正数与负数讲解.pdf

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1、1.1 正数和负数 自学导读 【学习目标】 1. 了解正数和负数在实际生活中的需要，会判断一个数是正数还是负数. 2会用正数和负数表示互为相反意义的量. 【重、难点】 正负数的概念意义及正负数在表示相反意义的量中的应用. 【读书思考】 一、正数、负数及0 的意义 （1）大于的数叫做 正数 ，正数前面的“”号通常省略不写。 （2）在正数前面加上的数叫做 负数 。 （3）0 既不是，也不是；0 除表示“没有”外，还表示，如海平面的海拔高度为0。 4某食品包装上标有“净含量3855 克” ，这袋食品的合格率含量范围是克至克。 5已知数：7，2.1 ， 0， 1/3 ，13 中，正数有；负数有；不是负

2、数的数是；不是 正数的数是. 注不是负数的数叫非负数 ；不是正数的数叫非正数 。 二、用正负数表示具有相反意义的量 （1）正负数用来表示具有相反意义的量，如2 元表示股票上升2 元， 3 元表示。 （2）在一个数的前面加上“”号，所得的数表示的意义与原数表示的意义。 3下列说法中错误的是. 零上 6的相反意义只有零下6；收入和支出是一对相反意义的量； 运出 5 吨与收入5 元是一对具有相反意义的量。 注 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量，而且必须是同类量。 4如果零上5记作 5，那么零下5记作 A、 5 B、 10 C、 10D、 5 注在实际问题的解答中要注意

3、相应量的单位。 典题解析 例 1. 测量一座公路桥的长度，各次测量的数据是： 8015 米， 8008 米， 8012 米， 8014 米， 8011 米 求： (1) 这 5 次测量的平均值 (2)如果以平均值为基准，用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差 例 2. 某校初一男生进行体能测试，共有 8 人参加引体向上测试，以 7 个为标准， 超过记为正， 不足记 为负，成绩如下：2| 、 1、 0 、 3 、 2、 3、 、1 、0 . (1)8 人中共有几人达标？ (2) 他们共做了几个引体向上？ 例 3加工一根轴， 圆纸上注明它的直径是. 其中是表示直径30mm ，0.03 表示合格

4、品的直径最大 只能比规定的直径大0.03mm ， 0.02 表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.02mm.那么合格品 的直径最大可为多少?最小可为多少 ? 达标检测 【基础训练】 （1） 6，2005， 2 1 2，0， -3 ，+1， 4 1 ，-6.8中，正整数和负分数共有, A 3个B4 个C5 个 D 6 个 （2） 把下列各数分别填在相应的大括号里： +9 ， -1 ，+3， 3 1 2，0， 2 1 3，-15 ， 4 5 ，1.7 正数集合： , ， 负数集合： , （3） 如果全班某次数学测试的平均成绩为83 分，某同学考了85 分，记作 +2 分，得分90 分和 80

5、分应 分别记作 _ （4） 如果把 +210 元表示收入210 元，那么 -60 元表示 _ （5） 粮食产量增产11，记作 +11，则减产6应记作 _ （6） 如果把公元2008 年记作 +2008 年，那么 -20 年表示 _ （7） 如果向西走12 米记作 +12 米，则向东走-120 米表示的意义是_ （8） 味精袋上标有“ 5005克”字样中， +5 表示 _， -5 表示 _ 【能力提升 】 8. 一种零件的内径尺寸在图纸上是90.05( 单位 :mm), 表示这种零件的标准尺寸是9mm, 加工要求最大不超过 标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 9. 甲冷库的温度是-12C,乙

6、冷库的温度比甲冷酷低5C,则乙冷库的温度是 . 10. 观察下列排列的每一列数, 研究它的排列有什么规律?并填出空格上的数. (1)1,-2,1,-2,1,-2, , , , (2)-2,4,-6,8,-10, , , (3)1,0,-1,1，0,-1, , , , 1.2.1 有理数 自学导读 【学习目标】 1、理解有理数的意义，正确理解整数、分数与有理数之间的关系. 2、能将有理数按要求分类，了解0 在有理数分类的作用. 【重、难点】 有理数的概念及分类. 其中有理数的二种分类既是重点，也是难点. 【读书思考】 1、有理数及其相关概念 _、_和_统称为整数。_和_统称为分数。 _和_统称有

7、理数。 注因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数也都是有理数。 2、有理数的分类 （ 1）按定义分：（2）按符号分： 注分类要按同一个 标准，做到不重复不遗漏。 【典题解析】例 1. 判断. （1）比 0 大的数是正数，比0 小的数是负数，0 不是正数也不是负数。( ) （2）温度计中显示0时，表示没有温度。( ) （3）有理数分为正有理数和负有理数。( ) （4）有理数分为整数和分数。( ) （5） 1 是最小的正数。( ) （6） -1 是最大的负整数，没有最小的负整数。( ) 例 2：把有理数6.4 ， 9，3 2 ， 10， 4 3 ， 0.021 ， 1

8、， 3 1 7 ， 8.5 ， 25，0， 100 按正整数、负整数、 正分数、负分数分成四个集合。 正整数集合，负整数集合 正分数集合，负分数集合 达标检测 【基础训练】 1、选择题： 100 不是（）A有理数； B 自然数； C 整数； D 负有理数。 有理数 有理数 2、下列说法中，正确的是 ( ) A0 是最小的整数B1 是最小的正整数 C 1 是最小的整数D 一个有理数不是正 数就是负数 3. 填空：在 7,10.1 ， 1 6 ，89,0 ，0.67， 8 5 这些有理数中， （1）整数是； （2）分数是 . 4. 填空：在 4 5 ，1，0，8.9 ，6， 5 7 ，3.2 ，1

9、08，0.05 ，28，-9 这些有理数中， （1）正整数是； （2）负整数是； （3）正分数是； （4）负分数是 . 5、下列说法中正确的是 A、有最小的自然数，也有最小的整数B、没有最小的正数，但有最小的正整数 C 、没有最小的负数，但有最大的负数 D、0 是有理数中最小的数 . 6、有公共部分两个数集是 A、正整数集合与负整数集合B、整数集合与分数集合 C、负数集合与整数集合D、负分数集合与正分数集合 7、 、按某种规律在横线上填上适当的数：1，4，9，16，. 8、某种商品的标准价格是400元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动5. （1）5的含义分别是什么？ （2）请你算出商品的最高

10、价和最低价； （3）某商家将该商品的零售价格定在450 元，受到物价部门的处罚，请分析处罚原因. 探索创新 9、小明说：“整数和分数统称有理数，也可以说成有限小数和无限循环小数统称有理数，因为 整数可以看成分母为1 的分数，所以任何一个有理数都可以化成分数”小明的说法对吗？你能 帮助他解释吗？ 10、如果课桌的高度比标准高度高2 记作 2 ，那么比标准高度低3 记作什么？现有5 张课桌，量得它们的尺寸与标准高度比较分别是1 ，1 ，0 ，3 和 1.5 ，若规 定课桌的高度比标准的高度最高不能超过2 ，最低不能低于2 才算合格，那么上述5 张课 桌有几张合格？ 1.2.2 数轴 自学导读 【学

11、习目标】 1、掌握数轴的三要素，能正确画出数轴，并能利用数轴比较数有大小. 2、能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点表示的数. 【重、难点】数轴的概念及画法. 【读书思考】 1、规定了、的直线叫数轴. 2、数轴上边的数比 0 大，数轴上边的数比 0 小. 3、若 a 是一个正数，则数轴上表示的点在原点的边，与原点相距个单位； 表示-a 的点在数轴的边，与原点又相距个单位 . 4、所有的整数和分数都可以用数轴上的点表示吗？ 5. 下列各图表示数轴是否正确?为什么 ? （4） 6、下列语句：（1）数轴上的点只能表示整数； （2）数轴是一条直线；（3）数轴上的一个点只 能表示一个数；（4）

12、数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；（5）数轴上的点所表示 的数都是有理数。正确的说法有 典题解析 例 1. 在数轴上画出表示下列各数的点： 4，-2，-4.5 ， 3 1 1，0 . 0 1234 5 -1 -2-3 -4-5 例 2. 如图，填空：分别写出点所表示的数. （1）A点表示； （2）B点表示； （3）C点表示； （4）D点表示； （5）E点表示； （6）F 点表示 . 例 3. 先画出数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点： 1，0，4，5，1 1 4 ，2.5. 达标检测 【基础训练】 1在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。 2在数轴上，表示 5 的数在原点的侧，

13、它到原点的距离是个单位长度。 3在数轴上，表示 +2 的点在原点的侧，距原点个单位；表示 7 的点在原点的 FEDCBA -6 -5-4 -3-2 -16543210 侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。 4在数轴上，把表示3 的点沿着数轴向负方向移动5 个单位，则与此位置相对应的数 是。 5与原点距离为2.5 个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 6到原点的距离不大于3 的整数有个，它们是：。 7下列说法错误的是：（） A 没有最大的正数，却有最大的负数 B 数轴上离原点越远，表示数越大 C 0 大于一切非负数 D 在原点左边离原点越远，数就越小 8下列结论正确的有（）个： 规

14、定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 最小的整数是 0 正数，负数和零统 称有理数 数轴上的点都表示有理数 A 0 B 1 C 2 D 3 9在数轴上， A 点和 B 点所表示的数分别为 2 和 1，若使 A 点表示的数是 B 点表示的数的 3 倍，应把 A点（） A 向左移动 5 个单位 B 向右移动 5 个单位 C向右移动 4 个单位 D向左移动 1 个单位或向右移动5 个单位 10、指出数轴上 A，B，C ，D ，E各点分别表示什么数 . E D CBA -6 -5-4-3-2-1 6543210 11 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0 ， 1 4 ， 1 1 2 ， 1

15、.25 并把它们用“”连接起来。 【能力提升 】 12在数轴上，离原点距离等于3 的数是。 13点 A 为数轴上表示 2 的动点，当点 A 沿数轴移动 4 个单位长到 B时， 点 B所表示的实数是（） A 1 B 或 不同于以上答案 1.2.3 相反数 自学导读 【学习目标】 1了解相反数的概念，并能根据相反数的意义求一个数的相反数及多重符号的化简； 2. 能通过数轴理解，在数轴上表示出相反数的两个点关于原点对称； 【重、难点】 理解相反数的意义；理解和掌握双重符号简化的规律。 【读书思考】 1. 在所给数轴上画出表示下列各组数的点：6 和6，2.5 和 2.5 ， 1 2 和 1 2 ，并回

16、答问题 . -6 -5-4-3-2-1 6543210 （1） 、上述各对数的特点是， 表示这两对数的点在数轴上的特点是。 （2） 、归纳：两个数叫做互为相反数。 一般的， a 的相反数记作。特别的， 0 的相反数仍是 2、3 和 3 的符号一个是 _，一个是 _。3 和 3 到原点的距离都是 _。 像这样只有 _ 的数，称他们为互为相反数。 在数轴上，可发现互为相反的两个数到原点的距离_； 典题解析 例 1、辨一辨（判断下列语句是否正确） (1) 符号相反的两个数叫做互为相反数（） (2) 互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数（） (3) 负数的相反数大于本身（） (4) 正数的相

17、反数小于本身（） (5) 正数是带“”号的数，不带“”号的数都是负数 (6) 一个数的相反数一定不等于这个数（） (7) 数轴上的原点两旁的两个号所表示的两个数互为相反数（） 例 2、填一填 (1) 2 3和_互为相反数， 2 3和_互为倒数； 0 的相反数是 _ ； ( ) _ 的相反数是负数； _ 的相反数是大于0 的数； ( ) 如果两个数的积是1，那么这两个数是 _ ； ( ) 倒数等于本身的数是 _，一个数的相反数等于它本身的是_ ； ( ) _ 是19 相反数， 19 是_相反数， 19 和_相反数； ( ) 在 一个数的前面添上一个“”后，就表示是原来那个数的_ ； （）在一个数

18、的前面添上一个“+”后，就表示是原来那个数的_ ； () _ 的相反数比它的本身大，_ 的相反数比它的本身小。 例 、点 A在原点左边，离开原点4 个单位，如果把A沿着数轴向右移动8 个单位， 到达 B点，那么 B点表示的什么样的数？ 、2 和它的相反数之间的距离是多少个单位？ 达标检测 【基础训练】 12 的相反数是，0.5 的相反数是，0 的相反数是。 2如果 a 的相反数是 3, 那么 a= . 3. 如 a=+2.5, 那么, a如 a= 4，则 a= 4. 如果 a,b 互为相反数 , 那么 a+b= ,2a+2b = . 5. ( 2)= . 与 ( 8)互为相反数 . 6. 如果

19、 a 的相反数是最大的负整数 ,b 的相反数是最小的正整数 , 则 a+b= . 7.a 2 的相反数是 3, 那么, a= . 8. 一个数的相反数大于它本身, 那么, 这个数是 .一个数的相反数等于它本身, 这 个数是 ,一个数的相反数小于它本身, 这个数是 . 9. .a b 的相反数是 . 10. 若果 a 和 b 是符号相反的两个数 , 在数轴上 a 所对应的数和 b 所对应的点相距6 个单位长 度, 如果 a=2, 则 b 的值为 . 11. 下列几组数中是互为相反数的是 ( ) 1 7 和 0.7 B 1 3 和0.333 C ( 6)和 6 D 1 4 和 0.25 12. 一

20、个数在数轴上所对应的点向左移6 个单 位后 , 得到它的相反数的点, 则这个数是 ( ) A 3 B 3 C 6 D 6 13. 一个数是 7, 另一个数比它的相反数大3. 则这两个数的和是 ( ) A 3 B 3 C 10 D 11 14. 如果 2(x+3) 与 3(1x) 互为相反数 , 那么 x 的值是 ( ) A 8 8 C 9 D 9 应用与提高 : 15. 如果 a 的相反数是 2, 且 2x+3a=4.求 x 的值. 16. 已知 a 和 b 互为相反数且 b 0, 求 a+b 与 a b 的值. 17.1 + 2 + 3 + , + 2004 + (1) + (2)+ ( 3

21、) + , +( 2004) 18. 小李在做题时 , 画了一个数轴 , 在数轴上原有一点A, 其表示的数是 3, 由于粗心 , 把数轴的 原点标错了位置 , 使点 A 正好落在 3 的相反数的位置 , 想一想 , 要把数轴画正确 , 原点要向哪个 方向移动几个单位长度 ? 1.2.4绝对值 自学导读 【学习目标】 1借助数轴。从代数、几何两个角度来理解绝对值的概念，并能求出一个有理数的绝 对值； 2通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用； 【重、难点】 给出一个数，会求它的绝对值；难点是对绝对值的几何意义的理解。 【读书思考】 . 回答下列问题： (1) 绝对值是 12的数有几个

22、 ?是什么 ? 绝对值是 0的数有几个 ?是什么 ? 有没有绝对值是 -3 的数? 为什么 ? ( ) 有没有最小的正数 ?有没有最大的负数 ?为什么 ? ( ) 有没有绝对值最小的有理数?把它写出来 . 下列判断是否正确 ?为什么 ? (1) 有理数的绝对值一定是正数； (2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； (3) 如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身； (4) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数. . 一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是；0 的绝对值是。 即（1）当 a 是正数时， a； （2）当 a 是负数时， a； （3）当 a0 时， a . 典题

23、解析 例、用一用 （1）15 的绝对值是，即 15； （） 108 的绝对值是，即 108； （） 3.14 的绝对值是，即 3.14； （） 0 的绝对值是，即 0 . 例、想一想 （ 1）有一个数，在数轴上表示这个数的点与原点的距离为2007，则这个数的绝对值等 于； （2）23 的绝对值是，即 . （3）一个数的符号为正，绝对值等于7，这个数是； （4）一个数的符号为负，绝对值等于7，这个数是 . 例 . 写出绝对值小于 5 的所有整数，并在数轴上表示出来. 达标检测 【基础训练】 1. 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数a的。 2. | +4 |，| 4 | ，| 0 |。 3.

24、 绝对值等于 5 的数是，它们互为。 4. 绝对值小于 4 且大于 2 的整数有个，它们是。 5. 2 7 的绝对值是，绝对值等于 2 7 的数是。 6. 一个数的绝对值是正数，这个数是（） A不等于 0 的有理数， B. 正数， C. 任意有理数， D. 非负数 7. 一个正数的绝对值等于它，一个负数的绝对值等于它， 0 的绝对值是。 8. 判断下列各式是否正确 （1）| 3 | |+3 | （）（2） | 1.5 | 0 （） （3）| a 1| a1 （）（4）| a | a （） 9. 下列各式的结论成立的是（） A. 若| m | n |，则 m n ； B. 若 m n，则| m

25、| | n |； C. 若| m | | n |，则 m n； D. 若 m | n |。 10. 如果| a | a，那么（） A. a 一定是负数， B. a 一定是非负数， C. | a |一定是正数， D. | a |一定不能是 0 11. 如果| a 1 | 0，则 a；如果 | a+1 |2，则 a。 【能力提升 】 1. 若| x 3 |+| y+2 |0，则 x，y。 2绝对值不大于11.1 的整数有 , A11 个B12 个C22 个D23 个 3a、b、c 三个数在数轴上的位置如图所示，化简式子： c c b b a a| 、已知 a=2, b=3,a 为负数，求 a、b

26、的值。 、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1 ，若在这个数轴上随意画出一 条长为 2006的线段 AB ，则线段 AB盖住的整点个数是多少？ 1.2.5 有理数的大小比较 自学导读 【学习目标】 1能正确利用绝对值比较两个负数的大小； 2能充分利用数轴和绝对值的知识，通过直观演示，将数轴上在原点左侧表示的 数的“点距离原点越远”，与这个“数的绝对值越大”相对应起来； 3能通过推理过程，了解化归思想 【重、难点】 利用绝对值比较两个负数的大小 【读书思考】 0 1 1 a b c 1. 数轴上表示两个数，边的数总比边的数大。 2正数都大于；负数都小于 3最小的非负整数是，最大的非正

27、数是 、比较两个负数的大小的步骤是 典题解析 例. 比较 6 5 和 5 4 的大小 例、将有理数， 2 1 2 ， 4 1 3 按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来。 点拨 方法一：先把这些数在同一数轴上表示出来， 再把它们在数轴上的顺序从左到右写出来。 方法二：先把所有负数按照绝对值从大到小的顺序写出来，再把所给正数按照绝对值从 小到大写出来，再根据有理数的大小比较的法则可得。 例、写出绝对值不大于的所有非正整数，并计算它们的绝对值的和。 达标检测 【基础训练】 1. 比较下列各数大小，。 （1）5 与 0 （2）-与-3.14 （3）(+3.12) 与 - -3.125 2下列各式中，

28、不正确的是（） A |-4|=4 B. |-4|=-(-4) C. |-4|-3| D. |-3|0,则 a a =_;若 a0,则 a a =_. 3. 如果 41 0,0 ab , 那么 a b _0. 4 计算： （1） （0.4 ）0.02 (2) 11 32 23 . （3） 、 （ 3 1 5）（16）（2） 、若有理数 a0，b0，则 b b a a 的值为 、若 a、b、c 为有理数，且 c c b b a a =1，求 abc abc 的值 【能力提升 】 、现有四个有理数3，4，-6 ，10，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除 等四则运算，使其结果为24，写出三种本质不同的算式。 、计算： 1 （1 2 1 ）（ 1 3 1 ）（ 1 4 1 ）, （ 1 10 1 ） 用 1000 元人民币购进一批货物，第二天出售，获利10% ；过几天后又以上次售出价的90% 购进一批同样的货，由于卖不出去，两天后他将其按第二次购进价的九折全部卖出他在这两 次交易中盈亏如何？ . 计算: (1)(巧题妙解 ) 72 1 72 1 36 7 24 1 8 1 72 1 36 7 24 1 8 1 72 1