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1、第二章测试 (时间： 120分钟满分： 150分) 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1若实数 a，b 满足 ba0，且 ab1，则下列四个数最大的是 () Aa2b2B2ab C.1 2 Da 答案A 2下面使用类比推理正确的是() A“若 a 3b 3，则 ab”类推出“若 a 0b 0，则 ab” B“(ab)cacbc”类推出“ (a b)cac bc” C“(ab)cacbc”类推出“ ab c a c b c(c0)” D“(ab) nanbn”类推出“ (ab)nanbn” 解析由类比出的结果正确
2、知，选C. 答案C 3下面几种推理是合情推理的是() 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180 归纳出 所有三角形的内角和都是180 ； 某次考试张军成绩是100 分，由此推出全班同学成绩都是100 分； 三角形内角和是180 ，四边形内角和是360 ，五边形内角和是 540 ，由此得凸多边形内角和是(n2) 180 . AB CD 答案C 4下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y a x(a0 且 a1)在(0，)上是增函数， y(1 2) x 是指数函数，所以y (1 2) x 在(0， )上是增函数 该结论显然是错误的，其原因是()
3、A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D以上都可能 解析大前提是：指数函数ya x(a0，且 a1)在(0， )上是增函数，这是错误的 答案A 5若 a，b，c 不全为 0，必须且只需 () Aabc0 Ba，b，c 中至多有一个不为0 Ca，b，c 中只有一个为 0 Da，b，c 中至少有一个不为0 解析不全为 0 即至少有一个不为0. 答案D 6下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适 () A三角形B梯形 C平行四边形D矩形 解析只有平行四边形与平行六面体比较接近故选C. 答案C 7求证：23 5. 证明：因为23和 5都是正数， 所以为了证明23 5， 只需证明 (23
4、)2( 5)2， 展开得 52 65，即 2 60， 显然成立， 所以不等式23 5. 上述证明过程应用了 () A综合法 B分析法 C综合法、分析法配合使用 D间接证法 答案B 8若 a，b，c 均为实数，则下面四个结论均是正确的： abba；(ab)ca(bc)；若 abbc，b0，则 ac0； 若 ab0，则 a0 或 b0. 对向量 a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论： a bb a；(a b)ca(b c)；若 a bb c，b0，则 ac； 若 a b0，则 a0 或 b0. 其中结论正确的有 () A0 个B1 个 C2 个D3 个 解析由向量数量积的性质知，只有正确，其
5、他均错 答案B 9设 S(n)1 n 1 n1 1 n2 1 n3 1 n2，则 ( ) AS(n)共有 n 项，当 n2 时，S(2)1 2 1 3 BS(n)共有 n1 项，当 n2 时，S(2)1 2 1 3 1 4 CS(n)共有 n 2n 项，当 n2 时，S(2)1 2 1 3 1 4 DS(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，S(2)1 2 1 3 1 4 解析由分母的变化知 S(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，S(2) 1 2 1 3 1 4. 答案D 10设 f(x)1x 1x ，又记 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，n1,2， 则 f2013(x)(
6、) A. 1x 1x B.x1 x1 CxD 1 x 解析f1(x) 1x 1x，f2(x) 1f1x 1f1x 1 x， f3(x) 1f2x 1f2x x1 x1 ，f4(x)x，f5(x)1x 1x ， fn4(x)fn(x) f2013(x)f1(x)1x 1x. 答案A 11观察下表： 1234第一行 2 3 4 5第二行 3 4 5 6第三行 4 5 6 7第四行 ? 第一列第二列第三列第四列 根据数表所反映的规律，第n 行第 n 列交叉点上的数应为 () A2n1 B2n1 Cn21Dn2 解析观察数表可知，第n 行第n 列交叉点上的数依次为 1,3,5,7，2n1. 答案A 1
7、2对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定： (a，b)(c，d)当且仅当 ac，bd；运算“ ?”为： (a，b)?(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为： (a，b)(c，d)(ac，bd)设 p、qR，若(1,2)?(p，q)(5,0)， 则(1,2)(p，q)等于() A(4,0)B(2,0) C(0,2) D(0，4) 解析由运算的定义知p，q)(p2q,2pq)(5,0)， p2q5， 2pq0， 解得 p1， q2. p，q)，2)(2,0) 答案B 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填 在题中横线上 ) 13对于平面几何中的命题
8、“如果两个角的两边分别对应垂直， 那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得 到命题：“ _ _” 答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个 二面角相等或互补 14若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少 有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是 _ 解析假设这两个方程都没有实数根，则 1 a1 24a20， a 22a1 3， 20，则a 2 1 a2 2a1 a2. 证明a0，要证a2 1 a2 2a 1 a2， 只需证a2 1 a 22a1 a 2， 只需证( a2 1 a 22) 2(a1 a 2)2， 即证 a2 1 a 244a
9、2 1 a 2a2 1 a 242 2(a 1 a)， 即证a 21 a 2 2 2 (a 1 a)， 即证 a2 1 a2 1 2(a 2 1 a22)， 即证 a2 1 a 22， 即证(a 1 a) 20， 该不等式显然成立 a2 1 a2 2a1 a2. 20(12 分)已知数列 an和bn是公比不相等的两个等比数列，cn anbn. 求证：数列 cn不是等比数列 证明假设cn是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列设 an， bn的公比分别为 p 和 q 且 pq，则 a2a1p，a3a1p 2，b 2b1q，b3 b1q2. c1，c2，c3成等比数列， c2 2c1 c3， 即(
10、a2b2)2(a1b1)(a3b3) (a1pb1q)2(a1b1)(a1p2b1q2) 2a1b1pqa1b1p2a1b1q2. 2pqp2q2，(pq)20. pq 与已知 pq 矛盾 数列cn不是等比数列 21(12 分)如右图，在四棱锥PABCD 中，PD平面 ABCD， PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90 . (1)求证：PCBC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离 解(1)PD平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，PDBC. 由BCD90 ，得 BCDC. 又 PDDCD，BC平面 PDC. PC? 平面 PDC，BCPC，即 PCBC. (2)连接 AC.设点
11、 A到平面 PBC的距离为 h， ABDC，BCD90 ， ABC90 . 从而由 AB2，BC1，得ABC 的面积 SABC1， 由 PD平面 ABCD 及 PD1，得三棱锥 PABC 的体积 V 1 3S ABC PD 1 3 . PD平面 ABCD，DC? 平面 ABCD， PDDC，又 PDDC1. PCPD2DC22. 由 PCBC，BC1，得PBC 的面积 SPBC 2 2 ， 由 V1 3S PBC h1 3 2 2 h1 3，得 h 2. 因此，点 A 到平面 PBC 的距离为2. 22(12 分)已知 f(x) bx1 ax1 2(x 1 a，a0)，且 f(1)log162
12、，f( 2)1. (1)求函数 f(x)的表达式； (2)已知数列 xn的项满足 xn，试求 x1，x2，x3，x4； (3) 猜想xn的通项公式 解(1) 把 f(1)log1621 4，f(2)1，代入函数表达式得 b1 a1 21 4， 2b1 12a 21， 即 4b4a22a1， 2b14a24a1， 解得 a1， b0， (舍去 a 1 30)， f(x) 1 x1 2(x1) (2) x11f(1)1 1 4 3 4 x2 3 4(1 1 9) 2 3 x32 3 2 3(1 1 16) 5 8， x45 8(1 1 25) 3 5. (3) 由(2)知，x13 4，x 22 3 4 6 ，x3 5 8 ，x4 3 5 6 10，由此可以 猜想 xn n2 2n2.