广 其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.