中学数学常用公式大汇总(含初中高中).pdf

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1、中学数学常用公式大汇总（含初中、高中）初中数学常用公式 1、整数 ( 包括：正整数、 0、负整数 ) 和分数 ( 包括：有限小数和无限环循小数 ) 都是有理数如： 3，0.231，0.737373，无限不环循小数叫做无理数如：，0.1010010001(两个 1之间依次多 1个0) 有理数和无理数统称为实数 2、绝对值：a0丨a丨 a；a0丨a丨 a如：丨丨；丨3.14丨 3.14 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到 0.001 得0.060，结果有两个有效数字6，0 4、把

2、一个数写成a10n的形式 ( 其中1a10，n是整数 ) ，这种记数法叫做科学记数法如： 40700 4.0710 5，0.0000434.3 10 5 5、乘法公式 ( 反过来就是因式分解的公式) ： (ab)( ab) a2 b 2 (ab)2a22abb2 ( ab)( a2abb2) a3b3 ( a b)( a2abb2) a3b3；a2b2( ab) 22ab，( ab)2( ab)2 4ab 6、幂的运算性质： amanam namanamn( am) namn ( ab) nanbn ( )nn a n1 n a ，特别： ( ) n( ) n a01( a0) 如： a

3、3a2a5，a6 a2a4，(a3) 2a6，( 3a3)327a9，( 3) 1 ，5 2 ，( ) 2( )2 ，( 3.14) o 1，( ) 01 7、二次根式：() 2a( a0) ，丨 a丨，- ( a0，b0) 如：( 3) 245 6a0时，- a 的平方根 4的平方根 2（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程： ax2bxc0：求根公式是x 2 4 2 bbac a ，其中 b24ac叫做根的判别式当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根若方程有两个实

4、数根x1和x2，并且二次三项式ax2bxc可分解为 a(xx1)( xx2) 以 a和b为根的一元二次方程是x2( ab)xab0 9、一次函数 ykxb( k0) 的图象是一条直线( b是直线与 y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距 )当 k0时， y随x的增大而增大 ( 直线从左向右上升) ；当k0时，y随x的增大而减小 ( 直线从左向右下降) 特别：当b0时，ykx( k0)又叫做正比例函数( y与x成正比例 )，图象必过原点 10、反比例函数 y ( k0) 的图象叫做双曲线当k0时，双曲线在一、三象限 ( 在每一象限内，从左向右降) ；当 k0时，双曲线在二、四象限

5、( 在每一象限内，从左向右上升) 因此，它的增减性与一次函数相反 11、统计初步：（1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数 ( 有时不止一个 ) ，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数( 或两个数的平均数) 叫做这组数据的中位数（2）公式：设有 n 个数 x1，x2， xn，那么：平均数为： 12 n xxx x n + =；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种

6、方法得到的差称为极差，即：极差 =最大值 - 最小值；方差：数据 1 x、 2 x , n x的方差为 2 s，则 2 s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+- 犏臌标准差：方差的算术平方根. 数据 1 x、 2 x , n x的标准差s，则 s= ()()() 222 12 1 . n xxxxxx n 轾 -+-+-犏臌一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率：（1）频率 = 总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（2）概率如果用P

7、表示一个事件A 发生的概率，则0P （A）1 ； P（必然事件） =1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数：设 A是RtABC 的任一锐角，则A的正弦： sinA， A 的余弦： cosA，A的正切： tanA并且 sin2Acos2A 1 0sinA1，0cosA1，tanA0A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin( 90oA) cosA，cos( 90o A) sinA 特殊角的三角函数值：sin30ocos

8、60o ， sin45ocos45o ， sin60o cos30o ， tan30o ，tan45o 1，tan60o 斜坡的坡度： i 铅垂高度水平宽度设坡角为，则 itan 14、平面直角坐标系中的有关知识：（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，b），P 关于 y 轴对称的点为P2（a，b），关于原点对称的点为 P3（a，b）. （2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h 个单位，坐标变为 P（ah，b），向右平移h 个单位，坐标变为P（ah，b）；向上平移h 个单位，坐标变为P（a，bh），向下

9、平移h 个单位，坐标变为 P（a，bh）.如：点 A（2， 1）向上平移2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为A（7，1）. 15、二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,( 2 是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下； h l a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 当0a时开口向上当0

10、a时开口向下 0x（y轴）（0,0） kaxy 2 0x（y轴）(0, k) 2 hxay hx (h,0) khxay 2 hx (h,k) cbxaxy 2 a b x 2( a bac a b 4 4 2 2 ，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ，顶点是），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直线 a b x 2 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称

11、图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点 12 (, ) (,)、xyxy（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 12 2 xx x 9.抛物线cbxaxy 2 中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ，故：0b时，对称轴为y轴；0 a b （即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0 a b （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置 . 当0x时，cy，抛物线c

12、bxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，c）： 0c，抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴； 0c,与y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0 a b . 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . （2）顶点式：khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay. 12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为 (

13、0, c). （2）抛物线与 x轴的交点二次函数cbxaxy 2 的图像与x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方程 0 2 cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点(0)抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；没有交点(0)抛物线与x轴相离 . （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 2）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax 2 的两个实数根 . （4）一次函数0knkxy的图像

14、l与二次函数0 2 acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为00 21 ，xBxA，则 12 ABxx 1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于( n2) 180o （n3，n是正整数），外角和等于360o 2、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图： abc，直线 l1与 l2

15、分别与直线a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F，则有, ABDEABDEBCEF BCEFACDFACDF （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图： ABC 中， DEBC，DE 与 AB、AC 相交与点 D、E，则有： , ADAEADAEDEDBEC DBECABACBCABAC 3、直角三角形中的射影定理：如图： RtABC 中， ACB90o， CDAB 于 D，则有：（1） 2 CDAD BD（2） 2 ACAD AB（3） 2 BCBDAB 4、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意

16、两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径（2）两条平行弦所夹的弧相等（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（ 5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半（6）同弧或等弧所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 C ABD a c A B C D E F l1 b l2 A B C DE C E A B D 弧相等（ 8）90o的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是 90o，直径是最长的弦（9）圆内接四边形的对角互补

17、 5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：（1）RtABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径 2 abc r；（2） ABC 的周长为l，面积为 S，其内切圆的半径为r ，则 1 2 Slr 6、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC 为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O

18、的切线， A 为切点，则 11 22 PACACAOC 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O 的切线， A 为切点，则PACABC 7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图，即： PA PB = PC PD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即： PA PB = PC PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 O P B C A 圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PA

19、 PB 8、面积公式： S正( 边长 ) 2 S平行四边形底高 S菱形底高( 对角线的积 ) ， 1 () 2 S梯形上底下底高中位线高 S圆R 2 l圆周长2R 弧长L 2 1 3602 n r Slr 扇形 S圆柱侧底面周长高2rh，S全面积S侧S底2rh2r 2 S圆锥侧底面周长母线rb， S全面积S侧S底rbr 2 P O C A B D P O C B A D P O C A B 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2. 德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. 3. 包含关系 ABA

20、ABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4. 容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 5集合 12 , n a aa的子集个数共有2 n 个；真子集有2 n 1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式 12 ( )()(

21、)(0)f xa xxxxa. 7.解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式 ( )Nf xM( )( )0f xMfxN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x 11 ( )fxNMN . 8. 方程0)(xf在),( 21 kk上有且只有一个实根, 与0)()( 21 kfkf不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件 . 特别地 , 方程 )0(0 2 acbxax有且只有一个实根在),( 21 kk内, 等价于0)()( 21 kfkf, 或 0)( 1 kf且 22 21 1 kk a b k, 或0)(

22、 2 kf且 2 21 22 k a bkk . 9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 处及区间的两端点处取得，具体如下： (1) 当 a0 时，若qp a b x, 2 ，则 m i nmaxmax ()() , ()( ) , () 2 b f xff xf p f q a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ),( )f xfpf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. (2) 当a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axf

23、xf，或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 或 2 1 ( )( )(),( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a； (3)0)( )( 1 1)(xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f afxf xxxa，则)(xf的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) ()

24、(2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a； (6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 30. 分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,am nN，且1n）. (2) 1 m n m n a a （0,am nN，且1n）. 31根式的性质（1）() nn aa. （2）当n为奇数时， nn aa；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 32有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsrs aaaar sQ. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (

25、3)()(0,0,) rrr aba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式 log b a Nba N ( 0,1,0)aaN . 34. 对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m ( 0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N ). 35对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) lo

26、gloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 36. 设函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , 记acb4 2 . 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形, 需要单独检验 . 37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0x, 1 x a , 则函数log() ax ybx (1)当a b时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为增函数 . ，(2) 当a b时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为减函数

27、 . 推论 :设 1nm ， 0p ， 0a ，且 1a ，则（1）log()log mpm npn. （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn. 38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1) x yNp. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 40. 等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN；其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n na

28、d 2 1 1 () 22 d nad n. 41. 等比数列的通项公式 1*1 1 () nn n a aa qqnN q ；其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 42. 等比差数列 n a: 11 ,(0) nn aqad ab q的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ；其前 n 项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq . 43.分期付款

29、 (按揭贷款 ) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为 b). 44常见三角不等式（1）若(0,) 2 x，则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x，则1sincos2xx. (3) |sin|cos| 1xx. 45. 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= cos sin ，tan1cot. 46. 正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin, sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s, s() 2 ( 1)sin, n n con co (n 为偶数 ) (n 为奇数

30、 ) (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 47. 和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan . 22 sin()sin()sinsin( 平方正弦公式 ); 22 cos()cos()cossin. sincosab= 22 sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定,tan b a ). 48. 二倍角公式 sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. 2 2tan tan2 1tan . 49. 三倍角公式 3 sin 33sin4sin4sin

31、sin()sin() 33 . 3 cos34cos3cos4coscos()cos() 33 . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33 . 50. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且 A0，0) 的周期 2 T；函数tan()yx，, 2 xkkZ(A, , 为常数，且A0，0) 的周期T. 51. 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . 52. 余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 53. 面积定理（1）

32、111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、分别表示 a、b、c 边上的高） . （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. (3) 221 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB. 54. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. 55.简单的三角方程的通解 sin( 1) arcsin(,| 1) k xaxka kZa. s2arccos (,| 1)co xaxka kZa. tanarctan (,)xaxka kZ aR. 特别地 , 有 sinsin( 1)() k kkZ. scos2

33、()cokkZ. tantan()kkZ. 56. 最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ. sin(| 1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ. cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xaaxkakakZ. cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xaaxkaka kZ. tan()(arctan,), 2 xa aRxka kkZ. tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ. 57. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1) 结合律： (

34、a)=( ) a; (2) 第一分配律： ( +) a=a+a; (3) 第二分配律： ( a+b)= a+b. 58. 向量的数量积的运算律： (1) ab= b a（交换律） ; (2) （a） b= （ab）=ab= a （b）; (3) （a+b） c= ac +b c. 59. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60向量平行的坐标表示设 a= 11 (,)x y, b= 22 (,)xy，且 b 0，则 a b

35、(b0) 1221 0x yx y. 53. a与 b 的数量积 ( 或内积 ) ab=|a| b|cos 61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 62. 平面向量的坐标运算 (1) 设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 a+b= 1212 (,)xxyy. (2) 设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 a-b= 1212 (,)xxyy. (3) 设 A 11 (,)x y，B 22 (,)xy, 则 2121 (,)ABOBOAxx yy. (4) 设 a=( , ),x y

36、R，则a=(,)xy. (5) 设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 ab= 1212 ()x xy y. 63. 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy (a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy). 64. 平面两点间的距离公式 ,A B d=|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A 11 (,)xy，B 22 (,)xy). 65. 向量的平行与垂直设 a= 11 (,)x y, b= 22 (,)xy，且 b 0，则 A| bb=a 1221 0x yx y. ab(a0)ab=0 1212 0x x

37、y y. 66. 线段的定比分公式设 111 (,)P x y， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段 12 PP的分点 ,是实数，且 12 PPPP，则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 (1)OPtOPt OP（ 1 1 t）. 67. 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y)、 22 B(x ,y)、 33 C(x ,y ), 则 ABC 的重心的坐标是 123123 (,) 33 xxxyyy G. 68. 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP . 注: 图形 F 上的任意一点P(

38、x，y) 在平移后图形 F上的对应点为 (,)Px y，且 PP的坐标为( , )h k. 69. “按向量平移”的几个结论（1）点( , )P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点 (,)Pxh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量a=( , )h k平移后得到图象 C, 则 C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象 C按向量a=( , )h k平移后得到图象C, 若C的解析式( )yf x, 则 C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲线C:( , )0f x y按向量a=( , )h k平移后得到图象 C, 则 C的方程为(,)0f xh yk.

39、 (5) 向量 m =( , )x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然为m =( , )x y. 70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心 222 OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为 ABC的内心 0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 71. 常用不等式：（1）,a bR 22 2abab( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （2）,a bR 2 ab ab

41、最小时 , | xy最大 . 73. 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac，如果a与 2 axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之间 . 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. 74. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa或xa. 75. 无理不等式（1） ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . （2） 2 ( )0

42、( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( )( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. （3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . 76. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa fx f xg xg x fxg x . (2) 当01a时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f

43、xg xg x f xg x 77.斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 (,)P xy、 222 (,)P xy）. 78.直线的五种方程（1）点斜式 11 ()yyk xx( 直线l过点 111 (,)P xy，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 (,)P x y、 222 (,)Pxy ( 12 xx). (4) 截距式1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂

44、直 (1)若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkk bb; 1212 1llk k . (2)若 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC,且 A 1、A2、B1、B2 都不为零 , 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B ； 80.夹角公式 (1) 21 21 tan| 1 kk k k . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) (2) 1221 1212 tan| A BA B A AB B . ( 1111 :0lA xB yC, 2222

45、:0lA xB yC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线 l1与 l2的夹角是 2 . 81. 1 l到 2 l的角公式 (1) 21 21 tan 1 kk k k .( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) (2) 1221 1212 tan A BA B A AB B . ( 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线 l 1 到 l2的角是 2 . 82四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 000 (,)Pxy的

46、直线系方程为 00 ()yyk xx( 除直线 0 xx), 其中k是待定的系数; 经过定点 000 (,)Pxy的直线系方程为 00 ()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数 (2) 共点直线系方程：经过两直线 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC 的交点的直线系方程为 111222 ()()0A xB yCA xB yC( 除 2 l) ，其中是待定的系数 (3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是 0AxBy(0) ，是参变量 (4) 垂直直线系

47、方程：与直线0AxByC (A 0，B0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量 83.点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 84.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与 AxByC异号时，表示直线l的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 . 若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与 AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之 ,同号在右 ,异号在左. 85. 111222 ()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线 111222 :()()0CA xB yCA xB yC（ 1212 0A A B B），则 111222 ()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域是： 111222 ()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分； 111222 ()()0A xB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF0). （3）圆的参数方程 cos

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