1、固体物理学第2版第去Word版完整版校核版第一章晶体的结构及其对称性1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在品格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A-B,平移后品格结构不能完全复原所以是复式格子。1.2 在正交直角坐标系中，若矢量Rl=l1i+l2j+l3k,i,j,k为单位向量。li(i=1,2,3)为整数。问下列情况属于什么点阵?(a)当li为全奇或全偶时;(b)当li之和为偶数时解:R-IiIi+12a?+13a3441i,
2、12,13=0,i,2.=1ii12j13k当l为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当li+12+I3之和为偶数时是面心立方结构1.3子,解:i.4在上题中若1i+123=奇数位上有负离子，1i+l2+l3=偶数位上有正离问这一离子晶体属于什么结构？是离子晶体，属于氯化钠结构。(a)分别证明，面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞矢问夹角相等，对fcc为60,对bcc为10927,(b)在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条acr-i,3解：（i）对于面心立方*ad：*ad：Tai=2）ka2=2ika二|ij179ai=a2J,*COSaia2=60
3、na3iCOSn|3a2a32COSaia3=60(2)对于体心立方a*ai=|-ijka2i-jka3ij-kai=a2=a3J3a2COSaia2尸aia2aia2i1i29273COSa1a3=1-=129、273COSa2a3=12927,(3)对于金刚石晶胞3a2COS12429a2421.5证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l)的晶面族间距为d，h2+hk+k21i2r证明:a=ai+2ca=b|=a元胞基矢的体积b=-acos6Oicos3Oj-1aiTajc=ck,3a20倒格子基矢_2二ab2二/.二(i3a倒格矢:Ghkikbl晶面间距dhkl2二2二2,N*ha+kb
4、lc嗥叩1hakblc.9.9.9.9_TT,丁_=hakblc2hkab)：2klbc)+2hlac31a)22)好f2n)c=IclcJ*中4琳2i2n)2琳丸ab=bc3*才琳=0ac=0dhkl1I21；4fh2+k2+kl)l2pI-2+-31acc1.6证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图：aTa*bTT4.二2二4二5二ai=axa2=-xya3=czm=0,u=，,223333初级晶胞体积：Vc=abc2倒易点阵的基矢：bi=-32a3=2.I1X-1yVcab22二-4421-2二二b2二aa1二
5、yb?二aa2二ZVccVcc这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。证明：倒易点阵初级元胞的体积：Vc是初基元胞的体积彳44Vc=b1b2b3,2J一2二-2.2二1彳b1=-a2a3b2=-a3a1b3=一a1a2VcVcVcb2b3=.IVca3ai)i：aia21a3aia2a3ai目工2aia2ABCD)WABDC-BCD由于 a3 ai B-obi)2(a3xai )电_2WVc=a3Wa2b2b3=-aiVc,2.2二一bib2b3=aibiVc32二m一2-aia2a3Vc32二Vc或：bib2b3=h3Nt现在证明：a”2二b2bi二2一b
6、ib2b332b3bibib2ba3二2二3bib2bib2b32(2n)J又b2b3=Vai2二2二b1b2 b32二4aVc一号J.2二一、又：bi仆2父3)=代入VcC3-1.81.93?2二sCi=a1VcVca1同理6=2几一包上乡】一=ab1b2b3。一3b22一=a?b1b2b3从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解：AB=2acos6|=macos9八二3二,二m=0,1=,m=1,u=223m=2,二-二，2二试解释为什么：(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。(b)立方晶系中没有底心立方点阵(c)六角晶中只有简单六角点阵。解:(a)因为四方品系加
7、底心，会失去4次轴。1.10fAIhkl(b)(c)因为立方晶系加底心，将失去四条3次轴。六角晶系加底心会失去6次轴。证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族(h,k,l)的衍射强度为+fB2/(h,k,l)为偶数时2|fA-fB|，当(h,k,l)为奇数时0,其它情况其中fA、fB分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？证明：Nacl初基原胞中有Na+和Cl一两种离子。111B1，北b分别代表N#和。因此几何结构因子：F几由2,打：三，f屋二h1x1h2x2h3xi3鹏飞疗=pA,fB,A,h2,h3为偶fA-fB,hh2h3为奇射强度：IsF(hh2年)
8、2,对于h1+h2+h3为奇数的衍射面fA=fB则会消光。1.11试讨论金刚石结构晶体的消光法则。1 1 1)，1 1 1)，3 33)/3 3 1、/3 1 3 W1 33)解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为:(0,0,0).一,0,.,0,，0,!,!,.,!,!,reic八I22八444八444八444八444八444几何结构因子Fhkl=k2”，2h3xj3Fhkl=ft1exp|-i二nhk.eexp|-i二nkl：jexp-i二nlk/fexp-i二nlhkl一2i3.n_-exp-2hkexp|-ir：nkl：|exp口一i二lh：I1=f 1 expI 1-h k
9、 l )-i sin- h k l11 cosn二 h k cosn二 k l j；Ihkl 0cFhkl = I hkl ； 1 , c0s(h+k+lJ+sin2%(h+k+ll2衍射强度不为零：（1）nhnknl都为基数（2）nhnknl都为偶数（包括零），且g（nh+nk+nl）也为偶数。如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3,2,1）或（2,2,1）的一级衍射斑，也不可能有（4,4,2）这样的二级衍射斑点。1.12 证明：在倒易空间中，当R落于一倒格矢需垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：当波矢满足k+khk2时有khfk+LI 2 J10.令k=kkhK刚
10、好是kh中垂直面的反射波。又d1由图知:khE=ksin主 sin?2J.2dsing=m，3(其中kh=mkh)1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，具介电常数为一标量介电常量:Y=；0iF由D=eEz=明1621_83152622名32S13823533/*,4,4,各物理量在新旧坐标中：D二6Ep=ADE=AE证明:T1T,力LD=A%AE=A7AE(由于对称操作D=E)1；=A；A=A:A100Ax是绕X(a)轴转动90是一个对称的操作Ax=0010-10_00-1Ay是绕Y(b)轴转动90也是一个对称操作Ay=010100-心1100、将4代入A=A%AW=0%*230一823%
11、3弓1100再将Aj口？代入名=AA6=0跖000君11.1.14 若AB=的立方结构如图所示，设A原子的散射因子为L，E原子的散射因子(a)求其几何结构因子Fhki=?(b)找出(h,k,l)晶面族的X光衍射强度分别在什么情况下有2广A+3fBiIhkl2Fa-fB设fA=fB,问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。解：AB?结构中，单胞中含有3个B原子，1个A原子*小济”吗2%3取A0,0,0B11,1,01,0,10,1,1222222Fhki=fA.fBe17：hkekle二hl当h+k与h+l,k+l均为偶数时Fhkl=fA+3fB当h+k,h+l,k+l其中两个为奇数，一
12、个为偶数时Fhki=fA-fB当fA=fB时有(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)(0,1,1)(1,1,0)(1,0,1)衍射面指数的消光。1.15在某立方品系的铜K温射线粉末相中，观察到的衍射角瓦有下列关系：、3：、4：8：11：12：,16：19：.20=sin9:sin2.sin飞二H21212.22-0202.222202、,121232、,222222.420202.323212、422202(a)试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数；(b)问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？解：dhkla.h2 k2 l2又2dhklsini-n.Sin二22222Fj=丁二Si
13、n00cJ(nh)+(nk)+(川)g：nh：ink：irnl2a.3:.4:,8:.11:、12:16:19:20=sin%:sin%.sin为222-222-22222211111.200.220,113-.222222420202323212,422202.hkl=(1,1,1)(2,0,0)(2,2,0)该立方晶体是面心立方.第二章晶体的结合2.1 导出NaCl型离子晶体中排斥势指数的下列关系式:4n=1+F8也(SI单位)二e其中k为体变模量，设已知NaC晶体的k=2.4Ml010N/m2,R0=0.281nm,求NaCl的n=?解：NaCl晶体排斥势指数的关系，设晶体有N个元胞。2
14、则晶体的内能：U=N(6b)=N马rrrr其中：A=ae2,B=6b2对于NaCl结构r=2Nr3,(2r3为元胞的体积).dr=6Nr2drdV,0du dr dr dv1 du N 公 6Nr02 dr 6Nr02 r02nBn 1r。B 1 在r0为平衡位置处：B=-1相由k=rKdrA1 d 2un -1 二 e2r0_218Nr0 drr018r0418kr04 n =2-：e+1（如取SI）4.4二；18kr0kn二21二e对于NaCl、CsCl、ZnS结构a=1.747、1.762、1.638_102k=2.410N/m%=0.281nm可求n2.2 带土e电荷的两种离子相间排成
15、一维品格，设N为元胞数，B/R；为排斥势,R。为正负离子间最短的平衡值。证明，当N有很大时有：(a)马彳惠隆常数口=2ln2；(b)结合能U(R)=2Ne巫1-1；4二；0R0,n(c)当压缩品格时，RtReJI-S),且61,则需做功二俗，其中22n-1Nln24二；0以解：（a）一维原子链，正负离子的距离为a,相距为的两个离子间的相互/ 、- q1 2 bu（rij）nrj4 rij rj作用势能:2-q、二 0 R=ajR（R为邻近间距总离子间的相互作用势能）N%/、=U（rij）=一2i,jiU=j为离子品格的马德隆常数jaj1c1111u=2aj_1234234xxxln（1x）=x
16、234人111vx=1ln2=1.234u=2ln2（b）利用平衡条件四=01n2瞰dR R0nnJ2=-2Nq21n2（1一篙）u（“一卡（17,、，i du ,、（c）露出）=仅弋）+而（R RJ+R01 d2u2dR22.R-R IIIR32NR062R02由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项（R Ro fR0w=u（R）-u（R0J_1d_!22dR晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项：w 1（n -1 q2 ln 2设6=3时外力为%,外力与晶体（格）的形变成正比.F=b（2NR06）,Fe=（2NR05e）,口为比例函数.we二 2NR0、2NR0dc0021o
17、1二2NR02、；=-2NR、eF此即为离子链被压缩2NR06e的过程中外力做功。We=c6e(2NR06e所以压缩2用就时外力Fe=C七=Sn第二12.3量子固体在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态He4的一个粗略一维模型，即每个氢原子局限在一段长为L的线段上，每段内的基态波函数取为半波长为L的自由粒子波函数。(a)(b)(c)试求每个粒子的零点振动能；推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为U(L)=-1.6L-fi10-fiDerg,其中L以cm表示，求L的平衡值。解：(a)
18、根据量子力学，限制在L线段内的自由原子的波函数有-：=Aeikx形式2二k-又*L=3的波函数为基态波函数k02LTT-,所以基态波函数i_x1L每个原子的零点动能也就是基态平均动能8mL2J。=AeL*0T二0(b)因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L的线段结构，必须增加力-2-2p 二-dL2 二3dL 8mL 4mL有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量U=+U(L)U(L)是范德瓦尔斯能：U=1.6父LMIOerg(c)平衡时：，亚1=0=JC_1.6父乌*10翔1dL八04mL0L0L0=5.8130上0cm41。的平衡值l=4.91A第三章晶格动力学和晶体的热学性质3.1在同类
19、原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且P1A/.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为14身p/sin23.2 具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M晶格常数为a,最近邻原子间相互作用的恢复力常数为 c,假定原子垂直于点阵平面作横振动，kayI2J(“2)2J解：用Vs和rs分别表示第S个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移MUIs-1Us-Vs-：2Us-Vs4mVS=，1Vs-Us-2Vs-Us1令Us=ueiska/Vs=Veiska-t|lM2-1一：2u+1-：2ekaV=0P1+P2e/aIu+|_
20、M2-(G+5)1V=01M.2i 一2222 2 1 2 coska4-2sinkaT 1试证明：此二维系统的格波色散关系为M02=2c(2-coskxa-coskya)解：只考虑最近邻作用第(l,m个原子受四个原子的作用.l 1m :cul 1,ml,m 1 ：CUi,mi:运动方程:d2ulmm2dt= C%l1,m . Ul,m 2Ul,m LU,m.1 - ul,mj -2ul,m-ul,mJ-1，m:Cul,m-ul,m_ul,mJll,m-1:cul,m_ul,mJ设5m=u0exp.ilkxamkya-t2ikxaJkxaikya_ikya,-cexexeyey-4i=2c2-
21、coskxa-coskya3.3求：(a) 一维单原子点阵振动的声子谱密度P侬),并作图;(b) 一维双原子点阵振动的声子谱密度P侬)，并作图.1sin -qa I P(o 户解：一维单原子链:2L2/dw(q)/dq1S=1川3n(有个3n色散关系)一维单原子链S=1L兀- p(a 产acos；qa维双原子链：-2 =mM41 1 -4mM , 22 sin(m +M )1 2qamM,1+ 1 4mM(m + M )sin21qa2M- P( 产L mMJTmM1-1-4mM 22 sin m M2qa!、d d 2 1/ d 1/-d-dq dq14mM 211/41 1 一 Vsin
22、4mM 12 a 2sin qacos-qa m M 222314mM.2117-4mMa111/一1一1-2sinqa42sinqacos-qa4mM2mM2223.4设某二维晶体光频声子的色散关系为6(q)=o0-Aq2,试证明，其声子谱密度为V34二2A2P侬)=式中Fn26 二2NA, N为晶体的原胞数.解：p(。户上卜(2冗)乜dsJ s第支：格波的模式密度Vc其中sx为第U支格波的等频面. dsS：-又因为在q=0附近(q)=o0-Aq2等频面是一个球面.乂 Nf q-A2q = 2AqVc12n3q 2Aq24 q2 3.5使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容
23、为(a)在一维系统中Cvoct;（b）在二维系统中Cv-cT2；二 qv解：对于一维简单格子，按德拜模型:”范围内包含d舞等二黑D（copcc=N=（N为原子数目）方切Ye&KBTDg)d2IKBTJ-K/KBT22d1/KBT_122Tk2Q/Texx2dx:不0ex-12OD=-x=-在高温时：XT0,ex2-1kBKbTex-1LriCV=kB=NkBa低温时x21；D/T;ex2=x2ex1-ex二xnneex-1eexxdx0x.2e-1=、:neJ1xx2dx=2、n1-JI2二TKb23hV对于二维简单格子:（2兀）sdl%0sq=vq,所以格波等频（能）线为圆、SdlS2二qs
24、二2=-=22-2V2二2V2二V2二维介质有两支格波，一支声学波，一支光学波._?_.Vp2 -VL2V7-sD=一.Vp,；.%：,力-d-?.ms/i,二Vp2e.KBT.1-mid/.id-=2N, m = 4二- m . SVpm0kB2力切 髀B mdskBTe (ekBT -1 )2SkBT=7 I -；-二 Vp2 力cGD/T_x 3e x dx2ex-1归D二丁kB当温度较高时：ex一x3.e/texdx2-1_ skB kBT一 M h 2TO,D=2NkB O0当温度较低时:x 2e -1ne-nx 3 x一 1dx = 636 3Cv =AT2 A =6 3 SK3二
25、 Vp2 力23.6设某特殊二维系统声子频率6(K尸Aq2，试证明，此系统的(a)平均振动能量正比于T3；(b)声子比热容及嫡正比于T3.解：3.7题中CV=CTd/“U8Tm对于二维系统d=2=324Soc T 3734:Cv8T3同理嫡：driU8T=T3/2=T3.7设d维简单晶格中，频率址与qN成正比，试证明(a)简正模(声子谱)密度P(o尸B八二d(b)比热容Cv=CT=B、C为常数.d。I-1dd1d_1用牛：=kq二q=qkd=Kdq=cqdq一4Sd为d维空间等频球面.d，/dqd11d一”一一d,di力二)方dTckbt0K7dKTd_h_/尸0e荷-1du板近片。KB：oo
26、Om（截止频率）格波的阻尼系数&与8的关系.二二2arcosh1m解：单原子链：Un=Aeiqna-qtq1BZ3= 2 2arcsh 为指数衰减因子. m知*qa叫啸一.1，当8m时sin-qa1,q必止为复数，令q=q+iq22.1.1,1,1,1=sinqiq2a=sinqaarcoshq?aicos-qasinhq2a222221111*11)2冗n，二cosq1a=0q1a=h-qq=h=Kn22l2jl2jaa2m将q1=一市入q=十1-arcoshaaa-2narcosh:= Ae%metin二-na上t=Aeee二A-1nenaeit3.9 Grmeisen 常量.fn 口 n
27、 忠 n p , n,P 2-1 e,2(Un-Un1 -(a)(b)(Pa)pa证明频率为口的声子模的自由能为KBTln |2sinh版)1./KbT如果是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为F.,T=-B.s2Kbln2sinh2q其中吻体积的弹性模量，假定金(q)与体积关系为dS&L,Y为Grrneisen-q2KbT时，F对为常量，如果认为丫与模Q无关，证明，当bzz1(qcothq2-.极小，并证明利用热能密度，可将它写为=U(T)/B;(c)根据Debye证明：=吧.其中e=此(扁为波尔兹曼常量FlnVKB-解：考虑频率为m的声子模，配分函数为Z=eKBTn-02-2-2、，2K
28、TKBT-KBt二eB1eBeBfrCOKJeBi-e1依_酸2KBT-2kbt% , 2KTje-e自由能：F=KBTlnz=KBTln2sinh2KBT J晶体的自由能为：F(r,T)=E(r)+KBTln2sinhK若晶体体积改变为、J则F r 、r,T = E r 、rKBk* 2sinh2KbTdr2为12二Er2B.：B 二r2隹2E.:r2为体弹性模量._1_ 9_F,T =2B ：2 KB”2sinh 回IL*)2KbT, * r 、：r 尸& r.:r-dr其中黑=LfKKL0为Grmeisen常数Kcr;Inr假定黑与k无关九一：F： v=B ： KBT J- K 力 k
29、r+6r)In 2sinh、2KbT J1 ,二 b -： - -h2 Kcoth/ E 8k(r +6r )2KbT )丛生心器,其中一）旧=、1工K 一力 K cothk2瓯平均热能:-T2F F ）d J，T干UT；=F-TI开r-T27T年Tkhkcothkln2sinh:一2KBT施k0.475或4/7二(3)时，则切2(q)是负的(不稳定模)，这里二是Riemann-Zeta函数.进而证明，如果仃a21n2,=0.721,则对于小的qa声速为虚数.所以若0.4750,.对于在(0,江)区间内白某个qa,82(q)变为零，因而品格不稳定.注意，声子谱不是双原子品格型的，因为任一离子
30、与其近邻的相互作用与其他离子相同.解：软声子模(a)设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库伦力npn2fn4p,n=-22Z2考虑Un加一Unpa将上式paUnp-Un展成Un邻-Un的级数(-1)pe2r2-(Un4p-Un)lfn4p,n电a2-1(pa)pa第n个离子左端的第n-p个离子与第n个离子间的库伦力n-pn2fn -p,n-1-1e2StpaUn-Unffn p,n(-1)pe2 -r：-2(Da)d 2Un-Un-1 -pafn -p,n :- P 22 一1e:库伦力时常数贡献2(1)p(b)第n个离子的运动方程:dUn mdt二un 1Un
31、J -2un八.fn P,np 1二-un 1unl-2Un6)+PWp 22 -1e23PaUn P Un_P2unUn.p=Ae1nplUn= Aeiqna-t0 B .2oiqac -*qa=_ 2 - e emP2 -1 eo -ipqa-ipqa2 - e -em p3 pa= ZP(1cosqa)+P2 -1p3 pa1 - cos pqaJ4一：p-11 - cos pqa Ppw-一 2=sin4：crqa22 )P2二 -1 i 1 - cosqpa p 2=12。X3、3Q37=1-2二%m-o2m132m=1-2:738二=1一7(3)仃仃=0=0.475时缶t0,coo
32、eP224738T0,PT0(软模)第四章能带论4.1一维周期场中电子的波函数中式幻满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为(a)(b)(c).二 x-Pk x =sin a3二 xPK x = I cosa；K x =f x-laf是某确定的函数，试求电子在这些态的波矢解：由?(rQ)=eirRn+r在一维周期场：PKxa=eika甲Kx3二Pkxa=icosxa一a3二=Icosx二a3二=-Icosxa-甲kx=eIkaPxeIka=-1ka313131-:k-,k=-aaa冗;屋xa=sinxa一a=sinx；：.a-sinxaika=esinxaik3二5eika=-1k=-
33、aaaoO甲kxa=fxa-aqQ=二f|x-111ar=MQO彳kx-a);=_fx-ia-=-：-Ax=eikaPxeika=l：k=0,士生,士刎,士史川在布里渊区内k=0aaa-Q4.2 试证明，在5函数组成的以为周期势场V(x)=A6(x-la)中，单电子能量l一；由下歹UKronig-Penney关系决定：coka-maAsinacosa,-a且V0为负数时，它可以认为是单电子在一维E(k + kh 尸E(k)当 A = bV:-=2mmE；并用结果说明每一能带曲线均满足n证明：在I区域中：(-bxa)链中运动的一种良好模型.Ekkh=EkAe1kxBe如0:x:a.CeDe大,二x：二0其中k=窜旦,K2mE-V0/hk在x=0处波函数连续且中，中连续得：A+B=C+D1(A-B尸C-DC=2_1v A 1-F BD4.1VA 17 B2m0 - ED；1-”1AB在区域II中(X)=ek(aHb(x-a-baX2a+b,bxaba)按Flogue定理 在区域|和II的交界处(x = a),中及中必须连续得:Aeika - Bea =e1k a b ,P bik a bJk b _ ik b=e Ce - De代入C, D得:ika e.ika eeik”)丫1ie&b J； _K ie1kba +2
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