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1、优秀学习资料欢迎下载 几何的定值与最值 几何中的定值问题， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 ( 如线段长度、 角度大小、 图形面积 ) 等的最大值或最小值， 求几何最值问题的基 本方法有： 1特殊位置与极端位置法； 2几何定理 ( 公理) 法； 3数形结合法等 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点 这 是由于这类问题具
2、有很强的探索性( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、 数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 【例题就解】 【例 1】 如图，已知 AB=10 ，P是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD ，则 CD长度的最小值为 思路点拨如图，作 CC AB于 C，DD AB于 D， DQ CC ，CD 2=DQ2+CQ2，DQ= 2 1 AB一常数，当 CQ越小， CD越小， 本例也可设 AP=x，则 PB=x10，从代数角度探求CD的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口， 特 殊位置与
3、极端位置是指： (1) 中点处、垂直位置关系等； (2) 端点处、临界位置等 【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动， 切点为 T，圆交 AC 、BC于 M 、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度 数（） 优秀学习资料欢迎下载 A从 30到 60变动 B从 60到 90变动 C 保持 30不变 D保持 60不变 思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研
4、究的量取得定值与最值 【例 3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a，BC=b(ab)，P为 AB边上 的一动点，直线 DP交 CB的延长线于 Q ，求 AP+BQ 的最小值 思路点拨设 AP=x，把 AP 、BQ分别用x的代数式表示，运 用不等式abba2 22 ( 当且仅当ba时取等号 )来求最小值 【例 4】 如图，已知等边 ABC内接于圆，在劣弧 AB上取异于 A、B的点 M ， 设直线 AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘 积与 M点的选择无关 思路点拨即要证 AK BN是一个定值，在图形中 ABC 的边长是一个定值，说明AK BN
5、与 AB有关，从图知 AB为 ABM 与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK BN=AB 2， 从而我们的证明目标更加明确 注：只要探求出定值， 那么解题目标明确， 定值问题就转化为一般的几何证 明问题 【例 5】已知 XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( Z=90) ，它的 三个顶点分别在等腰RtABC( C=90 ) 的三边上，求 ABC直角边长的最大可 能值 思路点拨顶点 Z 在斜边上或直角边CA(或 CB)上， 当顶点 Z 在斜边 AB上时， 取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC或 CB) 上时，设 CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，
6、运用代数的方法求直角边的最大 优秀学习资料欢迎下载 值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量， 建立几何元素间的函 数、方程、不等式等关系， 再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是： (1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2) 构造二次函数求几何最值 学力训练 1如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与 B点或 C 点重合） ，分别过 B、C、D作射线 AP的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB +CC +DD 的最大值为，最小值为 2如图，AOB=45 ，角内有一点 P，PO=10 ，在角的两边上有两点Q ，R(
7、均 不同于点 O)，则 PQR 的周长的最小值为 3如图，两点 A、B在直线 MN外的同侧， A到 MN 的距离 AC=8 ，B到 MN 的 距离 BD=5 ，CD=4 ，P在直线 MN上运动，则PBPA的最大值等于 4如图， A点是半圆上一个三等分点，B点是弧 AN的中点， P点是直径 MN 上一动点， O的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为 ( ) A1 B 2 2 C2 D13 5如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P从 A点出发，沿 看圆柱的侧面移动到BC的中点 S的最短距离是 ( ) A 2 12 B 2 412 C 2 14 D 2 42 6如图、已知矩
8、形 ABCD ，R，P户分别是 DC 、BC上的点， E，F分别是 AP 、 RP的中点， 当 P在 BC上从 B向 C移动而 R不动时， 那么下列结论成立的是 ( ) A线段 EF的长逐渐增大 B线段 EF的长逐渐减小 C线段 EF的长不改变 D线段 EF的长不能确定 优秀学习资料欢迎下载 7如图，点 C是线段 AB上的任意一点 (C 点不与 A、B点重合 )，分别以 AC 、 BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形 BCE ，AE与 CD相交于 点 M ，BD与 CE相交于点 N (1) 求证： MN AB ； (2) 若 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移
9、动时，是否存在这样的一点C， 使线段 MN 的长度最长 ?若存在，请确定 C点的位置并求出 MN的长；若不存在， 请说明理由 (20XX年云南省中考题 ) 8如图，定长的弦 ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST的中点， P是 S对 AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置， SPM 是一定角 9已知 ABC 是O的内接三角形， BT为O的切线， B为切点， P为直线 AB上一点，过点 P作 BC的平行线交直线BT于点 E，交直线 AC于点 F (1) 当点 P在线段 AB上时( 如图)，求证： PA PB=PE PF ； (2) 当点 P为线段 BA延长线上一点时，第 (1)
10、 题的结论还成立吗 ?如果成立， 请证明，如果不成立，请说明理由 优秀学习资料欢迎下载 10如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中 AF=2 ， BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值 是( ) A8 B12 C 2 25 D14 11如图， AB是半圆的直径，线段CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点 B， AB=2 ； AC=1 ， BD=3 ， P是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是 ( ) A22 B21 C23 D23 12如图，在 ABC中，BC=5 ，AC=12 ，AB=1
11、3 ，在边 AB 、AC上分别取点 D、 E，使线段 DE将ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度 13如图，ABCD 是一个边长为 1 的正方形， U、V分别是 AB 、CD上的点， AV 与 DU相交于点 P，BV与 CU相交于点 Q 求四边形 PUQV 面积的最大值 14 利用两个相同的喷水器， 修建一个矩形花坛， 使花坛全部都能喷到水 已 知每个喷水器的喷水区域是半径为l0 米的圆，问如何设计 ( 求出两喷水器之间的 距离和矩形的长、宽 ) ，才能使矩形花坛的面积最大? 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广 场(平面图如图所示 ) 其中，正方
12、形 MNPQ 与四个相同矩形 (图中阴影部分 ) 的面 优秀学习资料欢迎下载 积的和为 800 平方米 (1) 设矩形的边 AB=x(米)，AM=y(米) ，用含x的代数式表示y为 (2) 现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在 四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三 角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40 元 设该工程的总造价为S(元)，求 S关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为235000 元， 仅靠银行贷款能否完成该工程的建设 任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000 元，问能否完成该工 程的建设任务 ?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由 (镇江市中考题 ) 16某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE ，边长和方向如图，欲 在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基， 并求地基的 最大面积 (精确到 1m 2) 参考答案 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载