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1、人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 第三章直线与方程单元检测 (时间： 120 分钟，满分：150 分) 一、选择题 (本题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分) 1若直线mx ny30 在 y 轴上的截距为3，且它的倾斜角是直线33 3xy 的倾斜角的2 倍，则 () A3m ，n1 B3m ， n 3 C3m ， n 3 D3m，n1 2直线 axbyc0(ab 0) 在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c 满足 () AabB|a|b|且 c0 Cab 且 c 0 D ab 或 c0 3已知直线l1：(k3)x(4k)y10 与 l2：2(k3)x 2y30 平行，则 k
2、 的值是 () A1 或 3 B1 或 5 C3 或 5 D1 或 2 4点 P(1， 3)到直线1 32 xy 的距离为 () A. 13B. 5C. 10D. 6 5点 M(a，b)与 N(b1，a 1)关于下列哪种图形对称() A直线 xy10 B直线 xy10 C点 1 1 (,) 2 2 D直线 xyab 0 6直线 y mx(2m1)恒过一定点，则此定点是() A(1,2) B(2,1) C(1， 2) D(2,1) 7已知点A(3,2)，B(2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a 的值是 () A0 B 4 C 8 D4 8已知直线l 的方程是y2x3，则 l 关于 y x
3、 对称的直线方程是() Ax2y30 B x2y0 Cx2y30 D 2xy0 9 等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C(3,3)， 若点 A(0,4)， 则点 B 的坐标可能是() A(2,0)或(4,6) B (2,0)或(6,4) C(4,6) D (0,2) 10已知直线l1的方程是 axy b0，l2的方程是bxya0(ab0 ，a b)，则下列 各示意图形中，正确的是() 11直线l 过点 P(1,3)，且与 x，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6 的直线方程是 () A3xy60 Bx3y100 C3xy0 Dx 3y8 0 12直线 l1，l2分别过点 M( 1,4)，N(3
4、,1)，它们分别绕点M 和 N 旋转，但必须保持平 行，那么它们之间的距离d 的取值范围是 () A(0,5 B(0， ) C(5， ) D5， ) 二、填空题 (本题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分 ) 13直线 l 与两直线y 1、xy70 分别交于A、B 两点，若直线AB 的中点是M(1， 1)，则直线 l 的斜率为 _ 14若直线x2y50 与直线 2xmy 60 互相垂直，则实数m_. 人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 15若直线 (2t3)xy60 不经过第一象限，则t 的取值范围为_ 16已知 a，b，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点 (m，n)
5、在直线 axby 2c 0 上，则 m 2 n2 的最小值为 _ 三、解答题 (本题共 6 小题，共计74 分) 17(12 分)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 2 fx x 的图象 交于 P，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是多少？ 18(12 分)已知 ABC 的三个顶点坐标为A(3,1)，B(3， 3)，C(1,7) (1)求 BC 边上的中线AM 的长； (2)证明： ABC 为等腰直角三角形 19(12 分)正方形中心在C(1,0)，一条边方程为：x3y50，求其余三边所在的 直线方程 20(12 分)(1)求与点 P(3,5)关于直线l： x3y20 对称的
6、点P 的坐标 (2)求直线 y 4x1 关于点 M(2,3)的对称直线的方程 21(12 分)如图所示，已知A(2,0)，B(2， 2)，C(0,5)，过点M(4,2)且平行于AB 的直线 l 将ABC 分成两部分，求此两部分面积的比 22(14 分 )为了绿化城市， 要在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，如右图所示， 另外， AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC 80 m，AE 30 m，AF 20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 答案与解析 1. 答案： D 解析： 依题意得 3 3 n ，tan 1203 m n ， 3m ，n 1. 2. 答案： D 解
7、析： 分截距是否等于零讨论 当截距都不为零时，ab； 当截距都为零时，此时直线过原点，c 0.故选 D. 3. 答案： C 解析： l1l2， 2(k3)2(k3)(4k) 0， 即(k3)(5k)0.k 3 或 5. 4. 答案： A 解 析 ： 直线 方程 可化为2x 3y 6 0，由点到直 线的 距离 公式 得所 求距 离为 人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 22 |21336 | 13 23 . 5. 答案： A 解析：由题意，所求直线应与MN 垂直，且 MN 的中点在所求直线上，又 1 1 MN a ba k b 1，MN 的中点为 11 (,) 22 abab ，所以选
8、 A. 6. 答案： D 解析： ymx(2m1)m(x2)1， 当 x 2 时，不论m 取何值， y 恒等于 1. 恒过点 (2,1) 7. 答案： C 解析： 根据题意可知kACkAB，即 1222 8323 a ， 解得 a 8. 8. 答案： A 解析： 将 x y，y x 代入方程 y2x3 中，得所求对称的直线为x 2y3， 即 x2y 30. 9. 答案： A 解析： 设 B 点坐标为 (x，y)， 根据题意知 1 | | ACBC kk BCAC 2222 343 1 303 330343 y x xy 解之，得 2 0 x y 或 4 6. x y 10. 答案： D 解析：
9、 若 a0，b0，则 l2的斜率大于0，截距小于0，故 A 项不对；若a0，b 0， 则 l2的斜率小于0，截距小于0，故 B 项不对；若a0，b 0，则 l2的斜率大于0，截距大 于 0，故 C 项不对 11. 答案： A 解析： 设直线方程为1 xy ab (a0， b0)， 由题意有 12 13 1 ab ab 2 6. a b 1 26 xy . 化为一般式为3xy 60. 12. 答案： A 解析： 当两直线l1，l2与直线 MN 重合时， d 最小且为0；当两直线l1，l2与直线 MN 垂 直时， d 最大，且为 22 13415MN .故 d 的取值范围是0d 5. 13. 答案
10、： 2 3 人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 解析： 设 A(x,1)、B(y7，y)， 因为 AB 中点是 M(1， 1)，所以 x 2，y 3. 所以 112 213 AB k . 14. 答案： 1 解析： 直线 x2y 50 与直线 2xmy60 互相垂直， 1 2(2) m0，即 m 1. 15. 答案： 3 2 ， ) 解析： 方程可化为y(32t)x6，恒过 (0， 6) 故 32t0 时即可， 3 2 t. 16. 答案： 4 解析：点(m， n)在直线 axby2c0 上，且 m2n2为直线上的点到原点的距离的平方 当两直线垂直时，距离最小 故 2222 | ?
11、0? 02 |22 2 abccc c abab d 所以 m2 n2 4. 17. 解： 设过原点的直线方程为ykx(k0)联立 2 ykx y x 得 2 (,2 ) k Pk k ， 2 (,2 ) k Qk k 22228 228164 kk k k PQkk kk . 当且仅当 8 8k k ，即 k1 时取等号 即 PQ 长的最小值是4. 18. (1)解： 设点 M 的坐标为 (x，y)， 因为点 M 为 BC 的中点，所以 31 2 2 x， 37 2 2 y，即点 M 的坐标为 (2,2) 由两点间的距离公式得 22 321226AM ， 所以 BC 边上的中线AM 的长为2
12、6. (2)证明：根据题意可得， 22 33132 13AB ， 22 13732 26BC ， 22 31172 13AC ， 所以 |AB|AC|，且 |AB|2|AC|2|BC|2. 所以 ABC 为等腰直角三角形 19. 解： 设 x3y5 0 为 l，l 的对边为l1，l 的两邻边为l2、l3， 设 l1的方程为x3ym0， C 点到 l 的距离等于C 点到 l1的距离； 人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 2222 | 15 | 1| 1313 m .m7 或 5(舍) l1的方程为x3y70， l 的斜率是 1 . 3 又 l2l，l3l， l2， l3的斜率为3. 设
13、 l2，l3的方程为y3x b，即 3xy b0. C 到 l2、l3的距离等于C 到 l 的距离， 2222 | 3| 15| 3113 b ? b9 或 3. l2的方程为3xy90，l3的方程为3xy30. 20. 解： (1)设 P(x0，y0)，则 0 0 5 3 PP y k x . PP 中点为 00 35 () 22 xy M ， 根据对称关系x0，y0满足 0 0 00 5 1 1 3 3 35 3?20. 22 y x xy 解得 0 0 5 1. x y 故点 P 坐标为 (5， 1) (2)方法一：设 (x，y)是对称直线上任一点， 则(x，y)关于 M(2,3)的对称
14、点为 (4x,6y)， 根据对称关系，则(4x,6y)在直线 y 4x1 上代入整理有y4x210，即为 所求直线方程 方法二：在直线y 4x1 上任取两点 (0,1)，(1， 3)，关于 M 的对称点坐标分别为 (4,5)，(3,9) 两点连线的直线方程为y4x210 即为所求直线方程 21. 解： 由已知可得 1 2 AB k ， 过点 M( 4,2)且平行于AB 的直线 l 的方程为x2y0.直线 AC 的方程为5x2y10 0， 由方程组 20 52100 xy xy 得直线 l 与 AC 的交点坐标为 5 5 () 3 6 P， 所以 |5 |6 P A CPx CAx . 所以两部分的面积之比为 2 22 525 6511 . 22. 解： 由已知得 E(30,0)，F(0,20)， 人教 A 版 2017 年数学必修二单元试卷 则直线 EF 的方程是1 3020 xy (0 x 30) 如右图所示，在EF 上取点 P(m， n)，作 PQBC 于 Q，PRCD 于 R，设矩形PQCR 的面积为S，则 S|PR| |PQ|(100m) (80n) 1 3020 mn ， n20(1 30 m ) S(100m)(80 20 2 3 m) 2 (5) 218050 33 m(0 m 30) 当 m5 时， S有最大值