《圆与二次函数综合题复习教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆与二次函数综合题复习教师版.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、教学课题圆与二次函数综合题复习 教学目标 1.通过圆与二次函数的综合题练习，掌握二者的密切联系； 2.通过对动点问题等的练习，学会解决问题的一般方法。 教学重难点 重点：圆与二次函数的综合； 难点：动点问题； 圆与二次函数综合题复习 例 1： 抛物线 2 yaxbxc 交 x 轴于A、B两点， 交 y 轴于点 C， 已知抛物线的对称轴为1x ， (3,0)B ， (0,3)C 。 （1）求二次函数 2 yaxbxc的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标； 若不存在，请说明理由； （3）平行于 x轴的一条直线交抛物线于MN、 两点，
2、若以 MN 为直径的圆恰好与 x 轴相切，求此圆的 半径。 （ 1）将 (0,3)C 代入 cbxaxy 2 ，得 3c 将 3c ， (3,0)B 代入 cbxaxy 2 ，得 039cba 1x 是对称轴， 1 2a b 将（2）代入（1）得 1a ， 2b 二次函数得解析式是 32 2 xxy （2） AC与对称轴的交点P即为到BC、 的距离之差最大的点 C点 的 坐 标 为 (0,3) ，A点 的 坐 标 为 ( 1,0) ， 直 线 AC 的 解 析 式 是 33xy ，又对称轴为 1x ，点P的坐标 (1, 6) （ 3）设 1 (,)M xy 、 2 (,)N xy ，所求圆的半
3、径为r，则 rxx2 12 ， .(1) 对称轴为 1x ， 2 12 xx .(2) 由（ 1） 、 （ 2）得： 1 2 rx .(3) 将 (1, )N ry 代入解析式 32 2 xxy ，得 3)1(2)1( 2 rry ， .(4)整理得： 4 2 ry 由于r=y，当 0y 时， 04 2 rr ，解得， 2 171 1 r ， 2 171 2 r （舍去）， 当 0y 时， 04 2 rr ， 解得， 2 171 1 r ， 2 171 2 r （舍去）所以圆的半径是 2 171 或 2 171 例 2：如图，在直角坐标系中，C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2， 0） ，交
4、 y 轴于点 B（0， 2 3 ） 。 （1）求圆心的坐标； （2）抛物线yax 2bxc 过 O、 A 两点，且顶点在正比例函数3 3 yx的图象上，求抛物线的解析 式； （3）过圆心C 作平行于x 轴的直线DE，交 C 于 D、E 两点，试判断D、E 两点是否在（2）中的抛物 线上； （4）若（ 2）中的抛物线上存在点P（x0，y0） ，满足 APB 为钝角，求x0的取值范围。 解： （ 1） C 经过原点 O，AB 为 C 的直径。C 为 AB 的中点。 过点 C 作 CH 垂直 x 轴于点 H，则有 CH 1 2 OB 3 ，OH 1 2 OA 1。圆心C 的坐标为（ 1， 3 ） 。
5、 （2） 抛物线过O、 A 两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的 顶点在直线y 3 3 x 上， 顶点坐标为（1， 3 3 ）把这三点的坐 标代入抛物线抛物线yax2 bxc，得 0 420 3 3 c abc abc 解得 3 3 23 3 0 a b c 抛物线的解析式为 232 3 33 yxx 。 （3） OA2，OB2 3 ， 22 2(2 3)4AB .即 C 的半径 r2。 D（3， 3 ） ，E（ 1， 3 ）代入 2 32 3 33 yxx 检验，知点D、E 均在抛物线上（4） AB 为 直径，当抛物线上的点P 在 C 的内部时，满足APB 为钝角。1x00，或 2x03。
6、例 3：如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1 ，4)，且经过点N(2， 3)，与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )，与 y 轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式及点A、 B、C 的坐标； （2）若直线y=kx+t 经过 C、M 两点，且与x 轴交于点D，试证明四边形CDAN 是平行四边形； （3）点 P 在抛物线的对称轴x=1 上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以 P 为圆心的圆 经过 A、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解： （ 1）由抛物线的顶点是M （1， 4） ，设解析式为 2 yax14 a0
7、 （ ） （ ） 又抛物线经过点N（2，3） ，所 以 2 3a2 14 （ ） 解得 a 1 所以所求抛物线的解析式为y 22 x14x2x3.（） 令 y0， A B C D E F O H x y 得 2 x2x30 ， 解得： 12 x1 x3. ， 得 A（ 1，0）B（3，0） ；令 x0，得 y3，所以C （0， 3）. （2）直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，所以 t3 kt4 即 k1，t3 直线解 析式为 yx3. 令 y 0，得 x 3，故 D（ 3，0）CD3 2 连 接 AN ，过 N 做 x 轴的垂线， 垂足为 F. 设过 A、N 两点的直线的解析式为y mx
8、n，则 mn0 2mn3 解得 m1，n1 所以过 A、N 两点的直线 的解析式为yx1 所以 DCAN. 在 RtANF 中， AF 3，NF3，所以 AN 3 2 所以 DCAN 。 因此四边形CDAN 是平行四边形. （3） 假设在 x 轴上方存在这样的P 点，使以 P 为圆心的圆经过A、 B 两点，并且与直线CD 相切，设P（1， u） 其中 u0，则 PA 是圆的半径且 222 PAu2 过 P做直线 CD 的垂线，垂足为Q，则 PQPA 时以 P 为圆 心的圆与直线CD 相切。由第（ 2）小题易得：MDE 为等腰直角三角形，故PQM 也是等腰直角三角形， 由 P（1，u）得PEu，
9、 PM|4-u|，PQ PM 2 |4-u| 2 由 22 PQPA 得方程： 2 22 4u u2 2 （ ） ，解得 u42 6 ，舍去负值u 42 6 ，符合题意的u 42 6 ，所以，满足题意的点P 存在，其坐 标为（ 1， 42 6 ） 例 4：已知：如图，抛物线 232 3 3 33 yxx 的图象与 x 轴分别交于 AB， 两点，与 y 轴交于C 点，M圆经过原点 O及点AC， ，点D是劣弧 OA上一动点（ D点与A O， 不重合）。 （1）求抛物线的顶点E的坐标； （2）求M圆的面积； （3）连CD交AO于点F，延长 CD至G，使2FG ，试探究当点D运动到何处时，直线 GA与
10、M 相切，并请说明理由 （1）抛物线 2 32 3 3 33 yxx y E C M A F D O x B 2 33 213 33 xx 2 34 3 1 33 x E的坐标为 4 3 1 3 ，（说明：用公式求E点的坐标亦可） （2）连 AC；M 过90AOCAOC， AC为O的直径 而33OAOC， 3 2 AC r 2 3 M Sr （3）当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切 理由：在 RtACO 中， 33OAOC， 3 tan3 3 ACO 6030ACOCAO， 点D是OA的中点 ADDO 30ACGDCO tan301OFOC，60CFO 在 GAF 中， 22AFFG，
11、 60AFGCFO AGF为等边三角形 60GAF 90CAGGAFCAO又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线 例 5：在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0） 、A（4，0） 、B（ 3， 2 3 3 ）三点。 l （1）求此抛物线的解析式； （2）以 OA 的中点 M 为圆心， OM 长为半径作M，在（ 1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点 P 作 M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意： 本题中的结果可保留根号） 解： （ 1）解析式为： 2 2 38 3 99 yxx （2）存在 抛物线 22 3
12、8 3 99 yxx的顶点坐标是 8 3 (2,) 9 ，作抛物线和M（如图）， 设满足条件的切线l 与 x 轴交于点 B，与 M相切于点 C 连接 MC ，过 C作CD x 轴于 D MC = OM = 2, CBM = 30 , CMBC BCM = 90 ， BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (- 2, 0) 在Rt CDM 中， DCM = CDM - CMD = 30 DM = 1, CD = 22 CMDM=3 C (1, 3) 设切线l 的解析式为 :(0)ykxb k=+?，点 B、C在 l 上，可得： 3 20 kb kb 解得： 32 3 , 33 kb
13、 切线 BC的解析式为： 32 3 33 yx 点 P为抛物线与切线的交点 由 2 2 38 3 99 32 3 33 yxx yx 解得： 1 1 1 2 3 2 x y 2 2 6 8 3 3 x y 点 P的坐标为： 1 13 (,) 22 P， 2 8 3 (6,) 3 P8分 抛物线 2 2 38 3 99 yxx的对称轴是直线2x 此抛物线、M都与直线2x成轴对称图形 于是作切线l 关于直线2x的对称直线l( 如图 ) 得到 B、 C关于直线2x的对称点 B1、C1 l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线 2x的对称点： 3 93 (,) 22 P， 4 8 3 ( 2,
14、) 3 P即为所求的点. 这样的点 P共有 4个： 1 13 (,) 22 P， 2 8 3 (6,) 3 P， 3 93 (,) 22 P， 4 8 3 ( 2,) 3 P 12分 例 6：已知二次函数 213 42 yxx 的图象如图。 （1）求它的对称轴与 x轴交点 D 的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x轴， y 轴的交点分别为A、B、C 三点， 若 ACB=90，求此时抛物线的解析式； （3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判断直线CM 与 D 的 位置关系，并说明理由. 解: （1）由 2 13 42
15、yxx得3 2 b x a 1 分 （，）2 分 （2）方法一 : 如图 1, 设平移后的抛物线的解析式为 2 13 42 yxxk 3 分 则 C(0, )kOC=k令0y即 213 0 42 xxk 得 1 349xk 2 349xk 4 分 A(349,0)k， B(349,0)k 22 (493349)1636ABkkk 5 分 222222 (349)(349)ACBCkkkk 2 2836kk6 分 222 ACBCAB 即: 2 28361636kkk 得 1 4k 2 0k( 舍去 ) 7 分 抛物线的解析式为 213 4 42 yxx 8 分 （3） 方法一 : 如图 2,由
16、抛物线的解析式 213 4 42 yxx可得 A(-2 ，0)，B(8，0)，C( ， 0) ， M 25 (3,) 4 9 分 过 C、M 作直线，连结CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H, 则3MH 22 25625 () 416 DM 22222 25225 3(4) 416 CMMHCH 在 RtCOD 中, CD= 22 345=AD 点 C 在 D 上 10 分 22 25625 () 416 DM 2222 22525625 5() 16416 CDCM 11 分 222 DMCMCD CDM 是直角三角形，CDCM 直线 CM 与 D 相切 12 分 卷 1：如图所示，抛
17、物线y=ax 2+bx+c 经过原点 O，与 x 轴交于另一点N，直线 y=kx+b1与两坐标轴分别 交于 A、D 两点，与抛物线交于B（1， 3） 、C（2，2）两点。 （1）求直线与抛物线的解析式； （2）若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P（x，y） ，求 PON 的面积最大值； （3）若动点P 保持（ 2）中的运动路线，问是否存在点P，使得 POA 的面积等于POD 面积的1/9？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 卷 2：如图，已知四边形ABCD 是正方形，点E 是 AB 的中点，点F 在边 CB 的延长线上，且BE=BF ， 连接 EF。 （1）若取 AE 的中点 P，求证： BP=1/2CF； （2）在图中，若将BEF 绕点 B 顺时针方向旋转 （0 360） ，如图，是否存在某位置， 使得 AEBF？，若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由； （3）在图中， 若将 BEF 绕点 B 顺时针旋转 （ 0 90） ，如图， 取 AE 的中点 P，连接 BP、 CF，求证： BP=1/2CF 且 BPCF。